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文档简介

1、洛必达法则的简便证明(以x Xo为例)柯西中值定理可用于证明洛必达法则和泰勒公式定理(0型，一型)若函数f和g满足条件01) lim f(x) lim g(x) 0 (是说极限为型不定式)(一型中的1) lim g(x) )X XoXX)0x xo2) lim f(X)A ( A为实数或，)(是说在x0的某邻域U (x0)内，f (x)有意义,x Xo g (x)g (x)且有确定的趋势)，则lim 竺 A.X x0 g(x)证明0型型1. A有限故，U：(X0)，X U 、(X0)，f (x)AAg (x)所以，x ,x U J(x0) 且X0 X X，由柯 西中值定理，(X,x) U (X

2、0)，使Af(X) f(x) f ( ) Ag(x) g(x) g ()令Xx0，由保号性，Alim 出 AX 冷 g(x)由实数a b的语言形式的定义，f (x) limA.x 冷 g(x)分子分母同除以g(x)，即f(x) f(x)A g(x) g(x) A g(x) 1A .g(x)令xX。，由lim g(x )及保号性，X X0Alim f(X) Ax x0 g(x)由a b的语言形式的定义，limd A，即lim 出 A.x 0 g(x)x 0 g(x)2.A从lim上血知f (x) 0，否则，x x0 g (x)lim丄凶0，与假设矛盾x x0 g (x)由无穷小与无穷大的关系，因

3、为 G 0, U：(x。)， x U ：(X0)， 宀g.g(x)所以，X , X U (Xo)且 X) X X，由柯西中值定理，(X,x) U (X0)，lim -gx) 0.x x0 f (x)从而化为已证的 A有限的情形，有lim0，故由无穷小与无穷大XX。f(x)的关系，lim f(x)A.x 冷 g(x)1 f(x) f(x) f ( )| G. g(x) g(x) g ()分子分母同除以g(x)，有f(x) f(x) | f(x) | f(x) |G | g(x) g(x) | g(x)g(x)1 g(x) 11| g(x)g(x)lg(x)得1 f(x)g(x)f(x)g(x)g

4、(x)g(x)因 xx0 ， | g (x) 1|1(丄)及保g(x)2号性，|g(x) 1|1 ；g(x)2因xxo ，| 0,及疋义，0，g(x)f (x) ll g(x)于是1丄血|丄G,g(x) 2即1G |f(x)|.2g(x)由实数a b的语言形式的定义，|f(x)| 3. g(x) 2故 lim ( )A，即x x0 g(x)lim 3A.x x0 g(x)注 同时满足定理的几个条件才可适用只有断言limX Xof (x) g(x)A时（A为实数或，），洛必达法则才能使用否则，无法使用.品文档,2 . 1x sin 例如limxx 0 x丄1不存在，无法使用定理作判断，其实,limx 0 g (x)2 . 1x sinx 0.精x你值得期待可

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