平面介质光波导和耦合模理论

1、浙江大学光电系1 第二章 平面介质光 波导和耦合模理论 浙江大学光电系：时尧成http:/ 浙江大学光电信息工程学系浙江大学光电信息工程学系 集成光电子器件及设计集成光电子器件及设计 浙江大学光电系2 第二章 平面介质光波导和耦合模理论 平面介质光波导（光波导理论） 光波导的结构；平板光波导，条形光波导， 阶跃折射率光波 导， 渐变折射率光波导； 模式，导模，基底模，辐射模，传播常数； 平板光波导中的TE模和TM模； 条形光波导中的 模和 模； 耦合模理论 模式耦合，平行耦合，反向耦合的概念； 平面介质光波导的耦合模微扰理论； 导模之间的耦合，导模与辐射模之间的耦合；

2、 定向耦合器和分支Y波导； y mn E x mn E 浙江大学光电系3 2.1 平面介质光波导 2.1.1 平面介质光波导概述 什么是集成光学？ 平面光波导概述 2.1.2 平板光波导的分析方法 射线光学法 波动方程法 2.1.3 条形光波导的分析方法 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法 目前，“集成光学”的概念涵盖广泛的内容。 1969年美国贝尔实验室的Miller博士 （1）光束能限制在光波导中传播； （2）利用光波导可以制成各种光波导器件； （3）将光波导和光波导器件集成起来可构成有特定功能的 集成光路 美国华裔科学家田柄耕假借集成电路的概念，对集成光学归 纳了三条定义： 概念的提出

3、什么是集成光学？ 从四个方面理解集成光学的概念： 理论基础 光学 光电子学 工艺基础 薄膜技术 微电子工艺 主要目的 实现光学 系统的薄 膜化、微 型化和集 成化 主要应用 光纤通信 光子计算机 光纤传感 光学信息处 理等 集成光学的分类 按集成的方式划分 个数集成 功能集成 按集成的类型划分 光子集成回路（PIC） 光电子集成回路（OEIC） 按集成的技术途径 划分 单片集成 混合集成 按研究内容划分 导波光学 集成光路 浙江大学光电系7 个数集成 功能集成 q 电子学的发展过程：从真空管器件的真空 电子学以晶体管为基础的固体电子学以集 成电路为标志的集成电子学集成电子学。 q 光子学也将有

4、类似的发展过程：多元化的 各种类型的激光器、光电探测器，并将向以微 纳光子器件及光子集成器件为标志的集成光学集成光学 的方向发展。 集成电子学和集成光学 8 集成光学正经历着于集成电子学 同样的发证轨迹： 更小的单个器件。 更紧密的集成。 更低成本的加工工艺。 intel 4004 1971 IBM CELL 2005 transistor radio 1954 分立元件 集成光学芯片 纳米集成光学芯片 集成电子学和集成光学 9 但是 o集成电路（Electronic Integrated Circuits）。 l1958年发明 60年代：导弹制导芯片，小规模集成电路 70年代：计算器，中大规

5、模集成电路 o集成光路（Photonic Integrated Circuits）。 l1969年发明 1995左右：商用AWG波分复用器 n包层) 光纤 1870年，英国物理学家丁达尔 太阳光随着水流发生弯曲 n水 n空气，光发生全反射 光纤的发展 2021-5-119 “Father of Fiber Optic Communications“Charles Kuen Kao K. C. Kao, G. A. Hockham (1966), Dielectric-fibre surface waveguides for optical frequencies”, Proc. IEEE 11

6、3 (7): 11511158. 2009 Nobel Prize winner “for groundbreaking achievements concerning the transmission of light in fibers for optical communication” 光纤的发展 浙江大学光电系20 1966年，高锟和霍克哈姆发表的年，高锟和霍克哈姆发表的用于光频的光纤表面波导用于光频的光纤表面波导奠定了现代光通信的奠定了现代光通信的 基础。高锟被尊为光纤之父基础。高锟被尊为光纤之父。 1970年，美国康宁公司制出对0.6328 m波长的损耗为20dB/km的石英光纤

7、，从 此介质波导在光纤通信、传感等领域得到了广泛的应用。 之后爆炸性发展，从光纤损耗看 1970年，20dB/km 1972年，4dB/km 1974年，1.1dB/km 1976年，0.5dB/km 1979年，0.2dB/km 1990年，0.14dB/km 接近石英光纤的理论损耗接近石英光纤的理论损耗 0.1 dB/km 短短几十年之内，全世界铺设的 光纤总长度已超过10亿亿公里，足 以绕地球赤道2.5万万次 浙江大学光电系21 浙江大学光电系22 平面光波导型器件 优点: 低成本, 小尺寸, 高稳定性, 适合于大批量 生产,抗电磁干扰，同时光制作工艺与集成电路 工艺相兼容，可以方便与其

8、它光电子集成器件集 成于一个衬底上，实现单片集成等等 浙江大学光电系23 平面光波导型器件 浙江大学光电系24 在波导的包层中仍然存在光波的传输（倏逝波），但由于波导的限制作用，在波导的包层中仍然存在光波的传输（倏逝波），但由于波导的限制作用， 光束不会像在自由空间中那样发散光束不会像在自由空间中那样发散 光波的传输 浙江大学光电系25 平板波导平板波导条形（矩形）波导条形（矩形）波导 nhigh nlow nlow nhigh nlow 脊形波导脊形波导 nhigh nlow nlow 1-d 光限制光限制 2-d 光限制光限制 cladding cladding core core cla

9、dding 阶跃折射率光纤阶跃折射率光纤 渐变折射率渐变折射率 (GRIN) 光纤光纤 core cladding 平面光波导的分类 浙江大学光电系26 光纤的折射率分布 单模光纤(Single-mode Fiber)：一般光纤跳纤用黄色表示，接头和保护套为蓝色；传输距离较长。 多模光纤(Multi-mode Fiber)：一般光纤跳纤用橙色表示，也有的用灰色表示，接头和保护套用米色或者黑色；传输距离较短。 50/125m 62.5/125m 浙江大学光电系27 光波导折射率分布 折射率突变型（阶跃型） SiO2，SOI， InP， Polymer SiO2:Ge SiO2 Si substr

10、ate n=1.47 n=1.46 渐变折射率波导 渐变折射率光波导 Ti扩散LiNbO3波导，K+离子交换玻璃波导 2021-5-128 渐变折射率波导 其中n0为基片折射率，n为扩散引起的最大折射率变化，w为扩 散源的横向宽度，hx、hy分别为横向、高度方向的扩散深度 浙江大学光电系29 0 ( , ) ( ) ( )n x ynn g x f y xx h xw h xw xg 2/ erf 2/ erf 2 1 )( )/exp()( 22 y hyyf 首先在铌酸锂基体上用蒸发沉积或溅射沉积的方法镀上钛膜，然后进行光刻，形 成所需要的光波导图形，再进行扩散。可以采用外扩散、内扩散、质

11、子交换和离 子注入等方法来实现。 其中其中 浙江大学光电系30 光波导材料 Si substrate Core-SiO2:Ge 浙江大学光电系31 2.1 平面介质光波导 2.1.1 平面介质光波导概述 2.1.2 平板光波导的分析方法 射线光学法 波动方程法 2.1.3 条形光波导的分析方法 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法 浙江大学光电系32 平板光波导 平板波导通常由三层介质组成 导波层：中间层，介质折射率n1最大 覆盖层：上包层，折射率n3 n1 衬底层: 下包层，折射率n2 c Critical Angle TIR Evanescent Wave o Incident Light

12、Reflected Light Refracted Light n1 n2 ic R n2 n2 波导内入射角波导内入射角 c 全反射形式稳定传输全反射形式稳定传输 波导的数值孔径 如果将光耦合进入波导稳定传输，那么如果将光耦合进入波导稳定传输，那么 在空气中的入射角应满足什么条件在空气中的入射角应满足什么条件 2 min 1 sin; n n 全反射临界角 2 2 2 11max0 sinsinnnnn c 最大入射角最大入射角, 可以从可以从Snells定律求得定律求得 max0 数值孔径数值孔径: 1 21 1 2 2 2 1max0 2sinNA n nn nnnn 波导的数值孔径 光

13、要想耦合进入波导稳定传输，入射角必须小于某个值0，但是否只要小于该角度就能稳 定传输呢？ 浙江大学光电系40 平板波导的色散方程 式中m 是整数，代表不同的模式, 真空中波 矢 要维持光波在导波层内传播，必须使光波在导波层上、下界面之间往返一次的总相移为 2的整数倍。上、下截面全发射相移分别为13、 12 ，则可得到平板波导的模方程： 101213 2ncos2k tm c k 2 0 z x t=2a A C B 入射波阵面 二次反射波阵面 一次反射波阵面 n3 n2 n1 只有满足这个条件（本征方程）的光才可能稳定传输。只有满足这个条件（本征方程）的光才可能稳定传输。 每个每个m取值代表本

14、征方程的一个解。取值代表本征方程的一个解。 思考：该方程中各字母的物理意义思考：该方程中各字母的物理意义 是相位 的单位 1、2界面 反射时产 生的相位 1、3界面 反射时产 生的相位 光波前进过程 中的相位变化 101213 2ncos2k tm 思考：光在思考：光在1、2和和1、3表面全反射时分别产生了一表面全反射时分别产生了一 个附加相位，为什么？个附加相位，为什么？ 思考：全反射时发生的思考：全反射时发生的 相位变化大小怎么求？相位变化大小怎么求？ 只要想到反射折射的大小变化，首先想到菲涅尔公式只要想到反射折射的大小变化，首先想到菲涅尔公式 1122 1122 coscos ()= c

15、oscos TEs nn rr nn 或 1122 sinsinnn代入折射定律 全反射相移全反射相移 当全反射发生时当全反射发生时 根号为虚数，因此此时的根号为虚数，因此此时的 反射系数为一复数反射系数为一复数 1/2 222 1 12 12 22 1 sin 2tan cos nn n 1/2 222 1 13 13 22 1 sin 2tan cos nn n 全反射相移全反射相移 思考：全反射时的相位变化究竟怎么产生的？思考：全反射时的相位变化究竟怎么产生的？ expEAj k r 思考：光在传输过程里如何产生相思考：光在传输过程里如何产生相 位变化？位变化？ 相位不存在突变之说，相位

16、的产生途径只有一个，相位不存在突变之说，相位的产生途径只有一个， 即传输一段距离，即相位变化源自于即传输一段距离，即相位变化源自于 101213 2ncos2k tm 思考：从以上分析可以得到什么必然结论？思考：从以上分析可以得到什么必然结论？ expEAj k r 全反射时，光不是于入射点终止，而是 前进了一段又回来了 101213 2ncos2k tm 古斯汉森古斯汉森(Goos-Hanchen)位移位移 在全反射发生时，在全反射发生时， 实际入射光会部实际入射光会部 分进入光疏介质，分进入光疏介质， 形式上相当于反形式上相当于反 射点相对入射点射点相对入射点 有个偏移距离有个偏移距离 浙

17、江大学光电系47 平板波导的本征方程 对于TE波，全反射相移为 1/2 222 1 12 12 22 1 sin 2tan cos nn n 1/2 222 1 13 13 22 1 sin 2tan cos nn n 1/21/2 222222 11 1312 1 0 2222 11 sinsin ncostantan coscos nnnn k tm nn 1/2 2222 1 112 12 222 21 sin 2tan cos nnn nn 1/2 2222 1 131 13 222 31 sin 2tan cos nnn nn 对于TM波，全反射相移为 1/21/2 22222222

18、 11 131121 1 0 222222 2131 sinsin ncostantan coscos nnnnnn k tm nnnn 浙江大学光电系48 设平面波在折射率为设平面波在折射率为n1的介质中的波矢量为的介质中的波矢量为k1 k1x = n1k0cos i 式中式中k0为平面波在真空中的波矢的大小为平面波在真空中的波矢的大小 k1z = n1k0sin i k1 在在x方向和方向和z方向的分量分别为：方向的分量分别为： 定义定义传播常数传播常数 ： =n1k0sin i=k1z 定义定义有效折射率有效折射率neff: neff= /k0= n1sin i i n1 n2 n3 x

19、 z d O k1 k1 i k2 t i 传播常数、模式 导波存在条件导波存在条件： k2 k1 n2 neff n1 每个每个m对应一个对应一个 i， 对应一个对应一个 光波导的模式 光线在上、下两个界面的全反射临界 角分别为: c13=arcsin(n3/n1) c12=arcsin(n2/n1) 49 浙江大学光电系50 2.1 平面介质光波导 2.1.1 平面介质光波导概述 2.1.2 平板光波导的分析方法 射线光学法 波动方程法 2.1.3 条形光波导的分析方法 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法 浙江大学光电系51 麦克斯韦方程 从麦克斯韦方程，建立光波在介质波导中的电 磁场分布

20、方程（波动方程），结合边界条件导 出传播模式的特征方程，进而讨论介质波导中 光传播的特性。 HE 0 i EH i 时谐电磁场的麦克斯韦方程组 浙江大学光电系52 波动方程 将矢量各分量展开，得 z x y y zx x y z i yx i xz i zy H E E H EE H E E 0 0 0 z x y y zx x y z i yx i xz i zy E H H E HH E H H 并且考虑到y方向是均匀的，即 0 y 设波沿着z方向传播，则沿z方向场的变化可用一个传输因子exp(-iz)来表示 y z x z y xy Ei x H Hi Hi x E HE 0 0 y z

21、 x y z xy Hi x E Ei x H i E EH 0 TE模(横电模) TM模(横磁模) z x t=2a A C 入射波阵面 二次反射波阵面 一次反射波阵面 n3 n2 n1 浙江大学光电系53 波动方程（TE模） y z x z y xy Ei x H Hi Hi x E HE 0 0 0)( 22 2 0 2 2 y y Exnk x E 2 222 03 2 0 y y E k nE x 2 222 01 2 0 y y E k nE x 2 222 02 2 0 y y E k nE x x n1 n3 n2 y z 包层包层 薄膜层薄膜层 衬底衬底 波动方程的解 上式为

22、波动方程，也叫做Helmholtz方程，其通解可表示为： 2 222 01 2 0 y y E k nE x 12 1 12 1 cossin cos expexp exp yTT T TT T Eak xak x ak x ajk xajk x aj k x 其中 ，通常称为横向波矢。a1, a2, 为待定系数。 222 01T kk n 54 浙江大学光电系55 波动方程的解（场分布） 33 1 22 exp() cladding ( )cos() core exp() substrate yx Exa xa ExEk x axa Exa xa 2222 303 k n 2222 202

23、k n 2222 01x kk n 010302 max(,)k nk n k n 根据物理意义可以预见在导波层内是驻波解，可用余弦函数表示，而在覆盖层、 衬底层中是倏逝波，应是衰减解，用指数函数表示。 导模存在条件：kx、a3、a2均应为实数，故须满足 与射线法结果一致与射线法结果一致 浙江大学光电系56 边界条件 边界条件为：边界处切向Ey分量连续，切向分量Hz也连续，由 知 连续 z y Hi x E 0 x E y (1) x= -a处， 12 cos() x Ek aE 1222 sin()|exp()| xxxaxa k Ek xExa 122 (sin() xx k Ek aE

24、2 tan() x x k a k (2) x=a处， 13 cos() x Ek aE 1333 sin()|exp()| xxx ax a k Ek xExa 133 (sin() xx k Ek aE 3 tan() x x k a k 11 32 2tan ()tan () x xx k am kk TE模 关于的函数 浙江大学光电系57 TE模的特征方程： 与射线法得到结果的一致： 101213 2ncos2k tm 11 32 2tan ()tan () x xx k am kk TM模的特征方程： 22 11 3112 22 32 2tan ()tan () x xx nn k

25、am n kn k 特征方程（本征值方程） 关于的函数 3 tan() x x k a k 2 tan() x x k a k 特征方程 考虑对称波导的情况 浙江大学光电系58 2 tan 2 xx m ak ak a 11 32 2tan ()tan () x xx k am kk 2222 01x kk n 2222 202 k n 222222 012 ()()() x ak ak ann (1) (2) 图解法求解特征方程 024681012 0 2 4 6 8 10 12 pt kxa () a () m=0 m=2 m=1 模式的阶数：m m越大，kx越大，越小。 222222 0

26、12 ()()() x ak ak ann 2 tan 2 xx m ak ak a i n1 n2 n3 x z d O k1 i i 59 图解法求解特征方程 024681012 0 2 4 6 8 10 12 pt kxa () a () m=0 m=2 m=1 模式数量 2222 012 2()k ann M 222222 012 ()()() x ak ak ann 2 tan 2 xx m ak ak a 向下取整 60 图解法求解特征方程 024681012 0 2 4 6 8 10 12 pt kxa () a () m=0 m=2 m=1 0阶模总是存在 2222 012 (

27、) 2 k ann 222222 012 ()()() x ak ak ann 2 tan 2 xx m ak ak a 1阶模存在条件: 2222 012 ()k ann 2阶模存在条件: . 61 图解法求解特征方程 024681012 0 2 4 6 8 10 12 pt kxa () a () m=0 m=2 m=1 单模条件 22 ()() 2 x ak a 2222 012 () 2 k ann 222222 012 ()()() x ak ak ann 2 tan 2 xx m ak ak a 62 截止波长 对于对称平板波导，TE0和TM0的截止波长均为无限长 浙江大学光电系6

28、3 20 0n k 22 12 22 23 22 12 2 arctan TE c dnn nn m nn 辐射模条件辐射模条件 截止波长截止波长 22 12 2 22 23 1 22 3 12 2 arctan TM c dnn nnn m n nn 特征方程与色散曲线 特征方程中有4个参数（n1,n2,a, ），改变任何一个 结构参数都要对方程重新求解，不利于应用。为此作 归一化处理。 传播常数范围： 归一化传播常数： 波导参数V： 1020 nknk 2 2 02 22 12 / kn b nn 10 b 22 012 Vk ann 2 tan 2 xx m ak ak a 用b和V 表

29、示的特征方程： 1 arctan 121 bm V bb （m = 0,1,2,-） 色散曲线：色散曲线： 波导参数一旦确定，对应波导参数一旦确定，对应 模的数量就确定；模的数量就确定； m=0模的传播常数最大，模的传播常数最大， 随着随着m的增大，传播常数的增大，传播常数 减小；减小； 特征方程表示的是特征方程表示的是TE波波 （ S波），习惯用模的阶波），习惯用模的阶 数作为偏振光的下标，如数作为偏振光的下标，如 TE0模，如模，如TE1模等。模等。 当给定V值后，波导中可能存在的 导波模数量就确定了； b=0称为截止，从图中可见，TE1 模的截止V值等于 /2，如果V值小 于 /2，则只

30、有一个模，称其为单 模区； V值大于TE1模的截止V值，称其为 多模区； TM波的导波参数V与TE波稍有不 同，如果相对折射率 不到1%，则 同阶模的V值可认为相同。 色散曲线 2 tan 2 xx m ak ak a 0 nk c 均匀空间平面波 的色散曲线： 三层对称平板波 导色散曲线： （一条直线） 67 平板波导模式分布 33 1 22 exp() cladding ( )cos() core exp() substrate yx Exa xa ExEk x axa Exa xa 将特征方程的解，代入 上式，并确定各个系数， 求得Ey。而后根据右式， 确定其余场分量。 y z x z

31、y xy Ei x H Hi Hi x E HE 0 0 68 平板波导模式分布 69 场在覆盖层和衬底中是按指数函数衰减的，衰减 的快慢分别由衰减系数2和3确定。 平板波导模式分布 2和3的值大，则场衰减快，穿透深度1/ 2和1/ 3就浅，说 明场主要束缚在导波层中。反之， 2和3的值小，则场衰 减慢，穿透深度就深，说明波导束缚场的能力差。 2和3的大小与覆盖层、衬底的折射率有关，同时还与模序数 m密切相关。由模式本征方程可以导出，m越大，则越小， 2和3也越小。这表明高阶模的电磁场可延伸到导波层外的距 离较远。 70 从量子力学的角度来看平板波导对光的束缚 0)( 222 0 2 xUnk

32、 x Helmholtz equation: x n ncorenclad ncore nclad nclad Schrdinger equation: 0)( 2 1 2 xEV m x ? V x V0 Vwell 1-d potential well E1 E2 E3 离散能级离散能级 (能态能态) 势阱越深将支持更多势阱越深将支持更多 的能级的能级 离散的传播常数值离散的传播常数值 波导越宽折射率差越大波导越宽折射率差越大 ，可容纳的模数就越多，可容纳的模数就越多 求传播常数的顺序 波导参数：a,n1,n2 V参数 色散曲线 归一化传播常数b 传播常数 电场分布群速度色散 波长： 72

33、 特征模的展开 任意电场分布的光波入射如何转变成特征模？ 处理方法：将任意电场分布展开，分解成不同特征模 的电磁场分布。 数学上用正交函数展开，如傅立叶级数等，称之为特征模展 开； 各导波模以相应阶数模的传播常数传播； 随着光的传播，不同模之间的相位差将发生变化，导致导波 模叠加以后的电磁场分布也随着传播过程而变化，光束像蛇 一样反复蠕动前进。 () ( , ) ( )exp () m mm m E x t A Exjtz 光波导中的各种损失 在单模波导中导波模只有基模，其余展开分量全 部转变成耦合损失，所以为减小耦合损失，应尽 量使入射光束的形状与波导基模的形状相同。 渐变折射率波导 在扩散

34、性波导中，折射率分布多 为渐变式： 对称型渐变折射率波导 75 渐变折射率波导中光的传播 2a xtp S 0 x z X 光纤向折射率高的方向偏折 76 渐变折射率波导的应用 渐变折射率波导中的光纤传输呈周期性聚焦： 若长度取1/4周期，则输出为平行光： 中间可插入波片、偏振片、滤波片，方便进行光信号处理。 P 77 浙江大学光电系78 2.1 平面介质光波导 2.1.1 平面介质光波导概述 2.1.2 平板光波导的分析方法 射线光学法 波动方程法 2.1.3 条形光波导的分析方法 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法 浙江大学光电系79 条形光波导的分析方法 光在平板波导中传播时，在无约束的

35、方向上发散。为了避免这种情况，在集成光学中通常采用条形波导。 和平板波导相比，条形波导的分析要复杂得多。通常采用近似的方法对此进行分析。 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法 （有限差分，有限元） 浙江大学光电系80 马卡梯里法(Marcaili) y x 2b 2a n4 n3 n2 n5 x y n1 由于导波模的大部分能量集中 在波导芯层内传输，而在波层 中的能量很少，图中阴影部分 的能量就更少。马卡梯里 (Marcaili)方法的近似处理是忽 略图中的四个阴影区域，只考 虑图中五个区域。 矩形光波导的近似分析 严格分析，必须将空间区域 分为9块，每块中有6个场矢 量的分量，同时必须在12

36、个 界面满足边界条件。 Marcaili近似分析近似分析 以Ex、Hy为主的模 x mn E x mn E以Ey、Hx为主的模 y mn E 浙江大学光电系81 22 222 0 22 ( , )0 yy y HH k nx yH xy x mn E y H i H H x H i E yx H E x H HE y z x y z y y y yx 0 1 1 2 2 2 0 从波动方程 出发，且 x mn E的Hx分量为0 假设场分布E(x, y)可以表示成如下分离变量的形式 ( , )( ) ( ) y Hx yX x Y y0)( 11 2 2 0 2 2 2 2 2 kn y Y Y

37、x X X 2 2 2 1 0 y Y k Yy 2 2 2 1 0 x X k Xx 将上式分裂成如下两个方程，即： 分立变量法 22 222 0 22 0 yy iy HH k nH xy 22222 01xy kkk n其中： 对以上两个方程分开求解，然后再合并。 82 浙江大学光电系83 2 3 4 5 1 () 2 () 3 () 4 () 5 cos()cos() 1 cos()e 2 cos()e 3( ) cos()e 4 cos()e 5 B A A B xxyy y W xx y W j z xxix x X yy x X yy Hk xk yi Hk x i Hk xiH

38、xe Hk y i Hk yi 波动方程的解 22222 01 22222 202 22222 303 22222 404 22222 505 xy x x y y kkk n kk n kk n kk n kk n 其中 x mn E 为z方向传播常数 kx,ky为x,y方向传播常数 浙江大学光电系84 特征方程 by x H z E 根据处和 连续的条件 ， 可以得到 22 11 32 22 1213 tan ()tan () yy y kk nn k Wn nn xa x H z E 根据处和 连续的条件 ， 可以得到 22 11 54 22 1415 tan ()tan () xx x

39、 kn kn k Xn nn 用数值方法可获得(kx, ky), 之后再求出模斑分布 x mn E y mn E可以用类似的方法得到 22222 01 22222 202 22222 303 22222 404 22222 505 xy x x y y kkk n kk n kk n kk n kk n 浙江大学光电系85 矩形波导的模场分布 (a) m=1, n=1 (b) m=2, n=1; (c) m=1, n=2; x mn E 浙江大学光电系86 2.1 平面介质光波导 2.1.1 平面介质光波导概述 2.1.2 平板光波导的分析方法 射线光学法 波动方程法 2.1.3 条形光波导的

40、分析方法 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法 浙江大学光电系87 n3 n2 n1 wr H hr x y neff3 neff2 neff3 wr neff2 neff1 neff1 0),( 2 2 0 2 2 2 2 2 Ekyxn y E x E 假设场分布E(x, y)可以表示成如下分离变量的形式 )()(),(yYxXyxE 0)( 11 2 2 0 2 2 2 2 2 kn y Y Yx X X 0),( 1 2 0 2 neff 2 0 2 2 2 knkyxn y Y Y 0)( 1 2 2 0 2 neff 2 2 kxn x X X 将上式分裂成如下两个方程，即 其中ne

41、ff(x)即为等效折射率分布，可由平板波导本征方程解得(同时可得Y(y)，即可 得到一个等效的平板波导，由此很容易得到本征值和相应的本征向量X(x) 等效折射率法 等效折射率法 (1) 将三维波导分解成平板波导的组合 (如图 所示)； (2) 对每个平板波导，沿着y方向根据平 板波导本征方程求解neff(x)(图示neff2，neff3)； (3)根据步骤(2)中得到的neff2，neff3，得 到沿着x方向的折射率分布(二维平板波导)； (4)对x方向的平板波导再解一次平板波导 本征方程，可以得到传播常数。 在整个求解过程中，需要注意的是，若求解 TE模Ex，则在求neff(x)时，应取TE

42、模，而在 求时，应取TM模；求解TM模Ey，则在求 neff(x)时，应取TM模，而在求时，应取TE 模； 浙江大学光电系88 2b n3 n2 x y neff 2a n4 n5 n1 浙江大学光电系89 2.1 平面介质光波导 2.1.1 平面介质光波导概述 2.1.2 平板光波导的分析方法 射线光学法 波动方程法 2.1.3 条形光波导的分析方法 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法 数值解法 解析解比较困难，近似会存在比较大的误差； 数值方法被应用到光波导模式解中 线方法(the Method of Lines, MoL) 矩方法(the Method of Moments, MoM)

43、有限差分方法(the Finite Difference Method, FDM 边界元方法(the Boundary Element Method, BEM 有限元方法(the Finite Element Method, FEM) 浙江大学光电系90 有限差分方法 浙江大学光电系91 2 2 xxxyxx yxyyyy PPEE PPEEz 22 22 0 22 22 2 2 22 0 2 2 2 ()1 () 1 () () 1 ()1 () xx xxxx yy xyy yy yyyy xx yxx n EE P En k E x nxy n EE P E x nyx y n EE P

44、 En k E y nyxx n EE P E y nxxy 折射率n是位置(x, y)的函数，因此不能消去 由麦克斯韦尔方程得到 全矢量波动方程（无近似）： 有限差分方法 设光波沿着z方向传播，则沿z方向场的变化可用一个传输因子exp(-iz)来表示，即 对于FDM，考虑的是某个波导截面的场分布，从而有 ， 如果两个分量之间的耦合很弱以致可以忽略(这对很多光波导器件来说都 是满足的)，就可以考虑半矢量的情形，即忽略耦合项Pxy,Pyx, 可以得到 浙江大学光电系92 2 2 2 (2) xxxyxx yxyyyy PPEE j PPEEzz 0 z 2 2 0 z 22 222 0 22 (

45、)1 xx xx n EE n k EE x nxy 22 222 0 22 () 1 yy yy En E n k EE xy ny TE TM 有限差分方法 五点差分，可以将方程进行差分离散化 浙江大学光电系93 EeEdEcEbEaE jijijijiji 2 1, 1, 11, 2 1 j ae y 2 1, 22 1,1/2, 2 1 ij iji jiji j n b nnxx 22 1,1,22 ,0 22222 1,1/2,1,1/2, 22 112 ijij i j iji jiji jiji jiji jj nn cn k nnxxnnxxy 2 1, 22 1,1/2,

46、2 1 ij iji jiji j n d nnxx 微分变为差分： 0 (/ 2)(/ 2) ( )lim x f xxf xx f x xx 有限差分方法 94 边界条件：数值计算所模拟的空间不能无限大！ 计算空间有限 必须对计算空间进行截断 边界条件 SiO2:Ge SiO2 Si substrate Air 完纯导体边界 边界处电场或磁场设为0 任何达到该边界的电磁场将 被反射 完美匹配层边界(PML) 任何达到该边界的电磁场将 被吸收 用于模拟无限大的空间 计算空间的边界 EeEdEcEbEaE jijijijiji 2 1, 1, 11, 浙江大学光电系95 SiO2波导的模场 几

47、种折射率差的SiO2波导 波导类型低 中 高超高 折射率差()0.250.450.751.5 芯层尺寸m88886677 4455 传输损耗(dB/cm)0.010.0170.0350.07 光纤耦合率*(dB)2-2.5 最小弯曲半径*(mm)251551-2 浙江大学光电系96 *单模光纤：2a=8.9m，=0.27% (加了折射率匹配油). *对于=1.55m，90度弯曲波导的损耗小于0.1dB. 弯曲波导 浙江大学光电系97 浙江大学光电系98 InP波导的模场 浙江大学光电系99 硅纳米波导 TM模场分布 TE模场分布 浙江大学光电系100 LiNbO3波导 TE模

48、场分布 TM模场分布 光束传输法(Beam Propagation Method) 光束传输法(BPM)简单方便、计算速度快、准确性高，因此，现在的光波导数值 分析中，BPM是应用广泛的一种方法。 BPM广泛应用于光波导器件的模拟，如Y分支，MMI光功分器等。BPM发展至 今，已经有快速傅立叶方法(Fast Fourier Transfer ,FFT-BPM)、有限差分 (Finite Difference ,FD-BPM)和有限元光束传输法(Finite Element Method，FEM-BPM)等。 Beam Propagation Method (BPM) 有限差分光束传输法(FD-

49、BPM)是由Yevick.D等人于1989年提出的。 FDBPM的简要过程为：波导横截面被分成很多方格，在每一个格内的场用差分方程来 表示，然后加入边界条件，就可得到整个横截面的场分布,输入初始场，通过不断叠代， 最后可得到整个波导中的场分布。 这种方法已被成功的应用于于光波导器件的模拟，如Y型波导及S型弯曲波导中,MMI光 功分器,定向耦合器等。 2021-5-1102 Beam Propagation Method (BPM) 2021-5-1103 2 2 2 (2) xxxx P EjE zz 2 2 2 (2) yyyy P EjE zz 在傍轴近似的条件下，可以假设在傍轴近似的条件

50、下，可以假设 远小于远小于 ，则，则 这一项被忽略，从而可以得到：这一项被忽略，从而可以得到： 2 2 z 2 j z 2 2 z 22 222 0 22 ()1 2 xxx x n EEE n kEj x nxyz 2 222 0 2 () 1 2 yyy y n EEE n kEj y nyxxz TE: TM: 2 2 xxxyxx yxyyyy PPEE PPEEz 波动方程波动方程 Beam Propagation Method (BPM) 在FDBPM中，考虑横截面(x,y)的场分布为离散的点组 成的网络，在传播方向(z向上)亦为离散的平面(横截 面)。 FDBPM建立方程组使用的是递推的方法，假设沿z向 的第k个平面的场分布是已知的，求出第(k+1)个横截 面上的场分布，再由第(k+1)个场分布去推知下一个横 截面(k+2)上的场分布，依次类推即可推得整个场的分 布。 2021-5-1104 1 , mm i ji j EE E zz 2 1,1, 22 2 mmm iji jij EEE E xx 2 ,1,1 22 2 mmm i ji ji j EEE E yy Beam Propagation Method (BPM) 2021-5-1105 106 107 108 109 MMI 110 Commercial BPM