沪教版九年级上册数学25.1-25.2锐角的三角比

1、25.1-25.2锐角三角比的意义及求值学习目标】1、通过实验、观察、探究、交流、猜测等数学活动，探索锐角三角比的意义。2、理解锐角三角比的意义， 记住三角比的符号， 会进行三角比的文字语言与符号语言的转化。3、会求直角三角形中指定锐角的三角比。4、应用锐角三角比的意义及运用特殊锐角三角比值进行计算。主要概念】 一】锐角的三角函数的意义 1】正切的概念在 RtABC中， C=90，我们把锐角 A的对边与邻边的比，叫做 A的正切，记作 tanA锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作 cosA，即2】正弦和余弦的概念如图，在 RtABC中，C=90，锐角 A的对边与斜边的比叫做 A的正弦，

2、记作 sinA ，【3】三角函数的概念：在直角三角形中，锐角 A的正切(tanA) 、正弦(sinA) 、余弦(cosA) ， 都叫做 A的三角函数【二】同角的三角函数之间的关系1】平方关系： sin 2 cos2=1【2】商数关系：【三】互余的两角的关系 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值， 任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于 1即若 A+B=90，则 sinA=cosB ，cosA=sinB， tanAtanB=1【四】特殊锐角的三角函数值030456090sinA01cosA10tanA01典型例题：例1、在 RtABC中，C=900，AC

3、=3,BC=2,求tanA 和tanB 的值.解：在 Rt ABC中，AC=3,BC=2tanA=BCACtanB= ACBC分析：(1) 要求 sin 与 cos 的关系的值，而已知 tan 的值，故可通过来求值(2) 已知 tan 的值，也可通过，把要求的式子的分子， 分母同时除以转化成关于 tan 的关系，这样便可求出结论2cos 点评：在进行三角函数有关计算时，常利用有关公式进行变换例 3、在 RtABC中， C=900，BC=4，AB=5，求 cotA 和 cotB 的值 . 解：在 Rt ABC中，由勾股定理得AB 2=AC2+BC2BC=4,AB=5,AC= AB2 BC2 52

4、 42 3.cotA= ACBCcotB=BCAC3443例 4、在 RtABC中，C=90，若，求 cosB，tanB 的值分析：本题主要考查锐角三角函数的定义，结合图形求解可化繁为简，迅速得解 解：如图，设 BC=3m，则 AB=5m，例5、如图所示，已知 AB是 O的直径， CD是弦，且 CDAB，BC=6，AC=8，则 sin ABD的 值是( )分析：因为 AB是O的直径，所以 ACB=90 因为 BC=6，AC=8，所以 AB=10因为 ABD=ACD= ABC，所以在 RtACB中，故正确答案为D答案：D例 6 、计算分析：这是一组有关特殊角三角函数值的计算题，计算中最关键是将它

5、们先化成具体的数值， 同时还要应用其它一些知识帮助求值， 如(1) 注意分母有理化， (2) 应掌握整数指数幂的意义 解：点评：学过锐角三角函数后，特殊角的三角函数的计算是常考不衰的内容，做这类题主要分两 步：（ 一） 代入； （二）计算因此，特殊角的三角函数值必须牢记例 7 、若 为锐角且 sin sin ，那么（ ）Atan tan Btan tan Ctan =tan Dtan 、tan 大小关系不确定例 8 、求适合下列各式的锐角 点拨：所有锐角三角函数值都是正数，而且正弦和余弦值都不大于1，不符合条件的三角函数值应舍去例 9、如图，在 ABC中， A=30， B=45， AC=4，求

6、 BC的长分析：题中有 30， 45特殊角，想把它们放到直角三角形中，利用三角函数来解题点评：（1）在作高线构造直角三角形时，一般不过特殊角的顶点作垂线，这样便于利用特殊角 解题（2）有些简单的几何图形可分解为几个直角三角形的组合，从而利用三角函数的定义求 解例 10、如图所示在四边形 ABCD中， AB=2， CD=1， A=60， D=B=90，求此四边形 ABCD的面积分析：由已知 B=90，A=60这两个条件想到延长 BC，AD，使它们相交， 构成直角三角形例 11、在矩形 ABCD中 DEAC于 E，设 ADE=，且，AB=4，求 AD分析：在矩形中 AB=DC=，4可证 = 1，于

7、是条件转移到 DCE中来了，求出 DE 解：在矩形中 AB=DC=，4 2 =90又 DE AC，12=90 1=点评：注意把条件集中到一起例 12 、如图 RtABC中， C90，AC3，BC4. 求： sin A ， cos A，tanB ，cotB 的值。解： C90， AC3，BC 4 AB 32 42 =5sin A BC4AB5tanBAC3BC4cotBcosAACABBC 4AC 3说明：根据锐角三角比的意义，一定要搞清楚正弦，余弦，正切，余切分别是哪两条边的比 值。例 13 、已知 为锐角，且 sin 5 ，求 的余弦值13 解：画一个直角三角形 ABC， C90， A 为

8、5 sin ， BCAB 51313设 BC5k ，则 AB13k所示AC12kAC 12 cosAB 13由勾股定理得 AC 2 (5k)2 (13k)2说明：将条件 sin 5 转化为一直角三角形的一条直角边与斜边之比为 513，用字母常数 13k表示边长为 5k与 13 k ，这是常用的方法，它体现了锐角三角比意义的灵活运用。例 14、若 为锐角，且 sin k 2，试求 k 的取值范围。 解： 为锐角， 0 sin 1 sin k 2， 0k 212 k 3说明：由于直角三角形的直角边小于斜边，所以锐角的正弦及余弦值都大于零且小于 1例 15、已知 RtABC中， C90，AC2，BC

9、3，那么下列各式中，正确的是(例 16 、 示） 答案：在 ABC中， A90，设 B ，AC b ，则 AB（用b和 的三角比表b cot例 17 、已知 是锐角，且 cot m ，则 sin 。答案：1 m21 m22A sinB3答案：CB cosBC tanB 23D cot B 23例 18、在正方形 ABCD中， ABD的余弦值等于 答案： 2定要熟练掌握2说明：对于特殊锐角 30 ， 45 ， 60 的三角比例 19 、已知 是锐角，且 cos1 3 sin 的值。解： 是锐角，且 cos 2 30 tan3， sin3tan1 3 sin3131122说明：能根据锐角三角比的值

10、求锐角度。例 20 、已知 是锐角，且 sin cos ，则 答案： 45例 21、计算： sin30 tan60 cot60 (cos45 )2答案： 2 33【达标训练】一、选择题1. 在 Rt ABC中， C 90 ，那么 tanA sinB 的值为（）AaB.cC.a D.bcaba2.等腰三角形的腰长为13, 底边为 10,那么底角的余弦值为 ( )A.12B.12C.55D.13512133.一个钢球沿坡角为 31 的斜坡向上滚 5米,此时钢球距地面的高度是 ( ) 米A. 5sin 31B.5cos31C.5tan31 D.5cot 314.在 Rt ABC中， AD是斜边 BC

11、上的高,如果 BC=a, B,那么 AD等于( )A. a sin 是 .13. 等腰三角形的两边长分别为 6 和 8, 那么底角的余弦值为.三. 解答题 14. 计算: 2(2cos 45 tan45 ) (tan 60 sin30 )0 (2sin 45 1)B.a cos2C.asin cos D.asin tan二. 填空题5. 在 ABC中, C 90 ,AB=3,AC=2.则 cosA=.6. 在 Rt ABC中， C 90 ,BC=3, cosB 1, 那么 AB= .67. 在离旗杆 20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为,如果测角仪高为 1.5 米,那么旗杆的高为米( 用含

12、 的三角比表示 ).8. 在 ABC中,若tan A B 1, 则 C =.9. 计算: 2sin 60 4cos30 3tan 60 =.10. 在 ABC中, 如果 AB=4 3 ,BC=8,AC=4,那么 C 的度数为 .11. 设 为锐角 , 则 cos 1= .12. 在 ABC 中 ,A , B 均 为锐 角, 且 tanB 3 (2sin A 3)2 0 , 则 ABC 的形状17. 如图:在直角坐标平面内， O为原点，点 A的坐标为 （10，0），点B在第一象限内， BO 5，3sin BOA 5【参考答案】1.A; 2.D; 3.B; 4.C; 5.9. 2 3; 10. 6

13、0 ; 11.求：（1）点 B的坐标；（2） cosBAO的值23; 6. 18; 7. 20tan ； 8. 90 ;32231 cos 12. 等边三角形 ; 13.2 或 3;3814. 2 2 ; 15. sinDcosDtanDcotD16. DC=6,sin B4 414117. B(4,3) ,cos BAO255综合能力训练】 一、判断题(在括号内对的打“” ，错的打“”)BC1 在 Rt ABC，sinA=. ( )AB2在RtABC中，若 C=900，则sinB= a.( )c3在RtABC中，若 C=900，则 sinA=cosB.( )4在RtABC中，若 C=900，

14、则 C=bcosA.( )二、填空题5 在 RtABC中， C=900，BC=2AC， 则 sinA= ,sinB= ,tanA= .6. 比较大小： sin46 0 sin480,cos30 0 sin60 0,cos44 0 sin447. 在 RtABC国。 C=900，且 CDAB，CD=4，BD=3，则 sinB=.8. 在 RtABC中， C=900，且 AB=4，BC=3，则 sinA=,cosA= .三、简答题9. 在直角坐标平面内有一点 P(2，4)，求 OP与 x轴正半轴的夹角 a的 4个三角比值10. 已知 cosa113 ，且a是锐角，求 sin a、tan a的值。创

15、新思维训练】11.已知a是锐角， sina 21，求 tcaontaa 11的值12.已知方程 2x2-( 3 +1)x+m=0的两个根分别为 xsin 和cos ，而且 为锐角，求与 m的值1. 2. 3. 4. 5.2555256. 7.8.34 47 9.sina25,cos a5tana1,cot210.设 a= A,C=900cosa=b=k则 c=3k,a 2 2k,sina=sinA=2 2k3k223,tana=tanA=11.sina= 1 =2a ,a=k,c=2k,b= 3 k,tana= c3,cota= 3 ,3tanacota3133123312. 因 为sin cos3 1 ，cos sin2m2 ，把平方即sin2+2sin cos+cos2即