潮流计算的基本算法及使用方法

1、潮流计算的基本算法及使用方法一、 潮流计算的基本算法1. 牛顿拉夫逊法11 概述牛顿拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法。这种方法的特点就是把对非 线性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解的过程，通常称为逐次线性化过程， 就是牛顿拉夫逊法的核心。牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域内的某一初始点出发，沿着该点的一阶偏 导数雅可比矩阵，朝减小方程的残差的方向前进一步，在新的点上再计算残差和雅可 矩阵继续前进，重复这一过程直到残差达到收敛标准，即得到了非线性方程组的解。因为 越靠近解，偏导数的方向越准，收敛速度也越快，所以牛顿法具有二阶收敛特性。而所谓 “某一邻域”是指雅可比方向均

2、指向解的范围，否则可能走向非线性函数的其它极值点， 一般来说潮流由平电压即各母线电压 （相角为0，幅值为 1）启动即在此邻域内。12 一般概念对于非线性代数方程组即fi x1,x2, ,xn 0 i 1,2, n （11）在待求量 x 的某一个初始计算值 x 0 附件，将上式展开泰勒级数并略去二阶及以上的高 阶项，得到如下的线性化的方程组上式称之为牛顿法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代的修正量x0x0 1 f x0(13)1 出发，重复上述计算x k xkf x k(14)xk 1 x k x k(15)将x 0和x相加，得到变量的第一次改进值X1。接着再从x 过程。因此从一定的初值 x0

3、 出发，应用牛顿法求解的迭代格式为上两式中：f x是函数f x对于变量x的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵 J ； k为迭代次 数。由式（ 14）和式子（ 15）可见，牛顿法的核心便是反复形成求解修正方程式。牛 顿法当初始估计值 x0 和方程的精确解足够接近时， 收敛速度非常快， 具有平方收敛特性。13 潮流计算的修正方程运用牛顿拉夫逊法计算潮流分布时，首先要找出描述电力系统的非线性方程。这里仍从节点电压方程入手，设电力系统导纳矩阵已知，则系统中某节点（i节点）电压方程为? ? n从而得Si Ui YijU jj1?n进而有Pi jQi Ui YijU j 0（16）j1式（16）中，左边第一项为

4、给定的节点注入功率，第二项为由节点电压求得的节点 注入功率。他们二者之差就是节点功率的不平衡量。现在有待解决的问题就是各节点功率的不平衡量都趋近于零时，各节点电压应具有的价值。由此可见，如将式（ 16）作为牛顿拉夫逊中的非线性函数 F X 0 ，其中节点电 压就相当于变量 X 。建立了这种对应关系，就可列出修正方程式，并迭代求解。但由于节 点电压可有两种表示方式以直角做表或者极坐标表示，因而列出的迭代方程相应地也 有两种，下面分别讨论。131 直角坐标表示的修正方程U j ej jf j ，且将导纳矩阵中元素表示节点电压以直角坐标表示时，令 Ui ei jfi 、 为 Yij Gij jBij

5、 ，则式（ 1 7）改变为PijQieinjfij1GijjBijej jf j 0（ 1- 7）再将实部和虚部分开，可得nPieij1nGij ejBijf jfiGij fjBij ej0（ 1- 8）QifiGijejBijf jeiGijf jBijej0j1这就是直角坐标下的功率方程。可见，一个节点列出了有功和无功两个方程。对于PQ节点（i 1, ,m 1）,给定量为节点注入功率，记为R、Qi ,则由式（2-8） 可得功率的不平衡量，作为非线性方程Pi Piei Gij ejBij f jfi Gij f jBij ejj1nQiQifi GijejBij f jj1ei Gij f

6、 jBij ej19）式中 Pi 、 Qi 分别表示第 i 节点的有功功率的不平衡量和无功功率的不平衡量对于PV节点（i m 1,m 2, ,n ）,给定量为节点注入有功功率及电压数值，记为R、Ui ，因此，可以利用有功功率的不平衡量和电压的不平衡量表示出非线性方程，即有nRiRieiGij ejj1Bijf jfiGij f jBij ej110)UiUi2ei2 f i2式中 Ui 为电压的不平衡量对于平衡节点（i m），因为电压数值及相位角给定，所以 Us es jfs也确定，不需要参加迭代求节点电压。因此，对于 n 个节点的系统只能列出 2 n 1 个方程，其中有功功率方程 n 1 个

7、，无功 功率方程 m 1 个，电压方程 n m 个。将式（ 19）、式（110） 非线性方程联立，称 为n个节点系统的非线性方程组，且按泰勒级数在 fi、e0（ i 1,2, ,n,i m ）展开，并 略去高次项，得到以矩阵形式表示的修正方程如下PH11N11H12N12H1pN1pHmNmf1Q1J11L11J12L12J1 pL1 pJ1nL1ne1P2H21N21H 22N22H2pN2pH2nN2nf2Q2J21L21J 22L22J2 pL2pJ2nL2ne2(1 11)PpHp1Np1Hp2Np21 HppNppHpnNpnfpU：Rp1Sp1Rp2Sp2RppSppRpnSpne

8、pPnHn1Nn1Hn2Nn2H npNnpHnnNnnfnu；Rn1Sn1Rn2Sn2RnpRmSnnen上式中雅可比矩阵的各个元素则分别为将（1 11）写成缩写形式H N(1 12)J L f J feeR S对雅可比矩阵各元素可做如下讨论:当j i时，对于特定的，只有该特定点的fi和e是变量，于是雅可比矩阵中各非对角元素表示为当j i时，雅可比矩阵中各对角元素的表示式为由上述表达式可知，直角坐标的雅可比矩阵有以下特点:1）雅可比矩阵是2n 1阶方阵，由于 比Nj Nji等等，所以它是一个不对称的方阵。2）雅可比矩阵中诸元素是节点电压的函数，在迭代过程中随电压的变化而不断地改3）雅可比矩阵

9、的非对角元素与节点导纳矩阵Yb中对应的非对角元素有关，当 Yb中的Yj为零时，雅可比矩阵中相应的Hj、叫、Jj、Lj也都为零，因此，雅可比矩阵也是一个 稀疏矩阵。1. 3. 2极坐标表示的修正方程?n在牛顿拉夫逊计算中，选择功率方程Pi jQi Ui Yij U j 0作为非线性函数方程，j1把式中电压向量表示为极坐标形式则节点功率方程变为将上式分解成实部和虚部 这就是功率方程的极坐标形式，由此可得到描述电力系统的非线性方程。对于PQ节点，给定了nPi Pi Ui U j Gij cos ij Bij sin ijj 1i 1、2、 m 1（ 1 13）nQi Qi Ui U j Gij si

10、n ij Bij cos ij j1对于PV节点，给定了 R、Ui，而Qi未知，式（1 13）中Qi将失去作用，于是PV 节点仅保留 Pi 方程，以求得电压的相位角。（114）对于平衡节点，同样因为Us、 s已知，不参加迭代计算将式（1 13）、式（1 14）联立，且按泰勒级数展开，并略去高次项后，得出矩阵形式的修正方程PH11N11H12N12H1pHmQ1J11L11J12L12J1pL1 nP2H21N21H21N21H2pN2nQ2J 21L21J21L212pL2nPpHp1Np1Hp2Np2HppHpnPnHn1Nn1Hn2Nn2HnpHnnn(1 15)雅可比矩阵终，对PV节点，

11、仍可写出两个方程的形式，但其中的元素以零元素代替， 从而显示了雅可比矩阵的高度稀疏性。 式中电压幅值的修正量采用 Uu的形式，并没有什 么特殊意义，仅是为了雅可比矩阵中各元素具有相似的表达式。雅可比矩阵的各元素如下将式（1 15）写成缩写形式(1 16)PHNQJLuu以上得到了两种坐标系下的修正方程，这是牛顿-拉夫逊潮流计算中需要反复迭代求 解的基本方程式。2.快速分解法2. 1概述快速分解法的基本思想是：把节点功率表示为电压向量的极坐标方程式，抓主要矛盾,以有功功率误差作为修正电压向量角度的依据，以无功功率误差作为修正电压幅值的依据，把有功功率和无功功率的迭代分开来进行。快速分解法根据电力

12、系统实际运行状态的物理 特点，对牛顿-拉夫逊法潮流计算的数学模型进行合理的简化。2. 2基本公式在交流高压电网中，输电线路的电抗要比电阻大得多，系统中母线有功功率的变化主 要受电压相位的影响，无功功率的变化主要受母线电压幅值变化的影响。在修正方程式的 系数矩阵中，偏导数一9和 P的数值相对于偏导数 Q和是相当小的，作为简化3 VV3的第一步，可以将方程式（2- 1）中的子块N和K略去不计，即认为它们的元素都等于零。 这样，n 1 m阶的方程式便分解为一个n 1阶和一个m阶的方程式，即将式（2- 1）简 化为式（2 2）和式（2 3） oPHNQKL Vd1 V(21)PH 3(22)QLVd1

13、 V(23)上述的简化大大地节省了计算机的内存和解题时间，但是矩阵H和L的元素都是节点电压幅值和相角差的函数，其数值在迭代过程中是不断变化的。因此，快速分解法潮流计 算的第二个简化，也是最关键的一步简化就在于把系数矩阵H和L简化成在迭代过程中不变的常数对称矩阵。在一般情况下，线路两端电压的相角差是不大的（通常不超过10 20 ） 因此可以认为此外，与系统各节点无功功率相适应的导纳BLDi必远小于该节点自导纳的虚部，即BLDiQiV2BH或QiVi2BH考虑到上面的关系，矩阵H和L的元素的表达式便被简化为H j ViVj Bhj(i，j=1，2,n-1 )(2 5)LjViVjBj(i，j=1，

14、2,，m)(2 6)V1B11V1V1 B12V2V1B1,n 1Vn 1V2B21V1V2 B22V2V2 B2,n 1Vn 1H(2 7)Vn 1 Bn 1,1 V1V n 1 Bn 1,2V2Vn 1 Bn 1 ,n 1Vn 1V1 B11V1V B12V2V1 B1 mVmLV2B21V1V2 B22V2V2 B2mVm(2 8)Vm Bm1V1Vm Bm2V2Vm BmmVm将式（2 7）和式（2 8）分别代入式（2 2）和（2 3），便得到:用Vd1和Vd2分别左乘以上两式便得简化了的修正方程式，可展开写成:V1B11B12B1,n 1V1缶P2V2B21B22B2,n 1V2込P

15、n 1Bn 1,1Bn 1,2Bn 1 ,n 1Vn 1 谕 1Pi(2 9)V1Q2B11B21B12B22B1mV1B2mV2V2QmBm1Bm2BmmVm(2 10)式（2 9）和式（2 10）就是快速分解法潮流计算的修正方程式，其中系数矩阵都是 由节点导纳矩阵的虚部构成，只是阶次不同，矩阵B为n 1阶，不含平衡节点对应的行和列，矩阵B为m阶，不含平衡节点和PV节点对应的行和列。nR Rs R Rs Vi Vj Gij cos 勺 Bij sin 5j（2 11）j 1nQi Qis Qi Qis Vi Vj （Gj sin 毎 Bj cos 毎）（212）j 1修正方程式（2 9）和（

16、2 10）与功率误差方程式（2 11 ）和（2 12）构成了快速 分解法迭代的基本计算公式。2. 3快速分解法的特点快速分解法与牛顿法潮流计算的主要差别表现在它们的修正方程上。快速分解法通过对电力系统具体特点的分析，对牛顿法修正方程式的雅克比矩阵进行了有效的简化和改进， 得到式（2 9）、式（2 10）所示的修正方程式。这两组方程式和牛顿法的修正方程相比 主要有三个特点：a）快速分解法的修正方程式用两个n阶线性方程组代替了一个2n阶线方程组。b）快速分解法的修正方程式中系数矩阵的所有元素在迭代过程中维持常数不变c）快速分解法的修正方程式中系数矩阵是对称矩阵。这些特点在提高计算速度和减少内存方面

17、的作用是很明显的：首先，因为修正方程式 的系数矩阵是导纳矩阵的虚部，因此在迭代过程中不必像牛顿法那样每次都要重新计算雅 克比矩阵，这样不仅减少了运算量，而且也大大简化了程序；其次，由于系数矩阵在迭代 过程中维持不变，因此在求解修正方程式时，不必每次都对系数矩阵进行消去运算，只需 要在进入迭代过程以前，将系数矩阵用三角分解形成因子表，然后反复利用因子表对不同 的常数项 P/V或Q/V进行消去和回代运算，就可以迅速求得修正量，从而显着提高了 迭代速度；第三，由于对称矩阵三角分解后，其上三角矩阵和下三角矩阵有非常简单的关 系，所以在计算机中可以只存储上三角矩阵或下三角矩阵，从而也进一步节约了内存。快

18、速分解法所采用的一系列简化假定只影响了修正方程的结构，也就是说只影响了迭 代过程，但未影响最终结果。因为快速分解法和牛顿法都采用同样的数学模型，最后计算 功率误差和判断收敛条件都是严格按照精确公式进行的，所以快速分解法和牛顿法一样都 可以达到很高的精确度。为了改善快速分解法的收敛特性，修正方程的系数矩阵 B 与 B 一般并不简单的是电力 系统导纳矩阵的虚部，下面讨论一下 B 与 B 的构成。B 与 B 的阶数是不同的， B 为 n 1阶， B 低于 n 1阶。因为式（210）不包含于 PV 节点有关的项，所以，如果系统有 r 个 PV 节点，则 B 应为 n r 1阶。式（ 29）以有功 功率

19、误差为依据修正电压向量的角度，式（ 210）以无功功率误差依据修正电压幅值。为 了加速收敛，使它们能够更有效地进行修正，可以考虑在 B 中尽量去掉那些与有功功率及 电压向量角度无关或影响较小的因素， 而在 B 中尽量去掉与无功功率及电压幅值影响较小 的因素。所以，我们以电力系统导纳矩阵的虚部作为 B 和 B 时，可以在 B 去掉充电电容和变压器变比的影响，在B中去掉输电线路电阻对么 1r 八 口丄宀 _tx/只* 八、Fr/ c，八 I.B的影响。B和B的非对角元素和对角兀系可分别按式（2 13）和（2 14）计算：BjXj BXj(2.13)2 2BiirjXj2 2 j ijXijB1BX

20、jbioj i xij(2.14)式（2- 13）中rj和Xj分别为支路ij的电阻和感抗，式（2- 14）中bio为节点i接地支路的 电纳。快速分解法改变了牛顿法迭代公式的结构，因此就改变了迭代过程的收敛性。牛顿法 在迭代开始时收敛得较慢，当收敛到一定程度后，它的收敛速度非常之快，而快速分解法 几乎是按同一速度收敛的，快速分解法每次迭代的计算量很小，因此快速分解法的计算速 度比牛顿法有明显的提高。二、潮流计算的使用方法1.初始方式准备对任何潮流模拟操作计算，总是在某一个初始的运行方式上进行。这种初始方式可以是状态估计提供的实时运行方式，也可以是以往保存的历史运行方式。2.调度操作模拟在准备好的初始潮流断面上，可以继续修改方式，模拟预想的潮流运行方式，再进行 详细的潮流分析。模拟操作包括:1) 开关刀闸变位模拟2) 发电机功率调整3) 负荷功率设置4) 发电机分接头设置5) 线路停运、投入6) 变压器停运、投入7) 母线停运、投入8) 厂站停运、投入3. 运行参数维护潮流计算参数画面上可以设置算法、收敛判据、迭代次数、单 / 多平衡机等运行参数PQ节点、PV节平衡发电机是电气岛内的电