动点问题(含答案)

1、-动点问题1. 如图，在直角梯形 ABCD 中， AD BC ， B=90， AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点 P从 A 开始沿 AD 边向 D 以 1cm/s 的速度运动；动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向 B 以 3cm/s 的速度运动 P、Q 分别从点 A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为 ts （ 1）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形？（ 2）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为等腰梯形？（ 3）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为直角梯形？点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定

2、，难易程度适中2. 如图， ABC 中，点 O 为 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线 MN BC ，设 MN 交 BCA 的外角平分线 CF 于点 F，交 ACB 内角平分线 CE 于 E（ 1）试说明 EO=FO ；（ 2）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形并证明你的结论；（ 3）若 AC 边上存在点 O，使四边形 AECF 是正方形，猜想 ABC 的形状并证明你的结论点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边 ”证明出结论（ 1），再利用结论（ 1）和矩形的判定证明-结论（ 2），再对（ 3）进行判断解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供

3、思路，有相似的思考方法是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用3. 如图，直角梯形 ABCD 中， AD BC ， ABC=90 ，已知 AD=AB=3 ，BC=4 ，动点 P 从 B 点出发，沿线段 BC 向点 C 作匀速运动；动点Q 从点 D 出发，沿线段 DA 向点 A 作匀速运动过Q点垂直于 AD 的射线交 AC 于点 M，交 BC 于点 N P、 Q 两点同时出发，速度都为每秒1 个单位长度当 Q 点运动到 A 点， P、 Q 两点同时停止运动设点Q 运动的时间为 t 秒（ 1）求 NC ， MC 的长（用 t 的代数式表示）；（ 2）当 t 为何值时，四边形 PCDQ 构成平行四边形

4、；（ 3）是否存在某一时刻，使射线 QN 恰好将 ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由；（ 4）探究： t 为何值时， PMC 为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法4. 如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm ，P，Q，M ，N 分别从 A，B ，C，D 出发沿 AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动， 当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时， 运动即停止已知在相同时间内，若 BQ=xcm （x0），则 AP=2xcm ，CM=3xcm ， DN=x2cm

5、 （ 1）当 x 为何值时，以 PQ ，MN 为两边，以矩形的边（ AD 或 BC ）的一部分为第三边构成一个三角形；（ 2）当 x 为何值时，以 P，Q，M， N 为顶点的四边形是平行四边形；（ 3）以 P， Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理-由点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点5.如图，在梯形 ABCD 中， AD BC ， B=90，AB=14cm ， AD=15cm ，BC=21cm ，点 M 从点 A 开始，沿边 AD 向点 D 运动，速度为 1cm/s ；点 N 从点 C 开始，沿边 CB 向点 B 运动，速

6、度为 2cm/s 、点 M、 N 分别从点 A 、C 出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒（1）当 t 为何值时，四边形MNCD 是平行四边形？（2）当 t 为何值时，四边形MNCD 是等腰梯形？点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容6. 如图，在直角梯形 ABCD 中， AD BC ， C=90，BC=16 ，DC=12 ， AD=21 ，动点 P 从点 D出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动， 动点 Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动， P、Q 分别从点 D、C 同时出

7、发，当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动，设运动时间为 t（ s）（ 1）设 BPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系；（ 2）当 t 为何值时，以 B 、 P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？-点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象7. 直线 y=- 34x+6 与坐标轴分别交于 A、B 两点，动点 P、Q 同时从 O 点出发，同时到达 A 点，运动停止点 Q 沿线段 OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P 沿路线 O? B? A 运动（ 1）直接写出 A、 B 两点的坐标；（ 2）设点 Q

8、 的运动时间为 t （秒）， OPQ 的面积为 S，求出 S 与 t 之间的函数关系式；（ 3）当 S= 485 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点 O、P、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的坐标点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理在解题（ 2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象答 案1.分析：（ 1）四边形 PQCD 为平行四边形时 PD=CQ （ 2）四边形 PQCD 为等腰梯形时 QC-PD=2CE （ 3）四边形 PQCD 为直角梯形时 QC-PD=EC 所有的关系式都可用含有 t 的方程来表示，即此题只要解三个方程即可解答：-解：（ 1）四边形 PQ

9、CD 平行为四边形 PD=CQ 24-t=3t解得： t=6即当 t=6 时，四边形 PQCD 平行为四边形（ 2）过 D 作 DEBC 于 E则四边形 ABED 为矩形 BE=AD=24cm EC=BC-BE=2cm四边形 PQCD 为等腰梯形 QC-PD=2CE即 3t- （24-t ） =4解得： t=7 （ s）即当 t=7 （ s）时，四边形 PQCD 为等腰梯形（ 3）由题意知： QC-PD=EC 时，四边形 PQCD 为直角梯形即 3t- （24-t ） =2解得： t=6.5 （ s）即当 t=6.5 （ s）时，四边形PQCD 为直角梯形2分析：（ 1）根据 CE 平分 AC

10、B ，MN BC ，找到相等的角，即 OEC= ECB ，再根据等边对等角得OE=OC ，同理 OC=OF ，可得 EO=FO （ 2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形（ 3）利用已知条件及正方形的性质解答解答：解：（ 1） CE 平分 ACB ， ACE= BCE ， MNBC ， OEC= ECB ， OEC= OCE ， OE=OC ，同理， OC=OF ， OE=OF （ 2）当点 O 运动到 AC 中点处时，四边形 AECF 是矩形如图 AO=CO ，EO=FO ，四边形 AECF 为平行四边形， CE 平分 ACB ，- ACE= ACB ，同理， ACF=

11、ACG ， ECF= ACE+ ACF=（ ACB+ ACG ）=180=90，四边形 AECF 是矩形（ 3） ABC 是直角三角形四边形 AECF 是正方形， AC EN ，故 AOM=90 ， MNBC ， BCA= AOM ， BCA=90 ， ABC 是直角三角形3.分析：（ 1）依据题意易知四边形ABNQ 是矩形 NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC 、AD 已知， DQ就是 t ，即解； AB QN ， CMN CAB ， CM ：CA=CN ： CB ，（ 2） CB 、 CN 已知，根据勾股定理可求 CA=5 ，即可表示 CM ；四边形 PCDQ 构成平行四边

12、形就是PC=DQ ，列方程 4-t=t 即解；（ 3）可先根据 QN 平分 ABC 的周长，得出 MN+NC=AM+BN+AB ，据此来求出 t 的值然后根据得出的 t 的值，求出 MNC 的面积，即可判断出 MNC 的面积是否为 ABC 面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的 t 值（ 4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：当 MP=MC 时，那么 PC=2NC ，据此可求出t 的值当 CM=CP 时，可根据 CM 和 CP 的表达式以及题设的等量关系来求出t 的值当 MP=PC 时，在直角三角形MNP 中，先用 t 表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t 的值综上所

13、述可得出符合条件的t 的值解答 :解：（ 1） AQ=3-t CN=4- （3-t ） =1+t在 Rt ABC 中， AC2=AB2+BC2=32+42 AC=5在 Rt MNC 中， cos NCM=，CM=（ 2）由于四边形PCDQ 构成平行四边形 PC=QD ，即 4-t=t解得 t=2 （ 3）如果射线 QN 将 ABC 的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即： （1+t ）+1+t=（3+4+5 ）-解得： t=（5 分）而 MN= NC= （ 1+t ） SMNC=（ 1+t ） 2=（1+t ）2当 t= 时， S MNC= （ 1+t ）2= 43不存在某一时刻t

14、，使射线 QN 恰好将 ABC 的面积和周长同时平分（ 4）当 MP=MC 时（如图 1）则有： NP=NC即 PC=2NC 4-t=2 （ 1+t ）解得： t=当 CM=CP 时（如图 2）则有：（ 1+t） =4-t解得： t=当 PM=PC 时（如图 3）则有：在 Rt MNP 中， PM2=MN2+PN2而 MN= NC= （ 1+t ）PN=NC-PC= （1+t ）-（4-t ） =2t-3 （1+t ） 2+ （2t-3 ）2= （4-t ）2解得： t1=，t2=-1 （舍去）当 t=，t=，t=时， PMC 为等腰三角形4.分析：以 PQ ，MN 为两边，以矩形的边（ AD

15、 或 BC ）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N 重合且点 Q、M 不重合，此时 AP+ND=AD 即 2x+x2=20cm ，BQ+MC BC 即 x+3x 20cm；或者点 Q、M 重合且点 P、N 不重合，此时 AP+NDAD 即 2x+x220cm ，BQ+MC=BC 即 x+3x=20cm 所-以可以根据这两种情况来求解x 的值以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形的话， 因为由第一问可知点 Q 只能在点 M 的左侧当点 P 在点 N 的左侧时， AP=MC ，BQ=ND ；当点 P 在点 N 的右侧时， AN=MC ，BQ=PD 所以可以根据这些条件列出方程

16、关系式如果以P， Q， M， N 为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+NDAD即 2x+x220cm ，BQ+MC BC 即 x+3x 20cm，AP=ND 即 2x=x2 ，BQ=MC 即 x=3x ，x0这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形解答：解：（ 1）当点 P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时，以 PQ ， MN 为两边，以矩形的边（ AD 或 BC ）的一部分为第三边可能构成一个三角形当点 P 与点 N 重合时，由 x2+2x=20 ，得 x1=-1 ， x2=-1（舍去）因为 BQ+CM=x+3x=4 （-1） 20，此时点 Q 与点 M 不重合所以 x=-1

17、 符合题意当点 Q 与点 M 重合时，由 x+3x=20 ，得 x=5 此时 DN=x2=25 20，不符合题意故点 Q 与点 M 不能重合所以所求 x 的值为-1（ 2）由（ 1）知，点 Q 只能在点 M 的左侧，当点 P 在点 N 的左侧时，由 20- （x+3x ） =20-（2x+x2 ），解得 x1=0 （舍去），x2=2 当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形当点 P 在点 N 的右侧时，由 20- （x+3x ） =（ 2x+x2 ） -20，解得 x1=-10 （舍去），x2=4 当 x=4 时四边形 NQMP 是平行四边形所以当 x=2 或 x=4 时，以 P，Q，M，

18、 N 为顶点的四边形是平行四边形（ 3）过点 Q ，M 分别作 AD 的垂线，垂足分别为点 E， F由于 2x x ，所以点 E 一定在点 P 的左侧若以 P， Q，M， N 为顶点的四边形是等腰梯形，则点 F 一定在点 N 的右侧，且 PE=NF ，即 2x-x=x2-3x 解得 x1=0 （舍去），x2=4 由于当 x=4 时，以 P， Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，所以以 P，Q， M， N 为顶点的四边形不能为等腰梯形5.解答：解：（ 1） MD NC ，当 MD=NC ，即 15-t=2t ，t=5 时，四边形 MNCD 是平行四边形；（ 2）作 DE BC ，垂足为 E，

19、则 CE=21-15=6 ，当 CN-MD=12 时，即 2t- （15-t ）=12，t=9 时，四边形 MNCD 是等腰梯形6.分析：-（ 1）若过点 P 作 PM BC 于 M，则四边形 PDCM 为矩形，得出 PM=DC=12 ，由 QB=16-t ，可知：s=PM QB=96-6t ；（ 2）本题应分三种情况进行讨论， 若 PQ=BQ ，在 Rt PQM 中，由 PQ2=PM2+MQ2 ，PQ=QB ，将各数据代入，可将时间 t 求出；若 BP=BQ ，在 Rt PMB 中，由 PB2=BM2+PM2 ，BP=BQ ，将数据代入，可将时间 t 求出；若 PB=PQ ，PB2=PM2+

20、BM2 ，PB=PQ ，将数据代入，可将时间 t 求出解答：解：（ 1）过点 P 作 PM BC 于 M，则四边形 PDCM 为矩形 PM=DC=12 ， QB=16-t ， s=?QB?PM=（16-t ） 12=96-6t （0t ）（ 2）由图可知， CM=PD=2t ，CQ=t ，若以 B、 P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：若 PQ=BQ ，在 Rt PMQ 中， PQ2=t2+122 ，由 PQ2=BQ2 得 t2+122= （16-t ）2，解得；若 BP=BQ ，在 Rt PMB 中， PB2= （16-2t ）2+122 ，由 PB2=BQ2得（ 16-2t ） 2+122= （ 16-t ）2，此方程无解， BP PQ若 PB=PQ ，由 PB2=PQ2 得 t2+122= （16-2t ）2+122 得， t2=16 （不合题意，舍去）综上所述，当或时，以 B 、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形7.分析：（ 1）分别令 y=0 ， x=0 ，即可求出 A、B 的坐标；（ 2）因为 OA=8 ，OB=6 ，利用勾股定理可得 AB=10 ，进而可求出点 Q 由 O 到 A 的时间是 8 秒，点 P 的速度是 2，