2021_2022学年新教材高中数学第2章函数2.2函数的表示法课件北师大版必修第一册

1、2.2函数的表示法 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点了解函数的三种表示法及各自的优缺点. 2.掌握求函数解析式的常见方法掌握求函数解析式的常见方法. 3.尝试作图并从图象上获取有用的信息尝试作图并从图象上获取有用的信息. 4.体会直观想象的微妙体会直观想象的微妙,强化数学抽象素养的培强化数学抽象素养的培 养养. 一、解析法一、解析法 【问题思考】【问题思考】 1.某种签字笔的单价为某种签字笔的单价为6元元,购买的支数为购买的支数为x,所花

2、费用为所花费用为y,则购则购 买签字笔的支数买签字笔的支数x与所花费用与所花费用y之间存在怎样的函数关系之间存在怎样的函数关系?y与与 x的关系能否用一个式子表示的关系能否用一个式子表示? 提示提示:正比例函数关系正比例函数关系,能用一个式子表示能用一个式子表示,即即y=6x(xN). 2.抽象概括抽象概括:如果一个函数能用解析法表示出来如果一个函数能用解析法表示出来,也就能较便也就能较便 利地利用代数工具研究其性质利地利用代数工具研究其性质,如初中学习的一次函数、一如初中学习的一次函数、一 元二次函数、反比例函数等都是用解析法表示的元二次函数、反比例函数等都是用解析法表示的. 3.想一想想一

3、想:若已知函数的类型若已知函数的类型,求函数的解析式通常用什么方求函数的解析式通常用什么方 法法? 提示提示:若已知函数的类型若已知函数的类型,常用待定系数法求解常用待定系数法求解. 二、列表法二、列表法 【问题思考】【问题思考】 1.下表反映的是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系下表反映的是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系. 请根据上表回答下面的问题请根据上表回答下面的问题. (1)表格中两变量存在函数关系吗表格中两变量存在函数关系吗? (2)自变量的取值集合是什么自变量的取值集合是什么?函数的值域是什么函数的值域是什么? 提示提示:(1)存在存在,它表示氰化物浓度是与污染源距离的函数它表

4、示氰化物浓度是与污染源距离的函数. (2)自变量的取值集合为自变量的取值集合为50,100,200,300,500,值域为值域为 0.678,0.398,0.121,0.05,0.01. 2.填空填空:列表法直接通过表格列表法直接通过表格读数读数,不必通过计算不必通过计算,就表示出了就表示出了 两个两个变量变量之间的对应值之间的对应值,非常非常直观直观. 但任何一个表格内标出的数都是有限个但任何一个表格内标出的数都是有限个,也就只能表示有限也就只能表示有限 个数值之间的函数关系个数值之间的函数关系.若自变量有无限多个数若自变量有无限多个数,则只能给出则只能给出 局部的对应关系局部的对应关系.

5、三、图象法三、图象法 【问题思考】【问题思考】 1.如图是某省本科一批如图是某省本科一批(理科理科)分数线变化曲线分数线变化曲线,根据图象回答根据图象回答 下面的问题下面的问题: (1)图中的曲线能表示两个变量之间存在函数关系吗图中的曲线能表示两个变量之间存在函数关系吗?如果能如果能, 自变量是什么自变量是什么? (2)图中的函数关系能用解析式表示吗图中的函数关系能用解析式表示吗? 提示提示:(1)能能,表示某省本科一批表示某省本科一批(理科理科)分数线是年份的函数分数线是年份的函数,其其 中年份为自变量中年份为自变量. (2)不能不能,因为自变量年份与某省本科一批因为自变量年份与某省本科一批

6、(理科理科)分数线的对分数线的对 应关系比较复杂应关系比较复杂. 2.填空填空:图象法可以通过图象图象法可以通过图象直观直观地显示函数的地显示函数的局部局部变化规变化规 律律.但很多函数但很多函数,图象是近似的图象是近似的,很难由图象得到每个自变量取很难由图象得到每个自变量取 值对应的精确函数值值对应的精确函数值.另外另外,并非所有的函数都能用图象表示并非所有的函数都能用图象表示. 提示提示:不能不能. 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画正确的在它后面的括号里画“ ”,错错 误的画误的画“”. (1)函数的图象一定是连续不断的曲线函数的

7、图象一定是连续不断的曲线.( ) (2)函数的解析式是唯一的函数的解析式是唯一的.( ) (3)分段函数是由多个函数组成的分段函数是由多个函数组成的.( ) (4)分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值 域的交集域的交集.( ) 探究探究一一 画画函数的图象函数的图象 【例【例1】 画出下列函数的图象画出下列函数的图象. (1)y=x+1(xZ); (2)y=x2-2x(x0,3). 解解:(1)这个函数的图象由一些点组成这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线这些点都在直线y=x+1 上上,如图如图(1)所示所示. (2)因为因为0

8、 x3,所以这个函数的图象是抛物线所以这个函数的图象是抛物线y=x2-2x介于介于 0 x1,或或x1,或或xg(f(x)的的x的值是的值是 . 解析解析:g(1)=3,f(g(1)=f(3)=1. f(g(x)与与g(f(x)与与x相对应的值如下表所示相对应的值如下表所示. 满足满足f(g(x)g(f(x)的的x的值为的值为2. 答案答案:12 解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数.对于对于f(g(x) 这类函数值的求解这类函数值的求解,应从内到外逐层解决应从内到外逐层解决,而求解不等式而求解不等式,则可则可 分类讨论或列表解决分类讨论或列表解

9、决. 【变式训练【变式训练2】 已知函数已知函数f(x),g(x)分别由下面两个表格给出分别由下面两个表格给出: (1)f(g(1)=; (2)若若g(f(x)=2,则则x=. 解析解析:(1)由题表知由题表知g(1)=3, f(g(1)=f(3)=1. (2)由题表知由题表知g(2)=2,又又g(f(x)=2, f(x)=2,又由题表知当又由题表知当x=1时时,f(x)=2, x=1. 答案答案:(1)1(2)1 探究探究三三 求求函数的解析式函数的解析式 【例【例3】 若一元二次函数若一元二次函数f(x)=x2+bx+c满足满足f(2)=f(-2),且方程且方程 f(x)=0的一个根为的一

10、个根为x=1,求函数求函数f(x)的解析式的解析式. 分析分析:由由f(2)=f(-2)及及x2+bx+c=0的一个根为的一个根为x=1建立关于建立关于b,c的的 关系式求解关系式求解. 解解:由由f(2)=f(-2),得得22+2b+c=(-2)2-2b+c,得得b=0. 又又f(x)=0的一个根为的一个根为x=1,即即x2+bx+c=0的一个根为的一个根为x=1, 则则b+c+1=0. 由由得得b=0,c=-1.所以所以f(x)=x2-1. 1.本例中若将条件本例中若将条件“f(2)=f(-2)”改为改为“f(0)=2”,求求f(x)的解析式的解析式. 解解:由由f(0)=2,得得c=2.

11、 又又f(x)=0的一个根为的一个根为1,即即x2+bx+c=0的一个根为的一个根为1,则则b+c+1=0, 所以所以b=-3.故故f(x)=x2-3x+2. 2.本例条件不变本例条件不变,求求f(x+1)的解析式的解析式. 解解:由例由例3的解知的解知,f(x)=x2-1, 故故f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x. 3.已知已知f(x+1)=x2-1,求求f(x)的解析式的解析式. 解法解法1:设设t=x+1,则则x=t-1,因为因为f(x+1)=x2-1, 所以所以f(t)=(t-1)2-1=t2-2t, 即即f(x)的解析式是的解析式是f(x)=x2-2x. 解法解法2:因为因为

12、f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1), 所以所以f(x)=x2-2x, 即即f(x)的解析式是的解析式是f(x)=x2-2x. 求函数的解析式的方法求函数的解析式的方法 (1)如果已知函数类型如果已知函数类型,可以用待定系数法可以用待定系数法. (2)如果已知如果已知f(g(x)的解析式的解析式,想求想求f(x)的解析式的解析式,可以设可以设t=g(x), 然后把然后把f(g(x)中每一个中每一个x都换成都换成t的表达式的表达式.(3)如果条件是如果条件是 一个关于一个关于f(x),f(-x)的方程的方程,我们可以用我们可以用x的任意性进行赋值的任意性进行赋值.如如 把每一个把每

13、一个x换成换成-x,其目的是再得到一个关于其目的是再得到一个关于f(x),f(-x)的方程的方程, 然后用消元法消去然后用消元法消去f(-x),即可求得即可求得f(x). 因忽视新元的范围致因忽视新元的范围致误误 以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改 正正?你如何防范你如何防范? 利用换元法或配凑的形式求解析式利用换元法或配凑的形式求解析式,要注意新元的范围要注意新元的范围. 答案答案:x2-4x+3(x1) 1.已知函数已知函数f(x)的图象如图所示的图象如图所示,则则f(-1)+f(0)+f(1)等于等于() A.2B.-

14、2 C.0D.1 解析解析:由题图知由题图知f(-1)=-1,f(0)=0,f(1)=1, 所以所以f(-1)+f(0)+f(1)=-1+0+1=0. 答案答案:C 2.设设f(x)=2x+3,g(x)=f(x-2),则则g(x)=() A.2x+1B.2x-1 C.2x-3D.2x+7 解析解析:因为因为f(x)=2x+3,所以所以g(x)=f(x-2)=2(x-2)+3=2x-1. 答案答案:B 3.已知已知f(x+2)=6x+5,则则f(x)等于等于() A.18x+17 B.6x+5 C.6x-7D.6x-5 解析解析:设设x+2=t,则则x=t-2, f(t)=6(t-2)+5=6t-7, f(x)=6x-7,故选故选C. 答案答案:C 4.已知函数已知函数