利用导数解决恒成立能成立问题

1、.专业整理 .利用导数解决恒成立能成立问题一利用导数解决恒成立问题 不等式恒成立问题的常规处理方式 ？（常应用函数方程思想和 “分离变量法 ”转化为最值问题 ，也可抓住所给不等式的结构特征 ，利用数形结合法 ）(1) 恒成立问题若不等式 f x A在区间 D 上恒成立 ,则等价于在区间 D 上 f x 若不等式 f x B 在区间 D 上恒成立 ,则等价于在区间 D 上 f xminmaxAB1 若在 x1， +）上恒成立 ，则 a 的取值范围是_ 2 若不等式x4 4x3 2 a 对任意实数x 都成立 ，则实数 a 的取值范围_ 3 设 a 0，函数，若对任意的x1 ， x2 1， e，都有

2、f （x1）g （x2）成立，则 a 的取值范围为_ 4 若不等式 |ax3 lnx| 1对任意 x（ 0， 1 都成立 ，则实数 a 取值范围是_ 15 设函数 f （ x）的定义域为D，令 M=k|f （ x）k恒成立 ， xD， N=k|f （ x）k恒成立， x D，已知，其中 x 0 ， 2，若 4 M ， 2 N ，则 a 的范围是_ 6 f（ x） =ax 3 3x（ a 0）对于 x0， 1总有 f（ x） 1 成立 ，则 a 的范围为_ . 学习帮手 .专业整理 .7 三次函数f（ x） =x 3 3bx+3b在 1， 2内恒为正值 ，则 b 的取值范围是_ 8 不等式 x3

3、 3x2+2 a 0 在区间 x 1 ， 1上恒成立 ，则实数 a 的取值范围是_9 当 x（ 0， +）时 ，函数 f（ x） =e x 的图象始终在直线y=kx+1的上方 ，则实数 k 的取值范围是_ 10 设函数 f （ x） =ax 3 3x+1 （xR）， 若对于任意的x 1 ， 1都有 f （ x）0成立，则实数 a 的值为_ 11 若关于 x 的不等式 x2+1 kx在 1， 2 上恒成立 ，则实数 k 的取值范围是_ 12 已知 f （ x） =ln （ x2+1 ）， g （ x）= （） x m，若 ? x10， 3 ，?x21， 2，使得 f（x1）g （x2）， 则实数

4、 m 的取值范围是 （）A ， +）B （，C ， +）D（ ，13 已知，若对任意的x1 1， 2 ，总存在 x2 1 ，2，使得 g （ x1） =f （ x2）， 则 m 的取值范围是 （）A0，B ，0C，D，1二利用导数解决能成立问题若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f xA 成立 ,则等价于在区间 D 上 fx maxA ；若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f x B 成立 ,则等价于在区间 D 上的 f x min B .如. 学习帮手 .专业整理 .14 已知集合A=x R| 2 ，合集 B=a R|已知函数 f （ x） = 1+lnx ，?x0 0 ，使 f（

5、x0）0成立 ，则 A B= （）A x|xB x|x或 x=1C x|x 或 x=1D x|x或 x 115 设函数，（ p 是实数 ， e 为自然对数的底数）（ 1）若 f（ x）在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围 ；（ 2 ）若在 1 ， e上至少存在一点 x0 ，使得 f（ x0） g （ x0）成立 ，求 p 的取值范围 16 若函数 y=f （ x）， xD 同时满足下列条件 ：（ 1）在 D 内的单调函数 ；（ 2 ）存在实数 m ， n ，当定义域为 m ， n 时，值域为 m ， n 则称此函数为 D 内可等射函数，设（ a 0 且 a1），则当 f （ x）为可等射

6、函数时， a 的取值范围是17 存在 x 0 使得不等式x2 2 |x t|成立 ，则实数 t 的取值范围是_ 18 存在实数 x，使得 x2 4bx+3b0 成立，则 b 的取值范围是_ 19 已知存在实数 x 使得不等式 |x 3| |x+2| |3a1|成立 ，则实数 a 的取值范围是_ 20x+1在 1，2成立 ，则 a 的范围为_ 存在实数 a 使不等式 a 2. 学习帮手 .专业整理 .21 若存在 x，使成立 ，则实数 a 的取值范围为_ 22设存在实数，使不等式成立 ，则实数 t 的取值范围为_ 23 若存在实数p 1 ， 1，使得不等式px 2+ （ p 3） x 3 0 成

7、立 ，则实数 x 的取值范围为_ 24 若存在实数 x 使成立，求常数 a 的取值范围 25 等差数列 an 的首项为a 1，公差 d= 1，前 n 项和为 Sn，其中 a1 1， 1， 2（ I ）若存在 n N ，使 Sn= 5 成立 ，求 a1 的值；（ II ）是否存在 a 1，使 Sn an 对任意大于 1 的正整数 n 均成立 ？若存在 ，求出 a1 的值 ；否则，说明理由 参考答案1 若在 x1 ， +）上恒成立 ，则 a 的取值范围是 （ ， 考点 ：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题专题：综合题分析 ：把等价转化为lnx a 1 ，得到 lnx+a. 学习帮手 .专

8、业整理 . 1 ，从而原题等价转化为y=x+在 x 1，+） 上的最小值不小于a 1，由此利用导数知识能够求出a 的取值范围 解答 ：解：=a 1， lnx+a 1，在 x1， +）上恒成立 ， y=x+在 x1 ， +）上的最小值不小于a 1，令=0 ，得 x=1 ，或 x= 1（舍）， x 1， +）时 ， 0， y=x+在 x1 ， +）上是增函数 ，当 x=1 时， y=x+在 x 1， +）上取最小值1+=，故，所以 a故答案为 ：（ ，点评 ：本题考查实数的取值范围的求法，具体涉及到分离变量法、导数性质 、等价转化. 学习帮手 .专业整理 .思想等知识点的灵活运用，解题时要关键是在

9、x1 ， +）上恒成立等价转化为y=x+在 x1 ， +）上的最小值不小于a 1 2 若不等式 x4 4x3 2 a 对任意实数x 都成立 ，则实数 a 的取值范围（ 29， +）考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题专题：计算题分析 ： 不等式恒成立 ，即较大的一边所取的最小值也大于较小的一边的最大值因此记不等式的左边为F（ x），利用导数工具求出它的单调性，进而得出它在R 上的最小值，最后解右边2a 小于这个最小值，即可得出答案 解答 ： 解：记 F（x）=x 44x3 4 4x3 2 a 对任意实数 x 都成立 ，x F（x）在 R 上的最小值大于2 a求导 ：F（x）

10、=4x 3 12x 2=4x 2（ x3 ）当 x（ ，3）时，F（x） 0，故 F（ x）在（ ，3）上是减函数 ；当 x（ 3 ，+） 时，F（x） 0，故 F（ x）在（ 3，+） 上是增函数 当 x=3 时，函数 F（x）有极小值 ，这个极小值即为函数F（ x）在 R 上的最小值. 学习帮手 .专业整理 .即F（ x） min =F （ 3） = 27因此当 2 a 27，即 a 29 时，等式 x4 4x3 2 a 对任意实数x 都成立故答案为 ：（ 29 ，+）点评 ： 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值、函数恒成立问题等等知识点，属于中档题 3 设 a 0，函数，若对任意的x

11、1 ， x2 1， e，都有f （x1）g （x2）成立，则 a 的取值范围为e 2， +）考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题专题：综合题分析 ： 求导函数 ，分别求出函数f （ x）的最小值 ，g （ x）的最大值 ，进而可建立不等关系，即可求出 a 的取值范围 解答 ： 解：求导函数 ，可得 g（x）=1 ， x1 ， e，g（x） 0， g （x）max =g （ e） =e 1， 令 f （ x） =0 ， a 0， x= . 学习帮手 .专业整理 .当 0 a 1， f（ x）在 1， e上单调增 ， f （x） min =f （ 1 ） =1+a e 1，a e

12、2 ；2当 1ae， f（ x）在 1 f （x） min =f （）=上单调减 ， f（ x）在 ， e上单调增 ，e 1 恒成立 ；当 a e 2 时 f （ x）在1 ， e上单调减 ， f （x） min =f （ e ）=e+e1 恒成立综上 ae 2故答案为 ：e 2，+）点评 ： 本题考查导数知识的运用 ，考查函数的最值 ，解题的关键是将对任意的x1，x 1， e，都有 f （ x ）g （x ）成立，转化为对任意的x ， x 1， e，都有 f21212（ x）min g （x）max 4 若不等式 |ax3 lnx| 1对任意 x（ 0， 1 都成立 ，则实数 a 取值范围是

13、考点 ：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题专题 ：综合题 ；导数的综合应用. 学习帮手 .专业整理 .分析 ：令 g（ x） =ax 3 lnx ，求导函数 ，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值，利用最小值大于等于1，即可确定实数a 取值范围 解答 ：解：显然 x=1 时，有 |a| 1，a 1 或 a1令 g（ x） =ax 3 lnx ， 当 a 1 时，对任意 x（ 0， 1 ， g （ x）在（ 0 ，1 上递减 ， g（ x） min =g （ 1） =a 1，此时 g （ x） a， +）， |g （ x） |的最小值为 0 ，不适合题意 当 a 1时 ，对任意 x（

14、 0 ， 1，函数在 （ 0，）上单调递减 ，在（，+） 上单调递增 |g （x） |的最小值为 1 ，解得 ：实数 a 取值范围是点评 ：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键. 学习帮手 .专业整理 .5 设函数 f（ x）的定义域为D，令 M=k|f （x）k恒成立 ，x D， N=k|f （ x）k恒成立， x D，已知，其中 x 0 ， 2，若 4 M ， 2 N ，则 a 的范围是考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题专题 ： 计算题 ；导数的概念及应用分析 ： 由题意 ， x0， 2 时，确定的最值 ，即可求得a 的

15、范围 解答 ： 解：由题意 ， x 0， 2时，令，则 g（x）=x 2 x=x （ x 1） x 0 ， 2，函数在 0， 1上单调递减 ，在 1， 2上单调递增 x=1时， g（ x） min = g （0） =0 ， g （ 2） = g （x）max =2 a 且 4 a . 学习帮手 .专业整理 .故答案为 ：点评 ： 本题考查新定义，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题6 f （ x） =ax 3 3x（a 0 ）对于 x0 ， 1总有 f（ x）1 成立，则 a 的范围为4，+ 考点 ：利用导数求闭区间上函数的最值专题 ：计算题 分析 ：本题是关于不等式的恒

16、成立问题，可转化为函数的最值问题来求解，先对 x 分类讨论 ：x=0 与 x0，当 x0即 x（ 0 ， 1时，得到 ：，构造函数，只需需 a g （x） max ，于是可以利用导数来求解函数g （ x）的最值 解答 ：解： x0 ， 1总有 f（x）1 成立，即 ax3 3x+10， x0 ，1 恒成立当 x=0 时，要使不等式恒成立则有a（ 0，+）. 学习帮手 .专业整理 .当 x（ 0， 1 时， ax 3 3x+10 恒成立 ，即有 ：在 x（ 0 ， 1上恒成立 ，令，必须且只需ag（ x） max由0 得，所以函数 g （x）在（ 0 ，上是增函数 ，在 ， 1上是减函数 ，所以

17、=4 ，即 a 4综合以上可得：a4答案为 ： 4 ，+）点评 ：本题考查函数的导数，含参数的不等式恒成立为题，方法是转化为利用导数求函数闭区间上的最值问题，考查了分类讨论的数学思想方法7 三次函数f（ x） =x 3 3bx+3b在1 ， 2内恒为正值 ，则 b 的取值范围是考点 ：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题专题 ：计算题 ；转化思想 分析 ：方法 1：拆分函数 f （ x）， 根据直线的斜率观察可知在1， 2范围内 ，直线 y2 与y1=x 3 相切的斜率是3b 的最大值 ，求出 b 的取值范围. 学习帮手 .专业整理 .方法 2：利用函数导数判断函数的单调性，再对 b

18、进行讨论 ，比较是否与已知条件相符 ，若不符则舍掉，最后求出b 的范围解答 ：解：方法 1 ：可以看作y1 =x 3 ， y2 =3b （ x 1）， 且 y2 y1x3 的图象和x2 类似 ，只是在一 ，三象限 ，由于 1， 2，讨论第一象限即可直线 y2 过（1 ， 0 ）点，斜率为 3b 观察可知在 1， 2 范围内 ，直线 y2 与 y1=x 3 相切的斜率是3b 的最大值 对 y1 求导得相切的斜率3 （ x2）， 相切的话 3b=3 （ x2）， b 的最大值为x2相切即是有交点， y1=y 2 3x2（ x 1） =x 3 x=1.5则 b 的最大值为 x2 =9/4 ，那么 b

19、 9/4 方法 2： f（ x） =x3 3bx+3bf （ x） =3x 3b b0时，f （ x）在 R 上单调增 ，只需 f（ 1） =1 0 ，显然成立 ；b 0 时，令 f （ x） =0x= b f（ x）在 b ， +上）单调增 ，在 . 学习帮手 .专业整理 . b ，b上单调减 ；如果 b1即 b1，只需 f（ 1 ） =1 0，显然成立 ；如果 b2即 b4，只需 f（ 2 ） =8 3b 0 b 8/3 ，矛盾舍去 ；如果 1 b2 即 1 b 4，必须 f （ b）=bb3bb+3b 0 b （2b 3） 0 b 3/2b 9/4 ，即： 1 b 9/4综上 ：b 9/

20、4点评 ：考查学生的解题思维，万变不离其宗 ，只要会了函数的求导就不难解该题了8 不等式 x3 3x2 +2 a 0 在区间 x 1，1 上恒成立 ，则实数 a 的取值范围 （2，+）考点 ：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系专题：计算题分析 ：变形为 x3 3x2+2 a 在闭区间 1， 1 上恒成立 ，从而转化为三次多项式函. 学习帮手 .专业整理 .数在区间上求最值的问题，可以分两步操作： 求出 f（ x） =x 3 3x2+2 的导数，从而得出其单调性； 在单调增区间的右端求出函数的极大值或区间端点的较大函数值 ，得出所给函数的最大值，实数 a 要大于这个值解答 ：

21、解：原不等式等价于x3 3x2 +2 a 区间 x 1， 1 上恒成立 ，设函数 f（ x） =x 3 3x2+2 ， x 1， 1求出导数 ： f/ （ x） =3x 2 6x，由 f/ （ x） =0 得 x=0 或 2可得在区间 （ 1 ， 0）上 f /（ x） 0 ，函数为增函数，在区间 （0 ， 1）上 f/ （x） 0，函数为减函数 ，因此函数在闭区间 1 ， 1上在 x=0 处取得极大值f（ 0 ）=2 ，并且这个极大值也是最大值所以实数a 2故答案为 ：（ 2 ，+）点评 ：本题利用导数工具研究函数的单调性从而求出函数在区间上的最值，处理不等式恒成立的问题时注意变量分离技巧的

22、应用，简化运算 . 学习帮手 .专业整理 .9 当 x（ 0， +）时 ，函数 f（ x） =e x 的图象始终在直线y=kx+1 的上方 ，则实数 k的取值范围是（ ，1 考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值专题 ： 常规题型 分析 ： 构造函数 G（x）=f （x） y=ex kx+1求函数的导数 ，根据导数判断函数的单调性，求出最小值 ，最小值大于0 时 k 的范围，即 k 的取值范围解答：解：G（ x）=f （x） y=ex kx+1 ，G（x） =ex k， x （0， +） Gx（）单调递增 ，当 x=0 时 G（x）最小 ，当 x=0 时 G（x） =1 k当 G（x） 0 时

23、 G（ x） =f （ x） y=ex kx+1 单调递增 ，在 x=0 出去最小值0所以 1 k0即 k（ ，1 . 学习帮手 .专业整理 .故答案为 ：（ ，1点评 ： 构造函数 ，利用导数求其最值，根据导数的正负判断其增减性，求 k 值，属于简单题10 设函数 f（x）=ax 33x+1 （ xR）， 若对于任意的x 1， 1 都有 f （ x）0成立，则实数 a 的值为 4 考点 ：利用导数求闭区间上函数的最值专题 ：计算题 分析 ：弦求出 f （x） =0 时 x 的值，进而讨论函数的增减性得到f （ x）的最小值 ，对于任意的 x 1， 1都有 f （ x）0成立 ，可转化为最小值

24、大于等于0 即可求出 a 的范围 解答 ：解：由题意 ，f （x） =3ax 2 3，当 a0时 3ax 2 3 0，函数是减函数 ， f （ 0） =1 ，只需 f（ 1 ）0即可 ，解得a 2 ，与已知矛盾 ，当 a 0 时，令 f （x） =3ax 2 3=0 解得 x=，. 学习帮手 .专业整理 . 当 x 时， f x（） 0， f（ x）为递增函数 ， 当 x时， f x（） 0，f （ x）为递减函数 ， 当 x时， f （x）为递增函数 所以 f（） 0，且 f（ 1 ） 0，且 f （ 1）0即可由 f（） 0，即 a?3?+10， 解得 a4，由 f（ 1 ） 0，可得 a

25、4，由 f（ 1）0解得 2a4，综上 a=4为所求 故答案为 ：4点评 ：本题以函数为载体 ，考查学生解决函数恒成立的能力，考查学生分析解决问题的能力 ，属于基础题 11 若关于 x 的不等式x2+1 kx在 1， 2上恒成立 ，则实数 k 的取值范围是 （ ，2考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题. 学习帮手 .专业整理 .分析 ： 被恒等式两边同时除以x，得到 kx+，根据对构函数在所给的区间上的值域，得到当式子恒成立时， k 要小于函数式的最小值解答 ： 解：关于 x 的不等式x2+1 kx在 1， 2 上恒成立 ， k x+，在 1 ， 2上的最小值是当x=2 时的函数

26、值2 ， k 2 ，k的取值范围是（ ，2故答案为 ：（ ，2点评 ： 本题考查函数的恒成立问题，解题的关键是对于所给的函数式的分离参数，写出要求的参数 ，再利用函数的最值解决12 已知 f （ x） =ln （ x2+1 ）， g （ x）= （） x m，若 ? x10， 3 ，?x21， 2，使得 f（x1）g （x2）， 则实数 m 的取值范围是 （）A ， +）B （，C ， +）D（ ，考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题. 学习帮手 .专业整理 .分析 ： 先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数m的取值范围 解答 ： 解：因为 x1 0

27、， 3时， f（x1） 0 ，ln4 ；x21， 2时， g（ x2 ） m， m 故只需 0 m ?m故选 A点评 ： 本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，考查计算能力和分析问题的能力 ，属于中档题 13 已知，若对任意的x1 1， 2 ，总存在 x2 1 ，2，使得 g （ x1） =f （ x2）， 则 m 的取值范围是 （）A 0， B ，0C，D ，1考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值；特称命题 专题：综合题分析 ： 根据对于任意x1 1 ，2 ，总存在 x2 1， 2 ，使得 g （x1） =f （ x2 ），得到函. 学习帮手 .专业整理 .数 g （ x）在 1

28、， 2 上值域是 f （ x）在 1 ， 2上值域的子集 ，然后利用求函数值域的方法求函数 f（ x）、 g （ x）在 1 ， 2上值域 ，列出不等式 ，解此不等式组即可求得实数 a 的取值范围即可 解答 ： 解：根据对于任意x1 1 ， 2，总存在 x2 1 ， 2，使得 g （ x1 ） =f （ x2）， 得到函数 g （ x）在 1， 2上值域是f（ x）在 1， 2上值域的子集求导函数可得：f （x）=x 2 1= （ x+1 ）（ x 1），函数 f（ x）在1，1）上单调减 ，在（1，2上单调增 f （ 1） =， f （ 1）= ，f （ 2 ） =，f x（）在 1 ， 2

29、上值域是 ，；m 0 时，函数 g （ x）在 1 ， 2上单调增 ，g （x）在 1， 2上值域是 m+， 2m+ m+且2m+ 0 mm=0 时， g （ x） =满足题意 ；m 0 时，函数 g （ x）在 1 ， 2上单调减 ，g （x）在 1， 2上值域是 2m+，m+. 学习帮手 .专业整理 . 2m+ 且 m+ m0综上知 m 的取值范围是 ，故选 C点评 ： 本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数的值域，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题 14 已知集合A=x R| 2 ，合集 B=a R|已知函数 f （ x） = 1+lnx ，?x0 0 ，使 f（ x0）0成立 ，

30、则 A B= （）A x|xB x|x或 x=1C x|x 或 x=1D x|x或 x 1考点 ：利用导数求闭区间上函数的最值；交集及其运算 专题：计算题分析 ：解分式不等式求出集合A，根据集合B 可得 axxlnx在（0 ，+） 上有解 利用导数求得h （ x） =x xlnx 的值域为 （ ， 1 ，要使不等式axlnx 在（ 0，+） 上有解 ，. 学习帮手 .专业整理 .只要 a 小于或等于h（ x）的最大值即可，即 a1 成立 ，故 B=a|a 1 ，由此求得A B解答 ：解：集合 A=x R|2=x|=x|=x| （x 1）（ 2x 1 ） 0，且 2x 10=x|x ，或 x 1

31、 由集合 B 可知 f（ x）的定义域为 x|x0 ，不等式 1+lnx 0有解，即不等式ax xlnx 在（0 ，+） 上有解 令 h（ x） =x xlnx ，可得 h（x）=1 （ lnx+1 ）= lnx ，令 h（x）=0 ，可得x=1 再由当 0 x 1 时，h（x） 0，当 x1 时，h（x） 0，可得当 x=1 时， h（ x） =x xlnx 取得最大值为1要使不等式ax xlnx 在（ 0 ，+） 上有解 ，只要 a 小于或等于h（ x）的最大值即可 即 a1 成立 ，所以集合 B=a|a 1 所以 AB=x|x ，或 x=1 . 学习帮手 .专业整理 .故选 C点评 ：本

32、题主要考查集合的表示方法、分式不等式的解法，利用导数判断函数的单调性，根据函数的单调性求函数的值域，两个集合的交集的定义和求法，属于中档题15 设函数，（ p 是实数 ， e 为自然对数的底数）（1 ）若 f （x）在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围 ；（2 ）若在 1 ， e上至少存在一点x0 ，使得 f（ x0） g （ x0）成立 ，求 p 的取值范围 考点 ：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题 ：计算题 分析 ：（ 1）求导 f （x） =，要使 “f （x）为单调增函数 ”，转化为 “f x（）0恒成立 ”，再转化为 “ p =恒成立 ”，由最值法求

33、解 同理，要使 “f（ x）为单调减函数 ”，转化为 “ f x）（0恒成立 ”，再转化为 “ p =恒成立 ”，由最值法求解 ，最后两个结果取并集 （ 2）因为 “在1 ， e上至少存在一点x0，使得 f （ x0 ） g （x0）成立 ”，要转化. 学习帮手 .专业整理 .为 “f （x）max g（ x） min ”解决 ，易知 g （x）=在1 ， e上为减函数 ，所以 g（ x） 2， 2e ， 当 p 0时 ， f （ x）在1 ， e上递减 ； 当 p 1时， f （ x）在1， e上递增 ； 当 0 p 1时，两者作差比较 解答 ：解：（ 1）f （x） =，要使 “f （x）

34、为单调增函数 ”，转化为 “f x（）0恒成立 ”，即 p =恒成立，又，所以当 p 1时 ， f （ x）在（0 ，+） 为单调增函数 同理，要使 “f （x）为单调减函数 ”，转化为 “f x（）0恒成立 ，再转化为“ p =恒成立 ”，又，所以当 p 0时 ，f（ x）在（ 0， +）为单调减函数 综上所述 ， f（x）在（ 0 ，+） 为单调函数 ， p 的取值范围为 p1或 p0（ 2）因 g（ x） =在 1 ，e 上为减函数 ，所以 g （ x） 2， 2e 当 p 0时 ，由（ 1）知 f（ x）在 1 ，e 上递减 ? f（ x） max =f （ 1 ）=0 2，不合题意

35、当 p 1时 ，由（ 1）知 f（ x）在 1 ，e 上递增 ， f（ 1） 2，又 g（ x）在 1，e上为减函数 ，. 学习帮手 .专业整理 .故只需 f（ x） max g （ x）min ， x1， e，即：f （ e ）=p （ e） 2lne 2? p 当 0 p 1 时，因 x 0 ，x1， e所以 f（ x） =p （x）2lnx （x） 2lnx e2lne 2 不合题意综上， p 的取值范围为（，+）点评 ：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是 ：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值

36、问题16 若函数 y=f （ x）， x D 同时满足下列条件：（ 1）在 D 内的单调函数 ；（ 2 ）存在实数 m ， n ，当定义域为 m ， n 时，值域为 m ， n 则称此函数为 D 内可等射函数，设（ a 0 且 a1），则当 f （ x）为可等射函数时， a 的取值范围是（0，1）（ 1，2）考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数的定义域及其求法；函数的值域 专题：新定义. 学习帮手 .专业整理 .分析 ： 求导函数 ，判断函数为单调增函数，根据可等射函数的定义，可得 m， n 是方程的两个根 ，构建函数g （x） =，则函数 g （ x）=有两个零点 ，分类讨论 ，即可确定a 的取值范围 解答 ： 解：求导函数 ，可得 f （x） =a x 0，故函数为单调增函数存在实数m ， n ，当定义域为 m ， n 时，值域为 m ， n f （m ）=m ， f（ n ） =nm ， n 是方程的两个根构建函数g （ x） =，则函数 g （ x）