八级数学上册第12章整式的乘除小结与复习课件新版华东师大版1207569

1、第12章 整式的乘除 要点梳理考点讲练课堂小结课后作业 小结与复习 1幂的运算法则 要点梳理要点梳理 法则名称文字表示式子表示 同底数幂的 乘法 同底数幂相乘，底数 ， 指数 . aman (m、n为正整数) 幂的乘方 幂的乘方,底数 ，指 数 . (am)n (m、n为正整数) 积的乘方 积的乘方，等于把积的每 个因式分别 ，再把所 得的幂 . (ab)n (n为正整数) amn amn anbn 不变 相乘 相加 不变 相乘 乘方 同底数幂的 除法 同底数幂相除，底数 ， 指数 . aman (a0,m、n为正 整数，且mn) 相同点运算中的 不变，只对 运算 不同点 （1）同底数幂相乘是

2、指数 （2）幂的乘方是指数 （3）积的乘方是每个因式分别 （4）同底数幂相除是指数 不变 相减 底数 指数 相加 相乘 乘方 相减 amn 注意 (1)其中的a、b代表的不仅可以是单独的数、单独的 字母，还可以是一个任意的代数式；(2)这几个法则容易混淆， 计算时必须先搞清楚该不该用法则、该用哪个法则 2整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别 相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一 起作为积的一个 . 单项式与多项式相乘，用 和 的每一项分别相 乘，再把所得的积 . 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 与另一个 多项式的 相乘，再把所得的积 . 系数相同字母的幂

3、因式 单项式多项式 相加 每一项 每一项相加 3乘法公式 公式名称 两数和乘以这两数的差两数和(差)的平方 文字表示 两数和与这两数的差的积， 等于这两数的平方差 两数和(差)的平方，等 于这两数的 加 上(减去) 的2 倍 式子表示式子表示 (ab)(ab)(ab)2 平方和 这两数积 a2b2 a22abb2 结构特 点 左边是两个项式相 乘，这两个二项式中有一 项 ，另一项 ； 右边 是项式，是乘式中两 项的 ，即相同项的 平方与相反项的平方的差. 左边是一个项式的和 (或差)的 ；右边是 项式，是左边二项式中 两项的 ，再 (或 减去)它们的2倍. 顺口溜和差积，平方差 首平方，尾平方

4、，首尾 倍 中间放，加减看前方，同加 异减 二 完全相同 互为相反数 二 平方差 二 平方 三 平方和加上 积 两 公式的常 用变形 a2 (ab)b2； b2(ab)(ab). a2b2(ab)2 , 或(ab)2 ； (ab)2(ab)2 . (ab) 2ab 2ab 4ab 点拨(1)乘法公式实际上是一种特殊形式的多项式的乘法，公 式的主要作用是简化运算； (2)公式中的字母可以表示数，也可以表示其他单项式或多 项式 a2 4整式的除法 (1)单项式除以单项式 单项式相除，把 、 分别相除作为商的 ， 对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一 个 . (2)多项式除以单项

5、式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个 ， 再把所得的商 . 点拨 多项式除以单项式实质上是用计算法则转化为单项式 除以单项式 系数 同底数幂 因式 因式 单项式 相加 5因式分解的意义 把一个多项式化成几个整式的的形式，叫做多项式的 因式分解 因式分解的过程和 的过程正好相反 6用提公因式法分解因式 公因式的确定：公因式的系数应取多项式各项整数系数的 ；字母取多项式各项 的字母；各字母 指数取次数最的 一般地，如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公 因式提到 外面，将多项式写成 的形式，这 种分解因式的方法叫做提公因式法 注意 提公因式法是因式分解的首选方法，在因式分解时

6、先要考虑多项式的各项有无公因式 积 整式乘法 最大公约数相同 低 括号因式乘积 7用公式法分解因式 把 反过来，可以把符合公式特点的多项式分解 因式，这种分解因式的方法叫做公式法这两个公式是： (1)逆用平方差公式 ； (2)逆用两数和(差)的平方公式 点拨 这里的两个公式是用来分解因式的，与乘法公式刚 好左右互换运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的 项数、次数、系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条 件公式中的字母可表示数、字母、单项式或多项式，只有 符合公式的特征时才能运用公式 乘法公式 (ab)(ab) . a2b2 a22abb2(ab)2 8因式分解的步骤 (1)如果多项式的各

7、项有公因式，那么先 ； (2)在各项提出公因式后或各项没有公因式的情况下，观察多 项式的次数：二项式可以尝试运用 公式分解因式；三 项式可以尝试运用 公式分解因式； (3)分解因式必须分解到每一个因式在指定的范围内都不能 为止 9图形面积与代数恒等式 很多代数恒等式(如平方差公式、两数和(差)的平方公式等) 都可以用平面几何图形的 来说明其正确性，方法是把 图形的面积用不同的方式表示，根据列出的代数式 ，然 后得到代数恒等式 提取公因式 平方差 两数和(差)的 再分解 面积 相等 考点讲练考点讲练 考点一 幂的运算性质 例1 计算： （1）(2a)3(b3)24a3b4； （2）(-8)201

8、6 (0.125)2015. 【解析】（1）幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除；（2） 可以先用同底数幂的乘法的逆运算，将（-8）2016化为（-8） （-8）2015，再用积的乘方的性质的逆运算进行计算. 【答案】（1）原式=8a3b6 4a3b4=2a3-3b6-4=2b2. （2）原式=（-8）（-8）2015 （0.125）2015 =（-8）（-8） 0.1252015 =（ （-8）（-1）2015=8. 方法总结 针对训练 幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的 乘方及同底数幂的除法.这四种运算性质贯穿全章，是整式 乘除及因式分解的基础.其逆向运用可将问题化繁为简，负 数

9、乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正. 1.下列计算不正确的是（ ） A.2a3 a=2a2 B. (-a3)2=a6 C. a4 a3=a7 D. a2 a4=a8 D 2. 计算：0.252015 （-4）2015-8100 0.5301. 解:原式=0.25 （-4）2015-（23）100 0.5300 0.5 =-1-（2 0.5）300 0.5 =-1-0.5 =-1.5. 解:420=（42）10=1610， 16101510, 4201510. 3. 比较大小：420与与1510. 考点二 整式的运算 例2 计算：x(x2y2-xy)-y(x2-x3y) 3x2y,其中x=1

10、,y=3. 【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要 注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则. 解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) 3x2y =(2x3y2-2x2y) 3x2y = . 22 33 x y 当x=1,y=3时，时，原式= . 22224 13 33333 x y 方法总结 针对训练 整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多 项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以 单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练 掌握它们的运算法则，整式的混合运算，要按照先算乘方，再 算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要算括号里

11、的. 4.一个长方形的面积是a2-2ab+a,宽为a,则长方形的长为 . 5.已知多项式2x3-4x2-1除以一个多项式A，得商为2x，余式为x-1， 则这个多项式是 . a2-2b+1 2 1 2 2 xx 考点三 整式的乘法公式的运用 例3 先化简,再求值：(x-y)2+(x+y)(x-y) 2x,其中x=3,y=1.5. 【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先算括号内的，再 进行整式的除法运算. 解：原式=(x2-2xy+y2+x2-y2) 2x =(2x2-2xy) 2x =x-y. 当当x=3,y=1.5时，原式=3-1.5=1.5. 方法总结 针对训练 整式的乘法公式包括平方差公

12、式和完全平方公式，而完全 平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全 平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构 特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度. 6.求方程(x-1)2-(x-1)(x+1)+3(1-x)=0的解. 解：x2+9y2+4x-6y+5=0, (x2+4x+4)+(9y2-6y+1)=0， (x+2)2+(3y-1)2=0.x+2=0,3y-1=0,解得x=-2, y= , 7.已知x2+9y2+4x-6y+5=0,求xy的值. 解：原方程可化为-5x+5=0,解得x=1. 1 3 12 (2 ). 33 xy 考点四 因式分解 例4 判断

13、下列各式变形是不是分解因式，并说明理由： (1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a; (2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10; (3)x2-6x+9=(x-3)2; (4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2. 解：（1）不是，因为最后不是做乘法运算，不是积的形式； （2）不是，因为从左边到右边是做乘法运算； （3）是； （4）不是，因为令x=2,y=1,左边=10，右边=32，不是恒等变形. 【解析】（1）多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件， 第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几 个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式； （2）判断过程要

14、从左到右保持恒等变形. 方法总结 针对训练 因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与 整式乘法互为逆运算，分解因式的方法主要是提公因式法和公 式法，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因 式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止. 8.下列变形，是因式分解的是（ ） A. a(x+y)=ax+ay B. x2+4xy+y2-1=x(x+4y)+(y+1)(y-1) C. am2-a=a(m+1)(m-1) D. m2-9n2+3=(m+3n)(m-3n)+3. C 考点五 本章数学思想和解题方法 u转化思想 例5 计算：(1)-2a3a2b3 ( ; (2)（-2x+5+

15、x2）（-6x3）. 2 5 bc 【解析】(1)单项式乘以单项式可以转化为有理数的乘法和同底 数幂的乘法；(2)多项式乘以单项式可以转化为单项式乘以单项 式. 解：（1）原式= 1 23 134 212 2 3. 55 abca b c （2）原式=（-2x）（-6x3）+5（-6x3）+x2（-6x3） =12x4-30 x3-6x5. 将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题，这是初中 数学中常用的思想方法.如本章中，多项式多项式 单项式 多项式 单项式单项式 有理数的乘法和同底数幂的乘 法. 方法总结 转化 转化 转化 针对训练 9.计算：（4a-b）（-2b）2. 解： 原式=（4a

16、-b）4b2=16ab2-4b3 u整体思想 例6 若2a+5b-3=0，则4a32b= . 【解析】已知条件是2a+5b-3=0，无法求出a，b的值因此可以 逆用积的乘方先把4a32b.化简为含有与已知条件相关的部分， 即4a32b=22a25b=22a+5b.把2a+5b看做一个整体，因为2a+5b-3=0， 所以2a+5b=3，所以4a32b=23=8. 8 在本章中应用幂的运算法则、乘法公式时，可以将一个代 数式看做一个字母，这就是整体思想，应用这种思想方法解题， 可以简化计算过程，且不易出错. 方法总结 针对训练 10.若xn=5，则（x3n）2-5（x2）2n= . 12500 1

17、1.若x+y=2，则 = . 22 11 xxyy 22 2 例7 如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形， 把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面 积，验证公式是 . b a a aa b b b bb a-b u数形结合思想 a2-b2=(a+b)(a-b) 【解析】通过图形面积的计算，验证乘法公式，从图形中的阴 影 部分可知其面积是两个正方形的面积差（a2-b2),又由于图的 梯形的上底是是2b,下底是2a,高为a-b,所以梯形的面积是 （2a+2b)(a-b) 2=(a+b)(a-b),根据面积相等，得乘法公式 a2-b2=(a+b)(a-b). 本章中数

18、形结合思想主要体现在根据给定的图形写出一 个代数恒等式或根据代数式画出几何图形. 由几何图形得到 代数恒等式时，需要用不同的方法表示几何图形的面积，然 后得出代数恒等式；由代数恒等式画图时，关键在于合理拼 接，往往是相等的边拼到一起 方法总结 12.我们已知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表 示，实际上还有一个代数恒等式也可以用这种形式来表示，例 如（2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图和图等图形的面积 表示. aa a b babab aba2a2 b2 图 b2 a2 a2 ab ab ab aa a b b 图 针对训练 （2）请画一个几何图形，使它的面积能表示 （a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2. （1）请写出图所表示的代数恒等式； b b aa b a ab abab ab ab a2 a2 b2 b2 图 【答案】(1) (2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2; (2)如如图. 图 a2 b a abab ab ab b2b2 b2 13.有若干张如图(1)所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一 个长为(2ab)，宽为(ab)的长方形，则需要A类卡片_张 ，B类卡片_张，C类卡片_张，请你在图(2)的大长方 形中画