高等代数(北大版)第6章习题参考答案

1、第六章 线性空间1. 设 MN,证明：MIN M,M UNN。证 任 取M, 由 MN,得N,所以M N, 即 证 M NIM 。 又因MNM ,故MINM 。再证第二式，任取M或N,但MN, 因此无论哪一种情形，都有N,此即。但N M N,所以MUN N。2.证明 M (N L) (M N) (M L)， M (N L) (M N) (M L)。证 xM(NL), 则 xM 且 xN L. 在后一情形， 于是 x MN 或 xM L.所以 x(MN)(ML)，由此得M (NL) (M N) (ML) 。反之，若x (MN)(ML)，则xMN或x ML. 在前一情形， xM,x N,因此xNL

2、. 故 得 xM(NL), 在 后 一 情 形， 因而 x M,x L,x N UL ， 得xM(NL), 故 (MN)(ML) M(N L),于是 M(NL)(MN)(ML)。若 x MU(NI L)，则xM，xN I L。在前一情形 Xx MUN，且XMUL ，因而 x(M UN)I(MUL)。在后一情形，x N,x L,因而x MUN,且X M U L,即X (MUN) I (MU L)所以 ( M UN)I(MUL) M U(NUL)故M U(N I L) =(M UN) I(MUL)即证。3 、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1) 次数等于 n( n 1)的

3、实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2) 设A是一个n x n实数矩阵，A的实系数多项式f (A)的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3) 全体实对称(反对称，上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4) 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；5) 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：(ai, ( a b (c a2, bi b2 aia2)k o (a” b) = (ka1? kb + k(k a：26) 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：koa 0 ；7) 集合与加法同6)，数量乘法定义为：koa a ；8) 全体正实数r，加法与数量乘

4、法定义为：a b ab， koa ak ；解1 )否。因两个n次多项式相加不一定是 n次多项式，例如(xn 5)( xn 2)3 o2)令V=f ( A) |f ( x)为实数多项式，A是nxn实矩阵因为f (x) +g (x) =h (x), kf (x) =d (x)所以f(A)+g(A)=h(A),kf(A)=d(A)由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的18条，故v构成线性空间。3 )矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的18条性质，只需证明对称矩阵(上三角矩阵，反对称矩阵)对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：当A, B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有(A+B

5、 =A+B=-A-B=- (A+B , A+B仍是反对称矩阵。(KA) KA K( A)(KA),所以kA是反对称矩阵。故反对称矩阵的全体构成线性空间。4) 否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。5) 不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，(0, 0)是零元，任意(a, b)的负元是2(-a , a -b )。对于数乘：i( a, b)(i a, b _ a2) (a,b),2k.(l.(a,b) k.(la,lb 出 a2)(kla,klb 卫a22 2(kla,klb Ja2 4(la)2)(kla,ka22 2(kla, kl-kl 卫a2 klb) (kl).(

6、a,b),咛(la)2)咛W)(k l).(a, b) (k l)a,(k l)(k l i)a2(kk.(a,b)l.(a,b) (ka,kb(ka la, kb ka22(k l)a,(k i)(k l i)2k(k i) 2.a ) (la,lb2k(k i) 2a2a2 (k l)b.l)bJa22kla2)即(k l) (a,b) k(a,b)l (a,b)。k (ai,bi )(a?)k (aia?,bi b?aia2 )=k(ai a2),k(bi b?k(k 1)(aia?)2),k (ai,bi) k (a?)=(kai, kbia2)(ka2,kb2k(k i)=(kaik

7、a2, kbia： kb2=(k(ai a2),k(bi b?ai a?)k(k2k(k i) 2.2、a? k a a?) 2i) 2 k(k i) aia?kk(k=(k(ai a2),k(bi b?ai a2)2 2k(k 怙 a；)2),ai a2k ai a2)即 k (ai ,bi )(a?,b?)k(ai,bi)k（a2，b2），所以，所给集合构成线性空间。6）否，因为i7）否,因为（kl),k2 ,所以(k l)(k ) (l2所给集合不满足线性空间的定义。8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足i)a b ab ba b a;ii)(a b) c(ab)cabc

8、a(bc)a (b c);iii ）1是零元：,a 1a 1a;iv） a的负兀是1:a11 a -1,且1a 1;aaaa1v)1 a aa;vi)(ko(l oa)ko(a)i k(a )lk akl a(kl)oa;vii )(k l) oak l aaka1(ka)(la)；viii )k o(a b)k o(;ab)(ab)kk abk(koa) (kob)所以，所给集合 R构成线性空间。4在线性空间中，证明：1) k00 2 ) k()kk 。证 1 ) k0 k()kk()kk( 1)(k ( k)00。2)因为k() kk()k,所以k（)k k 。5证明：在实函数空间中,1,

9、 cos21,cos2t式线性相关的。证因为cos 2t2cos211，所以1，cos2 t,cos2t式线性相关的。6如果f,x）, f2（x）, f3（x）是线性空间Px中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互 素，那么他们线性无关。证 若有不全为零的数 k1, k2, k3使 k1 f1(x) k2 f2 (x) k3f3(x)0，不妨设k1 0,则b（x）f2（x） 喧f3（x），这说明f2（x）, f3（x）的公因式也是f,x）k1k1的因式，即f1（X）, f2（X）, f3（X）有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以f1（X）, f2（X）, f3（X）线性无关。7在P4中，求

10、向量在基1, 2, 3, 4下的坐标。设1) 1(1,1,1,1), 2(1,1, 1, 1),3(1,1,11),4(1,1, 1,1),(1,2,1,1)2) 1(1,1,0,1), 2(2,1,3,1), 3(1,1,0,0),4(0,1,1,1),(0,0,0,1)。abcd1abcd2解1)设有线性关系a 1 b 2c3 d4，贝Uabcd1abcd1可得在基1, 2,3, 4下的坐标为a,b1,c1,d1o4444a 2bc0a bcd02)设有线性关系a 1 b 2 c3d 4，则3bd0a bd1可得在基1, 2,3, 4下的坐标为a1,b0,c1,d0。8求下列线性空间的维数

11、于一组基：1)数域P上的空间Pn n ； 2) Pn n中全体对称(反对称，上三角)矩阵作成的数域 P上的空间；3)第3题8)中的空间；4)实数域上由矩阵 A的全体实1 3i。1系数多项式组成的空间，其中A= 00解 1) Pnn 的基是 Ej(i,j 1,2,., n),且 dim(Pnn)n2。1 .2) i)令Fj ，即aj aji1,其余元素均为零，则.1 Fn,.,Fm,F22,.,F2n,.,Fnn是对称矩阵所成线性空间 M.的一组基，所以M.是维的。2ii）令 Gj即aj aji 1,(ij),其余元素均为零，则G12,.,G1n,G23,G2n,Gn ”是反对称矩阵所成线性空间

12、Sn的一组基，所以它是亚卫维的。2iii)E11,.,E1n,E22,.,E2n,.,Enn是上三角阵所成线性空间的一组基，所以它是亜卫维的。23)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量，例如取2,且对于任一正实数 a,可经2线性表出，即.a (log 2 a) 2,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。1,n 3q4)因为13i31,所以n,n 3q1 ,22,n 3q211E,n 3q于是A22,A31E,而AnA, n 3q 1。1A2,n 3q 29.在P4中,求由基1,，2 ,3, 4 ,至U基1,2,3, 4的过渡矩阵，并求向量在所指基下的坐标。设11,0,0,01 2,1,

13、1,1 20,1,0,02 0,3,1,0130,0,1,035,3,2,140,0,0,146,6,1,3X1,X2,X3,X4 在1,2,3,4下的坐标；11,2, 101 2,1, 0,121, 1,1,12 0,1,2,2231,2,1,132,1,1,241, 1,0,141,3,1,21,0,0,0 在 1, 2, 3, 4,下的坐标;1 121,1, 1, 122,1,3,131, 1,1, 131,1,0,041, 1, 1,140,1,1,11,0,0,1 在 1,2 ,3 ,4下的坐标；解1(1,2,3,4)=(1 ,2,3,4 ,)20561336=(1 ,2,3 ,4)

14、 A112110133, 4的过渡矩阵，将上式两边右乘得这里A即为所求由基1,2, 3, 4,到1, 22,3 ,4)= (1 ,2,3,4)于是(1 ,2 ,3 ,4)所以在基下的坐标为X11 X2X3X4x1x1X21 X2=(1,2 ,3 ,4)，X3X3X4X4(0,0,1,0),e4(0,0,0,1)则1 12 1=(e1,e2,e3, e4 )A,1 01 14111193914123这里1=279327120033711262793272 令e1 (1,0,0,0),e2(0,1,0,0)(3o1 12 1(1 ,2 ,3,4)=( e1 , e2,e3 , e4 )1 10 1

15、20211113(1 ,2 ,3,4)=( ei，e2,e3，e4)021=(e1,e2,e3 ,e4)B,11222将(ei , e2,e3, e4 )= (1 ,2 , 3 ,4 ) A代入上式,得2 ,3,4）：=(1,2,3,4 ) A1B，33651313131310 015341 _-13131313,A 11B=1 01234101 111313131300 10327813131313且A1B即为所求由基1, 2,3 ,4,到基1 , 2 ,3 ,4的过渡矩阵,110101,0,0,0=(e1, e2,e3 , e4 )0；（1,2 ,3,4) A1000313_5=(13(1

16、， 2 ,3,4丿2 ，13313所以在1,2 ,3 ,4下的坐标为3_523。131313133 $(4 同 2 ,同理可得111 1121 0111 1111 1A=,B=111 1030 1111 1110 1(1 ,这里进而有2051 ,2 ,3,4)133112101(1,2 ,3 ,4)=(66 =一 =(1 ,2 ,3 ,4)A,1标。111111 11=411111111则所求由2,3 ,4 到1, 2, 3, 4的过渡矩阵为1B=再令1414a 1 +b 2 +c 3 +d 4，即121,0,0,0 a, b, c, d311012131a,b, c, d11000111由上

17、式可解得在下的坐标为1,2,3,4下的坐标为1 3a, b, c, d 2,4,a 1 o2 210.继第9题1）求一非零向量,它在基2,3 ,4 与1,2,3,4下有相同的坐解 设 在两基下的坐标为 x1 ,x2, x3,x4，则X2=(1,2 ,33 ,4 )X3=(1 , 2 ,X1X4X1X2 4 )X3X4又因为31所以X1X1X1X2X2X2=A(A - E )X3X3X3X4X4X4=0。于是只要令X4c,就有x-i 2x23x3 6cX1 X2 X3 c ，2cX1X310561 2312360,且1 1111111 0110120,解此方程组得Xi, X2,X3,X4=c,

18、c,c,(c为任意非零常数),取c为某个非零常数Co，则所求c0 1 c0 2c03 c04。11.证明：实数域作为它自身的线性空间与第3题8)中的空间同构。证 因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。12.设MV都是线性空间V的子空间，且V V，证明：如果Vi的维数与 V的维数相等，那么V1 V2。证 设dim( V1 )=r，则由基的扩充定理，可找到 V的一组基a1,a2,a，因V V?，且它们的唯数相等，故, a?,ar，也是V的一组基，所以Vi =V2。13. A Pn n。1)证明：全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C (A);2 )当 A=E 时，求 C (A);3)当

19、A=时，求C ( A)的维数和一组基。n证1 )设与A可交换的矩阵的集合记为C(A)。若B,D属于C(A)，可得A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A ，故 B+D C(A) 。若 k 是一数， B C(A) ，可得A ( kB) =k(AB)=k(BA)=(kB)A ，所以kB C(A)。故C(A)构成Pnn子空间。2 )当 A=E 时，C (A)=pn n。3 )设与A可交换的矩阵为B=(bj )，则B只能是对角矩阵，故维数为n, Eii,E22,Enn 即为它的一组基。14. 设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。解 若记100000A=010000E S ，0

20、01311abc并设B=a1b1c1 与 A 可交换，即AB=BA 贝U SB=BS且由a2b2c2000abc000SB=000a1b1c1000311a2b2c23aa1a2 3bb1b2 3cc1 c2abc0003cccBS=a1b1c100 0 =3c1c1c1，a2b2c23113c2c2c2可是c1c0，又3a a13b b1a2 b23c2c23c2 3ac2 3b b1 b2该方程组的系数矩阵的秩为2，所以解空间的维数为5。取自由未知量a, c2，并令b=1，其余为0，得c2=3,a=3;1令ai =1，其余为0，得C2 =3,a=;3令 bi =1，其余为 0，得 C2 =

21、1,a=1;1令 a? =1，其余为 0，得 C2 =0,a= ;3令 b2 =1，其余为 0，得 C2 =1,a=1;则与A可交换的矩阵为B=a2bib2C2其中,a,C2可经b,a1, a2, b1, b2表示,所求子空间的一组基为且维数为5。同理,15.如果c1 a证 由c1 c3C2，知C1C30,且 C1C30,所以a可线性表出。故 L a,证明:a,经线性表出，即=L=L可经线性表出,求由下面向量组生成的子空间的基与维数。设a12,1,3,1a12,1,3, 1a21)a3(120,1)a2(1,1, 3,1)(1,1, 3,0)，a3(4,5,3, 1)a4(1,1,1,1)a4

22、(1,5, 3,1)16 在P4中,解 1) a1,a2,a3,a4的一个极 大线性 无关组a1 ,a2,a4，因此a1 ,a2, a4为L a1 ,a2, a3 ,a4的一组基，且的维数是 3。)aa2,a3,a4的一个极大线性无关组为ai, a2，故 ai, a2 是L ai, a2, a3, a400一组基，且维数为 2。17在P4中，由齐次方程组3x12x25x34x403x1X23x33x403x-i5x213x311x40-,8,1,0，a22,7,0,19 39 3确定的解空间的基与维数。32543254325431330387038735131103870000所以解空间的维数

23、是2,它的一组基为解对系数矩阵作行初等变换，有ai18.求由向量1, 2生成的子空间与由向量1, 2生成的子空间的交的基与维数，设a2a31,2,1,01 2, 1,0,11,1,1,121, 1,3,71,1,0,01 0,0,1,11,0,1,12 0,1,1,01,2, 1, 2a1a111,2,2a2a2(3,1,1,1)(1,0,1, 1),5。7,3)设所求交向量k1k2l1 1 l2 2，则有k1k211k12k1k1k2k2k2211I1312I2I2k2l17I20知其解空间是 1 维的，令 xn 1, 则其基为(1,1,.,1).且 1,2，nl,即为 Pn 的一组112可

24、算得D2111100111，故交的维数也为1。任取一非零解(k1,k2, l1, l2)=因此方程组的解空间维数为(1,4, .3,1)，得一组基14 2( 5,2,3,4)，所以它们的交L()是一维的，就是其一组基。)设所求交向量k1 1k22 l1 1 l 2 2，则有k1k1k2k2k2l2l1 l2l1因方程组的系数行列式不等于0,故方程组只有零解，即k1k2l1l20,从而(1,0,0,.,1)而由1(1,1,0,.,0),2(1,0,1,.,0),，n 1交的维数为0。3 )设所求交向量为k11 k2 2l1 1 l2 2，k1 3k2k32l1I20即2k1k251 2l20k1

25、k2k36h刁202k1k2k35l13l201 311由2 1020知解空间是一-维的，因此交的维数是1。令l1 1,，可1 1172 113得l20，因此交向量l1112 21就是一组基。19.设V与 V分别是齐次方程组X1X2.Xn0,X1X2Xn 1Xn的解空间，证明:PnV1V2.证由于 X1 X2. xn0的解空间是你n 1 维的,其基为X1X2Xn 1 Xn基，从而 Pn Vi V2.又 dim(Pn) dim(Vi) dim(V2)，故 Pn V V。20.证明：如果 VVV2,V1 V11 V12,那么V V V12V2。证 由题设知 VV11V12 V2, 因为 V V1

26、V2, 所以dim(V)dim(V1) dim(V2)， 又因为 V1 V11V12, 所以dim(V1) dim(V11 ) dim(V12),故 dim(V) dim(V11) dim(V12) dim( V2),即证 V V V12 V2。21. 证明：每一个 n 维线性空间都可以表示成 n 个一维子空间的直和。n) 都是 V 的又因为证 设1, 2,，n是n维线性空间V的一组基。显然L( 1),L( 2)，L(一维子空间，且L( 1) L( 2) . L( n) L( 1，2，n) = V ,dim(V)，dim(L( 1) dim(L( 2). dim(L( n)故 V L( 1)

27、L( 2)L( n)。s22. 证明：和Vi 是直和的充分必要条件是 Vii1i1Vj 0( i 2,.,s)。j1i1证 必要性是显然的。这是因为 ViVj Vij1Vj 0 ，所以j1i1ViVj 0 。j1s充分性 设Vi 不是直和，那么 0 向量还有一个分解 012i1其中j Vj(j1,2,., s)。在零分解式中，设最后一个不为0的向量是sk(k s),则 012. k 1 k ，即 12. k 1 k ，k 1k 1因此kVj, k Vk,，这与Vk Vj 0矛盾，充分性得证。j 1j 123. 再给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量天添上零向量构成一个三维线性

28、空间 R3 。1) 问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间2) 设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间L1, L2, L3,问 L1 L2,L1 L2 L3 能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来;3)就用该三维空间的例子来说明，若U,V,X,Y是子空间，满足 U+V= X, X Y,是否一定有 Y YI U YI V 。解 1)终点所在的平面是过原点的平面，那么所有这些向量构成二维子空间；但终点在 不过原点的平面上的向量不构成子空间，因为对加法不封闭。2) L1 L2 ；(1) 直线丨,与12重合时，是L, L2 一维子空间；(2) 1,与J不重合时，时Li L2

29、二维子空间。L1 L2 L3 ：(1) 丨1，丨2,丨3重合时，Li L2 L3构成一维子空间；(2) 丨1，丨2,丨3在同一平面上时，Li L2 L3构成二维子空间；(3) 丨丨2,丨3不在同一平面上时，L1 L2 L3构成三维子空间。3) 令过原点的两条不同直线 丨1 ,丨2分别构成一维子空间 U和V, X= U+ V是二维子空 间，在丨1， 丨2决定的平面上，过原点的另一条不与丨1， 丨2相同的直线 丨 3构成一维子空间 Y,显然 Y X,Y U 0, Y V 0,因此(Y U) (Y V) 0, 故Y (Y U ) (Y V)并不成立。二补充题参考解答1 1 )证明：在 PX n 中，

30、多项式 fi(XJ(Xi 1)(X i 1).(X n)(i = 1, 2,，n)是一组基，其中1, 2,，n是互不相同的数；2)在1)中，取1,2,，n是全体n次单位根，求由基1 , X ,.,Xn 1到基f1,f2,., fn的过渡矩阵。证 1 ）设 k1 f1 k2 f2kn fn0，将 X!代入上式，得f2（ 1）f3（ 1）. fn（ 1）0, fi（ 1）0 ,于是k1 = 0。同理，将x2 ,，Xn分别代入,可得k? k3.kn0，所以f1, f2,., fn线性无关。而PX n是n维的，故f1, f2,fn是PX n的一组基。2）取1, 2,., n为全体单位根1,.，n ,则

31、f1nX11 XX1f2nX1n 1Xnf 二 11X1n 11n 2故所求过渡矩阵为.1111, 2 ,n是2X.n 1X ,n 2Xn 32X.n 2Xn 1 X,2X .n 1 n 2Xn 1X,n 2n 42。n 2n 11 .1V的一组基，n维线性空间A是一个n x s矩阵，证明:（1, 2,，s）（ 1 , 2,，n）A ,L（ 1，2，.，s）的维数等于A的秩。只需证1, 2,., s的极大线性无关组所含向量的个数等于A的秩。设a11a1r.a1san1 . anr ans且rank(A) r, r min(n,s)。不失一般性，可设 A的前r列是极大线性无关组，由条1ai1 1

32、 a21 2an1 n件得ra1r 1 a2r 2anr ns a1s 1 a2s 2ans n可证1, 2,，r构成1, 2,，r， r1，s的一个极大线性方程组。事实上，设k1 1k2 2kr r 0，于是得(kran . kra1r) 1(k1a21kr a 2r )2(k1 an1kr a1r ) n 0，玄11因为1, 2,，n线性无关，所以an1 k1an2k2 ?a nr kr 0该方程组的系数矩阵秩为r,故方程组只有零解k1 k2线性无关。kr曰是 1 ,2 7其次可证：任意添一个向量a1 kak 2.a ra j k j0设 k1 1 k2 2.k rrkj j 0，于是an1k1an2k2anr kranj k j0其系数矩阵的秩为r叶1 ,所以方程组有非零解k1,k2,.,kr,k,即 1 , 2,., r，j线性相关。因此，1, 2 ,r是1, 2,.,s的极大线性无关组。从而L( 1, 2,s)的j后，向量组 1, 2,，r， j 一定线性相关。事实上,维数等于A的秩，即等于rank(A)。13设f(X1,X2，,Xn)是一秩为n的二次型，证明