(完整版)圆锥曲线-面积问题(原题+答案)

1、直线与圆锥曲线的位置关系专题一:面积问题1、已知长轴为12,短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点R作倾斜解为 的直线交椭圆于 A，B两点，求弦 AB的长.3解：利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.AB v1 k2 x1 x2(1 k2)% X2)2 4x2 因为a 6, b 3，所以c 3 3 又因为焦点在x轴上，2 2所以椭圆方程为 壬 1，左焦点F(3. 3,0)，从而直线方程为369y 3x 9 由直线方程与椭圆方程联立得13x272 .3x 36 80 设X1 ,X2为方程两根,所以x1 x272 3,X1X213空,k -3 ,13从而ABk2 x1X2(1 k2)(x1 x

2、2)2 4x1x2 132、已知椭圆2 x 2 a2 y_ b261 (ab0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距3离为3 。(I)求椭圆的方程;(n)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为上色,求厶AOB2面积的最大值。c/6解：(I)设椭圆的半焦距为c，依题意a ta3,2b 1 , 所求椭圆方程为y2 当且仅当9k2，即k 1。3由已知rm=，得 mk22kx m代入椭圆方程，整理得2(k3 一 4(n)设 a(x, yj , B(X2, y2)。(1 )当AB丄X轴时，AB屈。(2 )当AB与X轴不垂直时,设直线AB的方程为ykXm。(3k2 1)x2 6kmx

3、 3m230,XiX26 km3k2 1X-|X23(m2 1)3k2 1AB(1 k2)(X2Xi)2(1 k2)36k2m2(3k2 1)212(m2 1)3k2 13(k21)(9k21)(3k2 1)212(k21)(3k21 m2)(3k21)212k29k4 6k2 1129kk2-(k6122 3 6时等号成立。当k 0 时，AB ,综上所述ABmaX 2。当AB 最大时， AOB面积取最大值S2 I AB max 3、如图，直线y2X2kx b与椭圆 y43o2ABC的面积为S。(i)求在k1交于A、B两点,0,当且仅当b2S取到最在值1,(n)当AB 2,S 1时，求直线AB

4、的方程。解：(i)解：设点 A的坐标为 Xj,b，点B的坐标为x2,b ,2由b所以 S - b X1X2 2b 1 b2b21 b 1,1，解得 X2 1 b2 ,4y kx b,(n)解：由x21,1得 k2 x2 2kbx b210,44k.2.6 b21,ABk2X1X2I224k b 121 k24设O到AB的距离为d，则2sd AB1,又因为dbk2 ,所以b2k21,代入式并整理，得k4 k20,解得，k22，b23，代入式检验,故直线AB的方程是4、已知椭圆的中心在坐标原点0,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四2*1(a b 0).当厶AOB面积取得最大值时，求直边形

5、为正方形，丝c(I )求椭圆的方程；(n )直线I过点P(0,2)且与椭圆相交于 A、B两点, 线I的方程。2解：设椭圆方程为a(I)由已知得b c 丿2a2b22ab22 c所求椭圆方程为(II )解法一：由题意知直线的斜率存在,设直线I的方程为ykx2， A(x1, yi), B(X2, y2)kx 2消去y得关于x的方程:y2 1(1 2k2)x2 8kx2k2) 0，由直线I与椭圆相交A、B两点， 064k224(1解得k23，又由韦达定理得治X2x1 x28k1 2k221 2k2ABv1 k2 x1X21 k2 . (x1X2)2 4x1X21 16k2 241 2k2原点o到直线

6、i的距离d_2_1 k2S ADB-16k2241 2k222；2k231 2k2解法解法1对S4S2k42七竺两边平方整理得:4(S24)k2 S216(S24-S2丁S224 c2 04S22 1整理得：S22又S 0，24(*)4)24S2(S224)从而S AOB的最大值为此时代入方程（* ）得4k4所以,28k249 0142所求直线方程为:2y2：令 m2k23(m0),则2k2m232 2m2、2当且仅当m2时,Smax所以，所求直线方程为、14x 2y 4 0.解法二：由题意知直线 I的斜率存在且不为零设直线丨的方程为y kx 2， B(x2,y2)2则直线I与x轴的交点D(

7、,0)k解法1： S aob1-OD2122kyi y2kx12 kx228k1 23X1X21 2k2k且126X1X221 2k由解法一知:(Xi X2)2 4Xi X2.16k2241 2k22 2*2k231 2k2F同解法解法2： S aobPOBS POAX112 x22X2捲22 2，2k 3 1 2k2下同解法一、 2 、 、5、已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，为其焦点，一直线过点F12与椭圆相交于A, B两点，且 F?AB的最大面积为 2，求椭圆的方程。解：由e =2得a:b:c 2:1:1，所以椭圆方程设为 x2 2y2 2c22设直线AB :x my cx my c，由 22x2 2y22 2 2 24c (m 2) 4c (2m得: (m22)y2yi.2 24m c设A(x1, y1), B(x2, y2)，则y1, y2是方程的两个根2mc2 2 m22所以c22c.m21m2 m21c?2、2c% y2由韦达定理得y2.(yi y2)2 4y22|F