高三数学一轮总复习3-1导数及导数的运算同步练习北师大版

1、基础巩固一、选择题1. 曲线y= x3- 2x+ 1在点(1,0)处的切线方程为()A. y = x 1B . y= x 1C. y = 2x 2 D . y= 2x 2答案A解析本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在 曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题.由题可知，点(1,0)在曲线y = x3 2x + 1上，求导可得y = 3x2 2，所以在点(1,0)处3的切线的斜率k = 1,切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y=x 2x +1的切线方程为y = x 1,故选A.2. 若函数f(x) = x2+ bx + c的图

2、像的顶点在第二象限，则函数 f (x)的图像是(解析由题意可知b2,4c- b24在第二象限4c b2b0,又 f (x) = 2x + b,故选 C.厂0153. (文)如果函数 f (x) = x4 x2,那么 f (i)=(A. 2i B . 2iC. 6i D . 6i答案D解析因为 f (x) = 4x3 2x,所以 f (i) = 4i3 2i = 6i.(理)设函数f(x) = (1 2x3)4，则f 等于()A. 0 B . 1C. 24 D . 24答案D332解析 f (x) = 4(1 2x) ( 6x),f (1) = 4(1 2)3x ( 6) = 24.4. 下列求

3、导数运算正确的是()1 , 1 ,1A.(x+ x) =1+严(gg 2x)=旋C. (3x) = 3xlog 3e D . (x C.-D. 1cos x) = 2xsin x答案B11XX解析(x+ x) = 1 - x2，A 错；(3) = 3ln3 , C错；2 2(x cosx) = 2xcosx x sinx, D错； 故选 B.15. (文)已知函数f (x)在x = 1处的导数为一2贝U f (x)的解析式可能为()1xA. f (x)=歹2 ln xB. f(x) = xeC. f (x) = sin xD. f (x) = -+ xx答案D解析本题考查导数的运算，据导数的运

4、算公式知只有D符合题意.x(理)若函数f (x) = e sin x,则此函数图像在点(4 , f(4)处的切线的倾斜角为()nA. yB. 0C.钝角D .锐角答案C解析f(x) = exsin x + excosx=ex(sin x+ cosx) = 2exsin( x + 才).nf =:0e2 答案A 解析sin（4 + ） v 0，则此函数图像在点（4 , f（4）处的切线的倾斜角为钝角,故选C.12）处的切线与两个坐标126. （文）（2012 临川高三模拟）若曲线y= x在点（a, a轴围成的三角形的面积为18,则a=（）A. 64 B . 32C. 16 D . 8答案A解析求

5、导得y12x32(x0)，所以曲线y = x12在点(a, a12）处的切线l的斜率k= y|12,由点斜式,1得切线I的方程为y a-2_ 31 22a ( x12，所以直线I与两个坐标轴围成3a），易求得直线l与x轴，y轴的截距分别为3a,尹1 1的三角形面积S= 1x3ax 2a 2 = 9a2 = 18,解得a= 64.（理）曲线y= e2x+ 1在点（0,2）处的切线与直线y = 0和y = x围成的三角形的面积为( )1 1A.3B.2本小题考查的内容是导数的几何意义. y，= (e 2x+ 1) = 2 e 亠， 令 x = 0, y= 2, k= 2, 切线方程为y= 2x +

6、 2.y= 2x + 2如图，联立y= xx= 31 2s=x1X 3=13.y= 3二、填空题327. (文)已知 f (x) = ax + 3x + 2,若 f ( 1) = 4,贝U a 的值为10 答案亍2解析f (X)= 3ax + 6x, ， 10 又 f ( 1) = 3a 6 = 4,. a= 3.132(理)(2012 荷泽模拟)若函数 f(x) = xf ( 1) x + x+ 5，则 f (1) =答案6132解析 f (x) = 3X f ( 1)x+ x+ 5,2f(x) = x 2f ( 1)x + 1,- f ( 1) = ( 1) 2f ( 1)( 1) + 1

7、 ,解得 f ( 1) = 2. f (x) = x + 4x+ 1,.f (1) = 6.&过原点作曲线y = ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 .答案(1 , e) e解析设切点坐标为(牝冲)， 则切线的斜率&二ym二宀切点与原点连线的斜率T k =e = . /. % = 1 切点为(I ,e)北=巳三、解答题1 349.已知曲线y= 3X + 3.求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.分析(1)在点P处的切线以点P为切点.(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.2解析(1) y= x ,在点P(2,4)处的切线的斜率k =

8、 y|x =2 = 4.曲线在点 R2,4)处的切线方程为y 4 = 4( x 2),即 4x y 4 = 0.1 3 41 3 4(2)设曲线y = 3X + 3与过点F(2,4)的切线相切于点 A xo, -xo+ 3 ,则切线的斜率 k= y I x=x = xO.01 342切线方程为 y 3x0+ 3 = xo(x xo),2 - ( Xo+ 1)( Xo 2) = O,解得 Xo= 1 或 Xo= 2.故所求的切线方程为4xy 4 = O或x y + 2= O.能力提升一、选择题3 1 1 .(文)已知f o(x)= COSX, f 1( x)= f o(x) ,f 2( x) =

9、 f1( x),f3(x) = f2( x)，,fn +1( x) = f n( x) , n N+,则 f 2 014( x)=()A. sin xB. sin xC. cosxD. cosx即 y = xo x：xo+ .3 32 2 3 4点 F(2,4)在切线上， 4 = 2xo 3x0+ 3,32322即 xo 3xo+ 4= O. -xo + xo 4xo + 4= O.2-Xo( Xo+ 1) 4( Xo + 1)( Xo 1) = O.答案D解析fi（x） = sin x, f 2（ x） = cosx, f 3（x） = sin x,f4（x） = cosx, f 5（x）

10、= sin x，故 f n（x）的周期为 4,f 2014（ x） = f 2（x） = cosx.（理）设函数 f （x） = si； B X3 + 3cs e x2 + tan 0，其中 B 0, 5n，则导数 f （1）的取值范围为（）A. 2,2 B . ；2,:3C. 、3 2 D . ：2, 2答案D解析T f（ x） = sin 0 x2 + .3cos 0 x, f （1） = sin 0 + ：3cos 0 = 2sin5 n冗n 3 n0 0, ，. 0 + =12 ，33 4 sin 0 + y # 1 , f （1） ：2, 2，故选 D.sin x1n2. （文）曲线

11、y= -_+ 2在点M匚,0）处的切线的斜率为（）sin x十 cosx241 1A产2c.答案B解析本题考查导数几何意义，求导公式.-y =cosx sin x+ cosx sin x cosx sin xsin x + cosx 212.1sin x+ cosx(理)(2013 北大附中河南分校高三年级第四次月考)如果f (x)是二次函数，且f (x)的图像开口向上，顶点坐标为(1 , , 3)，那么曲线y = f(x)上任一点的切线的倾斜角a的取值范围是()nn nA. (0， B .亍 p, n 2 n、 n .C (2，_ D 3，冗)答案B解析由题意可设f (x) = a(x 1)

12、2+ ;3, (a0)，因此函数图像上任一点处切线 的斜率为 k= f ( x) = a(x 1)2+ .3 ,3，即 tan a ：3 所以 w a 2，选 B.二、填空题3. (2012 新课标文，13)曲线y = x(3ln x + 1)在点(1,1)处的切线方程为 .答案4x y 3 = 0解析本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法.y= 3lnx + 4，故y|=1 = 4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y 1 = 4(x 1)，化 为一般式方程为 4x y 3= 0.在过某一点的切线方程时，先通过求导得出切线的斜率，利用点斜式即可写出切线方程， 注意最后应将方程化为一般式

13、.4点P是曲线y = x2 Inx上任意一点，则P到直线y = x 2的距离的最小值是 .答案.2解析作直线y= x 2的平行线使其与曲线 y= x2 Inx相切，则切点到直线y= x 2 的距离最小.11入由 y = 2x x= 1,得 x = 1,或 x= 2(舍去)切点为(“)，它到直线x-y-2=0的距离为d=(h诗=三、解答题155. (2012 修水模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y = x272721525x0= 2时，由 y = 4x丁与 y=ax+2x9相切可得 a= 1，所以 a= 1 或.和y = ax2+x 9都相切,求a的值.解析设过(1,0)的直线与y = x

14、3相切于点(xo, x3), 所以切线方程为y x3 = 3x0( x xo),323 j即 y = 3xx 2X0,又(1,0)在切线上，则 x= 0 或 x=-,当x= 0时，,.215 丄/口25由y = 0与y = ax + x 9相切可得 a=二,4 641156. (文)求曲线y = 3X3 + x2在点F(1 ,百)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.5y 6= 2( x 1),与坐标轴的交点坐标解析t y = x + x, yl x=1= 2,. k = 2.1 a 1 5函数y = fx3 + 2x2在点F(1 , 处的切线方程为为(o , 7),(, o),所以切线与两坐

15、标轴围成的三角形的面积为17S= 2 % 1 - 61 %74912 = 144.(理)(2012 玉山模拟)设函数f(x) = ax x,曲线y=f(x)在点(2 , f (2)处的切线方程x为 7x 4y 12= 0.(1) 求f (x)的解析式；(2) 证明：曲线y = f (x)上任一点处的切线与直线x = 0和直线y= x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.71b解析(1)方程 7x 4y 12= 0可化为 y= tx 3.当 x= 2 时,y=-.又 f ( x) = a + 孑1 - 2=b 一 2-a27 - 4=b 一 4+a解得a_ ,b= 3.3 故 f(x) = x

16、x.3(2)设P(xo, yo)为曲线上任一点，由y= 1 + 知曲线在点P(xo, yo)处的切线方程为x3y yo= 1 + x (x xo),33即 y xox;= 1+恳(x xo)-6 令x = 0得y= ，从而得切线与直线 x= 0的交点坐标为0，一.Xoxo令y = x得y = x= 2xo，从而得切线与直线y= x的交点坐标为(2xo,2xo).1 6所以点P(xo, yo)处的切线与直线x = o, y= x所围成的二角形面积为 乙|2 xo| = 6.2Xo故曲线y =f(x)上任一点处的切线与直线x = o, y= x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.7.已知曲线S

17、: y= 3x x3及点P(2,2).求过点P的切线方程.解析设切点为(xo, yo),32则 yo= 3xo xo.又 f (x) = 3 3x ,y o 22切线斜率 k=，= 3 3xo,xo 2即 3Xo Xo 2 (Xo 2)(3 3Xo)(xo 1)( Xo 1)2 3 = 0,解得 Xo= 1 或 Xo= 1 ,相应的斜率k= 0或k= 963.切线方程为 y= 2 或 y= ( 96 . 3)( X 2) + 2.(理)已知函数f(x) = X3+ X 16.(1)求曲线y = f(X)在点(2 , 6)处的切线的方程； 直线l为曲线y = f (x)的切线，且经过原点，求直线

18、l的方程及切点坐标;一 1 一 如果曲线y= f (X)的某一切线与直线 y= -X + 3垂直，求切点坐标与切线的方程.2解析 f (x) = 3x + 1, f(x)在点(2 , 6)处的切线的斜率为 k = f (2) = 13.切线的方程为 y= 13x 32.(2)解法1：设切点为(xo, yo),则直线I的斜率为f (xo) = 3x2 + 1,直线 I 的方程为 y = (3xo + 1)( x xo) + xo+ xo 16,又直线I过原点(o,o),23 o= (3 Xo+ 1)( Xo) + Xo+ Xo 16,整理得，Xo= 8, Xo= 2, yo = 26, k = 13.直线I的方程为y = 13x，切点坐标为(一2, 26).3xo+ Xo 16yo o xo