初中几何最值问题

1、。初中几何最值问题例题精讲一、三点共线1、构造三角形【例1】在锐角11ABC 中， AB=4， BC=5， ACB=45 ，将 ABC绕点 B 按逆时针方向旋转，得到 ABC点 E为线段 AB中点，点 P 是线段 AC上的动点，在 ABC绕点 B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点 P ，求线段 EP 长度的最大值与最小值11C1P1AEPA 1BC【巩固】以平面上一点 O为直角顶点，分别画出两个直角三角形， 记作 AOB和COD，其中 ABO= DCO=30如图，若 BO= 3 3 ，点 N在线段 OD上，且 NO=2点 P 是线段 AB上的一个动点，在将 AOB绕点 O旋转的过程中，线

2、段PN长度的最小值为_ ，最大值为 _AOPOBNNCDCD备用图精选资料，欢迎下载。【例2】如图， MON 90 ，矩形 ABCD的顶点 A B 分别在边 OM， ON上，当 B 在边 ON上运动时， A 随之在边 OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2， BC=1，运动过程中，点 D到点 O的最大距离为 _【巩固】已知：AOB 中， ABOB2 ， COD 中， CDOC3, ABODCO . 连接 AD 、BC，点 M 、N 、P分别为 OA、OD、BC的中点.若 ABO2，固定 AOB ，将 COD 绕点 O 旋转，则A 、 O 、 C 三点在同一直线上，且PM 的最大值

3、为 _BAMOPNDC【巩固】在平面直角坐标系xOy中，点 A 、 B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，点M为线段 AB 的中点点D 、 E 分别在 x 轴、 y 轴的负半轴上，且DEAB10 以 DE 为边在第三象限内作正方形DGFE ，请求出线段MG 长度的最大值，并直接写出此时直线MG 所对应的函数的解析式yBMDOAxGEF精选资料，欢迎下载。【例 3】如图，已知 A( 1, y ) ， B(2, y2 ) 为反比例函数y1图像上的两点，动点P(x,0) 在 x 正半轴上运21x动，当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时，点P 的坐标是 _yABOPx2、轴对称【例 1】求x

4、3221 的最小值4x【例 2】 ABCD 是半径为 5 的 O 的两条弦，AB 8，CD6 ， MN 为直径，ABMN于点E, CDMN 于点 F ， P 为 EF 上任意一点，则 PA+PC 的最小值为 _ACMONEPFDB【巩固】 设半径为 1 的半圆的圆心为 O ，直径为 AB , C、 D 是半圆上两点， 若弧 AC 的度数为 96，弧 BD 的度数为 36，动点 P 在直径 AB 上，则 CP+PD 的最小值是 _精选资料，欢迎下载。【巩固】设正三角形 ABC 的边长是 2， M 是 AB 边上的中点， P 是边 BC 上任意一点，则PA+PM 的最大值为 _, 最小值为 _【例

5、 3】如图，已知等边 ABC的边长为 1，D、E、F 分别是 AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记 DEF的周长为 p . 若 D、 E、F 分别是 AB、 BC、AC边上任意点，则 p 的取值范围是.ADFBEC【例 4】如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y x2 2x 3 与 x 轴交于 AB 两点，与 y 轴交于点 C，点D是抛物线的顶点（ 1）求直线AC的解析式及BD两点的坐标；（ 2）请在直线AC上找一点 M，使 BDM的周长最小，求出点M的坐标图 1【例 5】如图，直线 y3分别交 x 轴、 y 轴于 C、 A 两点，将射线AM绕点 A 顺时针旋转45得到射x

6、23线 AN， D为 AM上的动点， B为 AN上的动点，点 C在 MAN的内部（ 1）当 AM x 轴，且四边形 ABCD为梯形时，求 BCD 的面积；（ 2）求 BCD周长的最小值；（ 3）当 BCD的周长取得最小值，且BD52 时，求 BCD 的面积3yyy2A2A2 A1DM11O123C4xO123C4xO123C4xBN备用图备用图精选资料，欢迎下载。【例 6】在直角坐标系中， A1,2，B4,1 ， C m,0， Dn, n 为四边形的4 个顶点，当四边形ABCD 的周长最短时，m_nyODCxBA【巩固】如图1，抛物线yax2 bx c（ a0）的顶点为C（ 1， 4），交 x

7、 轴于 A、 B 两点，交 y 轴于点 D，其中点 B 的坐标为（ 3， 0）。（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）如图 2，过点 A 的直线与抛物线交于点 E，交 y 轴于点 F，其中点 E 的横坐标为 2，若直线 PQ为抛物线的对称轴，点G为直线上的一动点，则x轴上师范存在一点，使、 、 、F四点所PQHD G H围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。yPyCyCCDDEDABAFABBOxOxOxQ图 13图 2精选资料，欢迎下载。【例 7】已知，如图 1，二次函数 y ax22ax3a a0 的图像的顶点为H ，与 x 轴交于 A 、B 两点

8、（ B 在A 的右侧），点 H 、B 关于直线 l ： y3 x3 对称3（ 1）求 A 、B 两点的坐标，并证明点A 在直线 l 上；（ 2）求二次函数的解析式；（ 3 ）过点 B 作 BK AH 交直线 l 于点 K ， M 、N 分别为直线 AH 和直线 l 上的两个动点，连结HN 、NM、MK，求 HNNMMK 的最小值yHlKAOBx图 1【巩固】如图，在平面直角坐标系xOy中 , 二次函数32x轴交于（-1,0）、 （3,0）yx bx c 的图象与AB2两点,顶点为 C.(1) 求此二次函数解析式；(2)点D为点 C 关于 x 轴的对称点，过点A作直线 l ：3x3BDEBBKy

9、交作直线33于点，过点 AD 交直线 l 于 K 点. 问：在四边形 ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在（ 2）的条件下，若 M 、 N 分 别为直线 AD 和直线 l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DNNM MK 和的最小值 .精选资料，欢迎下载。【例 8】在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点 O在坐标原点，顶点A、 B分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA3， OB 4 ，D为边 OB的中点 .（）若 E 为边OACDE的周长最小时，求点 E 的坐标；上的一个动点，当 温馨提示：如

10、图，可以作点 D 关于 x轴的对称点D，连接CD与 x轴交于点 E ，此时 CDE 的周长是最小的 . 这样，你只需求出 OE 的长，就可以确定点 E 的坐标了 .yyBCBCDDOEAxOAxD（）若 E 、 F 为边 OA 上的两个动点，且EF2 ，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、 F 的坐标 .精选资料，欢迎下载。【巩固】已知点A（3， 4），点 B 的坐标为（ 1，1）时，在 x 轴上另取两点E， F，且 EF=1线段 EF在 x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标1与y 轴交于点AD1x2bx c 与直线交于A、 E【例 9】已知直线

11、yx 1y2，与 x 轴交于点，抛物线2两点，与 x 轴交于 B、 C两点，且 B 点坐标为 (1 ， 0).（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）在抛物线的对称轴上找一点M，使 | AMMC |的值最大，求出点M的坐标。【巩固】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 y3A、B，将x 6 与 x 轴、 y 轴的交点分别为4OBA对折，使点O的对应点 H落在直线 AB上，折痕交x 轴于点 C.（ 1）直接写出点 C的坐标，并求过 A、 B、 C三点的抛物线的解析式；（ 2）设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为 T，Q为线段 BT上一点，直接写出 QA QO 的取值范围 .精选资料，欢迎下载。

12、3、旋转【例 1】 如图，已知在 ABC中， BC=a，AC=b，以 AB为边作等边三角形ABD. 当 ACB变化 , 且点 D与点 C位于直线 AB的两侧时，求CD的最大值及相应的ACB的度数 .CABD【例 2】 如图， 在平面直角坐标系xOy 中，点 B 的坐标为 (0,2) ，点 D 在 x 轴的正半轴上，ODB30 ，OE为 BOD 的中线，过B 、 E 两点的抛物线yax23 x c 与 x 轴相交于 A 、 F 两点（ A 在 F 的6左侧）（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）点 P 为三角形 ABO 内的一个动点， 设 m PA PB PO ，请直接写出 m 的最小值 , 以及

13、m 取得最小值时，线段 AP 的长 .yBEAOGFDx【巩固】 已知矩形 ABCD， AD =10， AB=6 ，在矩形 ABCD内有一点 P，在 BC 边上有一点H , 分别确定点 P和 H 的位置，使得APDPPH 最小ADPBHC精选资料，欢迎下载。【巩固】直角梯形ABCD中，BC90 ，在梯形内求作一点O 使 OQBC 于 Q 且 OA+OD +OQ的值最小DAOBQC二、垂线段最短【例 1】已知 AB 10 , P 是线段 AB 上任意一点，在 AB 的同侧分别以 AP 和 BP 为边作两个等边三角形 APC 和 BPD ，则线段 CD 长度的最小值是 _CDAPB【例 2】如图，

14、在锐角ABC中，AB 4 2， BAC 45BAC的，平分线交 BC于点 D，M、N 分别是AD 和 AB 上的动点，则CBM MN 的最小值是 _DMANB【巩固】 矩形 ABCD中， AB20， BC10. 在 AC、 AB 上各取一点 M 、 N ，使 BM +MN的值最小，求这个最小值精选资料，欢迎下载。DCMANB【例 3】如图，在 ABC 中， AB=15，AC=12，BC=9，经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CB、CA分别相交于点 E、 F，则线段 EF 长度的最小值是 _BECFA【例 4】已知在ABC 的 BC 边上取一点 D ，设ABD 和ACD 的外接圆的圆心分别

15、是O和 O ，求：使两圆半径为最小值时点D 的位置OAOBDC【巩固】点 M 在ABC 的 AC 边上，分别作ABM 和CBM 的外接圆。问当M 点在什么位置时，两外接圆公共部分的面积最小？OBOCAM【例 5】在已知 ABC 内，作内接矩形 DEMN ，使一边 DE 在最大边 BC 上，另外两个顶点 M 、 N 分别在边 AC ， AB 上。试确定矩形 DEMN 的位置，使对角线 DM 长最短 .精选资料，欢迎下载。ANMBDEC【巩固】点 P 在锐角ABC 的边上运动，试确定点P 的位置，使 PA+ PB +PC 最小，并证明你的结论.【例 6】如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与

16、x 轴交于 A、 B 两点， D 为抛物线的顶点， O 为坐标原点若OA、OB（ OAOB）x24x3 0的两根，且DAB 45的长分别是方程（ 1）求抛物线对应的二次函数解析式；（2）过点 A 作 ACAD 交抛物线于点 C ，求点 C 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，过点A任作直线l交线段CD于点P， C、D到直线l的距离分别为求d1、 d2 ，试求 d1 +d2 的最大值ycCclPOcBxAccDc精选资料，欢迎下载。【例 7】在直角坐标系中，点 A 坐标为（ -3 ，-2 ），圆 A 的半径为 1，P 为 x 轴上一动点， PQ切圆 A 于点 Q，则当 PQ最小时， P 点的坐标

17、为 _【巩固】如图，在平面直角坐标系中，已知 OAB 是等腰三角形（OB 为底边），顶点A 的坐标是（2 ，4），点 B 在 x 轴上，点 Q 的坐标是6 ，0 ， ADx 轴于点 D ，点 C 是 AD 的中点，点 P 是直线 BC 上的一动点（ 1）求点 C 的坐标（ 2）以点 P 为圆心、2 为半径作圆，得到动圆P ，过点 Q 作P 的两条切线，切点分布为E 、F ，问：是否存在以 O 、E 、P 、F 为顶点的四边形的最小面积为 S？若存在，请求出 S 的值；若不存在，请说明理由yACQODBx三、与圆相关的最值1、过圆内任一点的弦中，最长的弦是直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的弦精

18、选资料，欢迎下载。【例 1】如图， O 的半径为5，点 P 到圆心 O 的距离为10 ，如果过点 P 作弦，那么长度为整数值的弦的条数为_OP2、设 A 是 O 内一点，在连接A 与圆上各点的线段中，圆心所在线段最短，圆心在其反向延长线上的线段最长； 设 A 是 O外一点， 在连接 A 与圆上各点的线段中，圆心所在线段最长，圆心在其延长线上的线段最短【例 1】在直线 MN的同侧有定点A 及定圆圆 O，试在 MN上求一点 P，在圆 O上求一点 Q，使 APPQ 最短OQAMPN【例 2】点 P 在图形 M 上，点 Q 在图形 N 上，记 d max M ， N 为线段 PQ 长度的最大值，d m

19、in M ， N为线段 PQ 长度的最小值，图形M 、 N 的平均距离 Ed M ， Nd max M ， Nd minM ， N2（ 1）在平面直角坐标系xOy 中，O 是以 O 为圆心， 2 为半径的圆，且 A1 ， 3，B 2，23 ，22求 Ed A， O 及 Ed B， O ；（直接写出答案即可）（ 2）半径为1 的 C 的圆心与坐标原点 O 重合，直线 y-3x4 3 与 x 轴交于点 D ，与 y 轴交33于点 F ，记线段 DF 为图形 G ，求 Ed G， C （ 3）在（ 2 ）的条件下，如果C 的圆心 C 从原点沿x 轴向右移动，C 的半径不变，且Ed G， C5 ，求圆

20、心 C 的横坐标2精选资料，欢迎下载。精选资料，欢迎下载。3、过圆上点作割线的垂线段，当圆心在这垂线段上时，该点是圆上所有点中到这割线的距离最长的点【例 1】已知：AB 是 O 中一条长为4 的弦，P 是 O 上一动点， cos APB1A、P、B问是否存在以3为顶点的面积最大的三角形, 试说明理由；若存在，求出这个三角形的面积4、过圆上的一点作与圆相离的直线的垂线段，当圆心在这条垂线段上时，这点是圆上所有点与该直线距离最长的点；当圆心在这条线段的反向延长线时，这点事圆上所有点与该直线距离最短的点【例 1】如图，AB是半圆的直径，线段于点，线段上点，=2，=1，=3，P是半圆CA ABADBA

21、BBABACBD上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是 _DCPAOB精选资料，欢迎下载。5、一条弧所对的圆内角大于它所对的圆周角，而这圆周角则大于该弧所对的圆外角【例 1】 B为MON 的边 OM 上的两点，试在ON 上求作一点 C ，使ACB 最大MBAOCN【例 2】如图所示，直线CD与线段 AB 为直径的圆相切于点D ，并交 BA 的延长线于点 C ，且 AB2 ，AD 1， P 点在切线 CD上移动 . 当APB 的度数最大时，则ABP 的度数为 _PDCABO四 、转化类【例 1】如图，正方形ABCD的边长为 1，点 P为边 BC上任意一点（可与B 点或 C 点重合），分别

22、过 B、C、D作射线 AP 的垂线，垂足分别是B、 C、 D，则 BB +CC+DD的最大值为 _，最小值为_DCBPD CBA【巩固】在ABC 中，A120 ， BC6 ，若ABC 的内切圆半径为r ，则 r 的最大值为 _精选资料，欢迎下载。【例 22c 经过 A4，3 、B 2，0两点，当 x3 和 x3 时，这条抛物线上对应】已知抛物线 y ax bx的纵坐标相等经过点C 0，2的直线 l 与 x 轴平行， O 为坐标原点（ 1）求直线 AB 和这条抛物线的解析式；y（ 2）以 A 为圆心， AO 为半径的圆记为圆 A , 判断直线 l 与圆 A 的位置关系，并说明理由；（ 3）设直线 AB 上的点 D 的横坐标为1 , P m ，n2bx c上的动点，当 PDO 的周是抛物线 y ax长最小时，求四边形CODP 的面积Ox【例 3】在平面直角坐标系xOy中， O的半径为 2，且 A（ 4，0）， B（ 4， 4），点 P 在 O上运动。（ 1）求 2BP+AP的最小值。（ 2）若点 M是函数y4（ xx ）的图象上一点， ME x 轴于点 E，MF y 轴于点 F，记 M的横坐标为0,2xt （ t 0, t 2） , 请用