计算力学课程设计

1、计算力学课程设计说明书班级 姓名 学号 日期 2015年12月25日桁架的有限元计算方法引言 有限元分析是求取复杂微分方程近似解的一种非常有效的工具，是现代数字化科技的一种重要的基础性原理。将它应用于工程技术中，可成为工程设计和分析的可靠工具。而在桁架结构中，运用有限元的方法，通过现代有限元分析软件如MATLAB，ANSYS等可轻易的求得各个杆件的内力等。例如下图的桁架结构，运用有限元法可十分清晰的了解各杆件的受力状况。1 基本力学模型 如下图1所示 图12 有限元计算原理 首先，明确Matlab程序要实现的5个重要模块分别为：单元刚度矩阵的求解、单元组装、节点位移的求解、单元应力的求解、节点

2、力的求解。下面给出这5个模块的实现。（1）单元刚度矩阵求解 定义函数Bar2D2Node_Stiffness，该函数计算单元的刚度矩阵，输入弹性模量E，横截面积A，两个节点坐标输出单元刚度矩阵k(4X4)。具体代码如下：function k=Bar2D2Node_Stiffness(E,A,x1,y1,x2,y2)L=sqrt(x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1);x=acos(x2-x1)/L);C=cos(x);S=sin(x);k=E*A/L*C*C C*S -C*C -C*S;C*S S*S -C*S -S*S;-C*C -C*S C*C C*S;-C*S -S

3、*S C*S S*S;（2）单元组装 定义函数Bar2D2Node_Assembly，该函数进行单元刚度矩阵的组装，输入单元刚度矩阵k，单元的节点编号i、j。输出整体刚度矩阵KK，具体代码如下：function z=Bar2D2Node_Assembly(KK,k,i,j)DOF(1)=2*i-1;DOF(2)=2*i;DOF(3)=2*j-1;DOF(4)=2*j;for n1=1:4 for n2=1:4 KK(DOF(n1),DOF(n2)= KK(DOF(n1),DOF(n2)+k(n1,n2); endendz=KK;（3） 节点位移的求解 定义函数Bar2D2Node_Disp(K

4、K,num,p)，该函数输入KK为总体刚度矩阵；num为活动自由度编号数组；p为活动自由度方向上的节点力；输出节点位移列阵。具体代码如下：function u=Bar2D2Node_Disp(KK,num,p)k=KK(num,num);u=kp;（4）单元应力的求解 定义函数函数Bar2D2Node_Stress(E,x1,y1,x2,y2,u)，该函数计算单元的应力输入弹性模量E，第一个节点坐标（x1,y1），第二个节点坐标（x2,y2）单元节点位移矢量u，返回单元应力标量stress 。具体代码如下：function stress=Bar2D2Node_Stress(E,x1,y1,x2

5、,y2,u)L=sqrt(x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1);x=acos(x2-x1)/L);C=cos(x);S=sin(x);stress=E/L*-C -S C S*u;（5）计算节点力 定义函数Bar2D2Node_Forces(KK,q)，该函数用于计算节点力，KK为刚度矩阵，q为节点位移阵列。function P= Bar2D2Node_Forces(KK,q)P=KK*q; 以上5个函数写入MATLAB的M文件中完成函数的定义，以备命令窗口的调用。 至此，基于MATLAB的杆单元有限元分析的程序设计的准备工作已经完成。3 计算结果及分析 针对上面的具体

6、模型运用MATLAB实现有限元的计算：（1） 结构的离散化与编号 对该结构进行自然离散，节点编号和单元编号如上图所示（2）计算各单元的刚度矩阵(基于国际标准单位) 输入弹性模量E、横截面积A，各点坐标。然后分别针对单元1，2，3和4，调用4次Bar2D2Node_Stiffness，就可以得到单元的刚度矩阵。对应的主程序中代码：E=2.95e11;A=0.0001;x1=0;y1=0;x2=0.4;y2=0;x3=0.4;y3=0.3;x4=0;y4=0.3;k1=Bar2D2Node_Stiffness (E,A,x1,y1,x2,y2)k2=Bar2D2Node_Stiffness (E,

7、A,x2,y2,x3,y3)k3=Bar2D2Node_Stiffness (E,A,x1,y1,x3,y3)k4=Bar2D2Node_Stiffness (E,A,x4,y4,x3,y3)计算结果如下 图2 单元1与单元2的刚度矩阵 图3 单元3与单元4的刚度矩阵（3） 建立整体刚度方程由于该结构共有4个节点，因此，设置结构总的刚度矩阵为KK(88)，先对KK清零，然后四次调用函数Bar2D2Node _Assembly进行刚度矩阵的组装。相关主程序代码为：KK=zeros(8,8);%由于该结构共有4个节点，因此，结构总的刚度矩阵为KK(88)，先对K清零，然后四次调用函数Bar2D2N

8、ode _Assembly进行刚度矩阵的组装。KK=Bar2D2Node_Assembly (KK,k1,1,2);KK=Bar2D2Node_Assembly (KK,k2,2,3);KK=Bar2D2Node_Assembly (KK,k3,1,3);KK=Bar2D2Node_Assembly (KK,k4,4,3);结果如下 图4 整体刚度矩阵（4）边界条件的处理及刚度方程的求解由图可以看出，被约束的自由度有：节点1的x,y方向自由度，节点2的y方向自由度，4节点的x、y方向两个自由度。则活动自由度编号为3，5，6.活动自由度对应的节点载荷F3=20000N，F5=0N，F6=2500

9、0N，采用高斯消去法进行求解，对应的代码为：num=3,5,6;%可活动的自由度编号p=20000;0;-25000;u=Bar2D2Node_Disp(KK,num,p)结果如下由此可知u2=0.2712*10-3,u3=0.0565*10-3,v3=-0.2225*10-3。（5）支反力的计算在得到整个结构的节点位移后，由原整体刚度方程就可以计算出对应的支反力。这部分对应的主程序的代码如下：q=zeros(8,1);q(num)=u;%节点位移阵列P=Bar2D2Node_Forces(KK,q)结果如下由此可知支反力为FRX1=-15833N,FRY1=3125N,FRY2=21879N

10、,FRX4=-4167N,FRY4=0N。（6）单元应力的计算先从整体位移列阵q中提取出单元的位移列阵，然后，调用计算单元应力的函数Bar2D2Node_Stress，就可以得到各个单元的应力分量。u1=q(1);q(2);q(3);q(4)stress1=Bar2D2Node_Stress(E,x1,y1,x2,y2,u1)u2=q(3);q(4);q(5);q(6)stress2=Bar2D2Node_Stress(E,x2,y2,x3,y3,u2)u3=q(1);q(2);q(5);q(6)stress3=Bar2D2Node_Stress(E,x1,y1,x3,y3,u3) u4=q(

11、7);q(8);q(5);q(6)stress4=Bar2D2Node_Stress(E,x4,y4,x3,y3,u4) 结果如下：stress1 =，stress2 =-2.1875e+008，stress3 =-5.2083e+007，stress4 =4.1667e+007参考文献1 曾攀.有限元基础教程.北京：高等教育出版社2009,7 2 王勖成.有限单元法.北京:清华大学出版社,2003,7.附录（程序）子程序1：function k=Bar2D2Node_Stiffness(E,A,x1,y1,x2,y2)L=sqrt(x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1)

12、;x=acos(x2-x1)/L);C=cos(x);S=sin(x);k=E*A/L*C*C C*S -C*C -C*S;C*S S*S -C*S -S*S;-C*C -C*S C*C C*S;-C*S -S*S C*S S*S;子程序2：function z=Bar2D2Node_Assembly(KK,k,i,j)DOF(1)=2*i-1;DOF(2)=2*i;DOF(3)=2*j-1;DOF(4)=2*j;for n1=1:4 for n2=1:4 KK(DOF(n1),DOF(n2)= KK(DOF(n1),DOF(n2)+k(n1,n2); endendz=KK;子程序3：func

13、tion u=Bar2D2Node_Disp(KK,num,p)k=KK(num,num);u=kp;子程序4：function stress=Bar2D2Node_Stress(E,x1,y1,x2,y2,u)L=sqrt(x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1);x=acos(x2-x1)/L);C=cos(x);S=sin(x);stress=E/L*-C -S C S*u;子程序5：function P= Bar2D2Node_Forces(KK,q)P=KK*q;主程序：E=2.95e11;A=0.0001;x1=0;y1=0;x2=0.4;y2=0;x3=0.4

14、;y3=0.3;x4=0;y4=0.3;k1=Bar2D2Node_Stiffness (E,A,x1,y1,x2,y2)k2=Bar2D2Node_Stiffness (E,A,x2,y2,x3,y3) k3=Bar2D2Node_Stiffness (E,A,x1,y1,x3,y3)k4=Bar2D2Node_Stiffness (E,A,x4,y4,x3,y3) KK=zeros(8,8);KK=Bar2D2Node_Assembly (KK,k1,1,2);KK=Bar2D2Node_Assembly (KK,k2,2,3);KK=Bar2D2Node_Assembly (KK,k3,1,3);KK=Bar2D2Node_Assembly (KK,k4,4,3)num=3,5,6;p=20000;0;-25000;u=Bar2D2Node_Disp(KK,num,p)q=zeros(8,1);q(num)=u;P=Bar2D2Node_Forces(KK,q)u1=q(1);q(2);q(3);q(4);stress1=Bar2