勾股定理试题分类

1、数学八年级下册第十七章勾股定理【题型一】勾股定理的验证与证明1如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是Si、S2、S3,则它们的面积关系是 ，直角 ABC的三边的关系是参考答案：用数方格的方法或用面积公式计算三个正方形面积，得出Si+S2= S3,从而得到：aB+bC=aC.2如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是 Si、S2、S3,则它们的面积关系是 ，直角 ABC的三边的关系是参考答案：对于S3显然用数方格的方法不合适，利用“相减法”或“相 加法”用面积公式计算三个正方形面积，得出Si+S2= S3,从而得到：ab+bC=aC.3如图，是由四个全等的Rt

2、拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗?参考答案：由 S大正方形=4厶+S小正方形，得2 1 2c = 4 X - ab+(b - a)22. 2 2 2 a +b = c 4.如图，是由四个全等的Rt 拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗?参考答案：由 S大正方形=4厶+S小正方形，得2 1 2(a+b) 2= 4 X - ab+c22 a2+b2 = c25如图，已知/ A = Z B = 90且厶AED BCE , A、E、B在同一直线上参考答案：先证明 DCE是等腰直角三角形，再根据梯形面积为三个 三角形面积之和得2X21ab+1c22 2 a2+b2= c2.ABAB根据此图证明勾股定理B

3、6如图，一个直立的火柴盒倒下来就可以证明勾股定理，请你根据图形，设计一种证明方法参考答案：方法类似第5题.，后人称其为“赵爽弦图” 记图1 2中正方形 ABCD，参考答案:1037. （2011温州） 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图” （如图1 1） 图1 2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为 $, S2，S3，若$+S2+S3=10,则S2的值是 8.（ 2010湖北孝感）问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种 证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利 用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出 把数形关

4、系”（勾股定理）带到其他星球，作 为地球人与其他星球 人”进行第一次 谈话”的 语言。定理表述请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）尝试证明以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图 2），请你利用图2，验证勾股定理；知识拓展利用图2中的直角梯形，我们可以证明2.其证明步骤如下:BC a b, AD =又在直角梯形 ABCD中有BCAD （填大小关系），即2.c参考答案：定理表述如果直角三角形的两直角边长分别为2a、b,斜边长为c,那么ab2c2尝试证明Rt ABE 也 Rt ECD, AEBEDC,又 EDC DEC 90 , A

5、EB DEC 90AED 90 .S梯形 ABCDSRt ABE SRt DEC SRt AED ,1 (a b)(a b) 1 ab 1ab 1 c2.2 2 2 22 . 2 2整理，得a b c .知识拓展AD _ 2c, RC AD, a b .2c【题型二】以勾股定理为基础的有趣结论1如图， 根据所标数据，确定正方形的面积A =, B =A BC F参考答案：10, 144, 1600.2. 如图，直线l上有三个正方形 a、b、c若a和c的面 积分别为5和11,则b的面积为多少？参考答案：先证两直角三角形全等，得FE= BC,从而得正方形b的面积为16.3. 如图，以直角三角形的三边

6、向形外作等边三角形，探5.如图，以直角三角形的三边向形外作半圆，探究Sa、Sb和Sc之间的关系参考答案：类似上一题6.如图，已知 ABC中，/ ACB = 90，以 ABC 的各边为长边向形 外作矩形，使其宽为长的一半，则这三个矩形的面积Si、S2、S3之间有什么关系，并证明你的结论参考答案：类似上一题7.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形 A、B、C、D的面积之和为多少？参考答案：49cm2.8如图，在水平面上依次放置着七个正方形已知斜放置的三个正方形的面积分别是a、b、c,正放置的四个正方形的面积依次是S2、S3，贝V Si +

7、 S2 + S3 + S4=.参考答案：a+cSi、【题型三】利用勾股定理求边长和进行论证【选择题】1在 Rt ABC 中，/ C= 90, a= 12, b = 16,则 c的长为()A.26B.18C.20D.21参考答案：C已知点P的坐标是(3,4)，贝U OP的长为()2.在平面直角坐标糸中，A.3B.4C.5D.7参考答案：C3在 Rt ABC 中，/ C= 90,/ B = 45 ,c= 10,贝U a 的长为（）A.5B. 10C.5 2D. 5参考答案：C4. 等边三角形的边长为2,则该三角形的面积为（A.4、3B.、3C.2、3D.3参考答案：B5若等腰三角形的腰长为10,底

8、边长为12,则底边上的高为（）A.6B.7C.8D.9参考答案：C6若一个三角形的三边长为3、4、X，则使此三角形是直角三角形的x的值是（）A.5B. 6C. 7D.5 或-7参考答案：D7下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是 Rt的是（）A.a=2， b=3,c=4B.a=7,b=24,c=25C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=5参考答案：A8. 要从电杆离地面5m处向地面拉一条长为 13m的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为（）.A.10mB.11mC.12mD.13m参考答案：C9. 现有两根木棒，长度分别为44 cm和55 cm .若要钉成一个三角形木架

9、，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（）.A.22 cmB.33 cmC.44 cmD.55 cm参考答案：B10. 个直角三角形，有两边长分别为6和8,下列说法正确的是（）A.第三边一定为10B.三角形的周长为25C.三角形的面积为48D.第三边可能为10参考答案：D11.直角三角形的斜边为20cm,两条直角边之比为 3:4，那么这个直角三角形的周长为（)A.27cmB. 30cmC.40cmD. 48cm参考答案：D12 将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（）北|A 直角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 不能确定/参考答案：A/升A彳东13. 已知，如图，一轮船以

10、16海里/时的速度从港口 A出发向东北方向航行，另一轮IX南尸AD船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A . 25海里B. 30海里C. 35海里D. 40海里参考答案：D14. （2010山东临沂）如图， ABC和 DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接 BD，贝U BD的长为（）A. .3B. 2-3C.3.3D. 4. 3参考答案：D15. （2010广西钦州市）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC = 6 cm、BC = 8 cm,现将 ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为 DE,则BE的长 为（ ）A.4

11、 cmB.5 cm C.6 cm D.10 cm参考答案：B16. （2010广西南宁）图中，每个小正方形的边长为1, ABC的三边a,b,c的大小关系式（A. a c b b.a b c C. c a b D. c b a参考答案：C17. （ 2011山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为 6m和8m.按照输油中心 0到三条支路 的距离相等来连接管道，则0到三条支路的管道总长（计算时视管道为线， 中心0为点）是（ ）A2mB.3mC.6mD.9m参考答案：C18. （ 2011湖北黄石）将一个有 45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的

12、纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角 板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图，则三角板的最大边的长为（）A. 3cmB. 6cmC. 3 2 cmD. 6 2 cm参考答案：D19. （2011 贵州贵阳）如图， ABC 中，/ C=90 , AC=3，/ B=30。，点P是BC边上的动点，贝U AP长不可能是（）A.3.5B.4. 2C.5. 8D.7参考答案：D20. 直角三角形三边的长分别为3、4、X,则x可能取的值有（）.A. 1个 B. 2个 C. 3个D.无数多个参考答案：B斜边可以为4或x,故两个答案.21. 如果Rt两直角边的比为 5 : 12，则斜边上的

13、高与斜边的比为（）A.60 : 13B.5 : 12C.12 : 13D.60 : 169参考答案：D22. 直角三角形一直角边长为11,另两边均为自然数，则其周长为（）A.121B.120C.132D.以上答案都不对参考答案：C【填空题】1. 已知直角三角形两边的长为3和4,则此三角形的周长为 .参考答案：12或7 + 7 提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或 7 ,所以直角三角形的周长为3 + 4+ 5= 12或3 + 4+ 7 = 7+ 7 .2. 直角三角形两直角边长分别为3和4,则它斜边上的高为 12参考答案：53. 直角三角形两直角边长分别为5和12,

14、则它斜边上的咼为 .13，再利用面参考答案：60，提示：设斜边的高为 x，根据勾股定理求斜边为 ,122 52131积法得，一 5 12213 x, x26013BCl955年希腊发行了二枚以勾B4. 如图，学校有一长方形花圃，长 4m,宽3m。，有极少数人为了避开拐角走捷径，在 花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少了 步路（2步为Im），却踩伤了花草.参考答案：4.5图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若 AC=6 BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图 2实线部分）是 参考答案：

15、76.6.如图，将一根长 24 cm的筷子，置于底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯外的长度为h cm，则h的取值范围是 .参考答案：11h12 .7在 Rt ABC 中，/ C=90 ,AB=15,BC:AC=3:4,贝U BC=.参考答案：9.8.已知：如图，在 Rt ABC中，/ B=90 ，D、E分别是边 AB、AC的中点，DE=4，AC=10，贝H AB=.参考答案：6.9. 已知两条线段的长为 9cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.参考答案：15或37.10. 在 RtAABC 中，/ C=90，（1）若 a=5，b

16、=12,则 c=; （2） b=8，c=17，则 Sabc =参考答案：136011. （2010辽宁丹东市）已知 ABC是边长为1的等腰直角三角形，以 Rt ABC 的斜边AC为直角边，画第二个等腰 Rt ACD，再以Rt ACD的斜边AD为直角 边，画第三个等腰 Rt ADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是.参考答案：（2）n12. （2010浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向 外作正方形构成，它可以验证勾股定理在右图的勾股图中，已知/ ACB=90 ，/ BAC=30 ，AB=4 .作厶 PQR 使

17、得/ R=90 ， 点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那 么厶PQR的周长等于.参考答案：27 133.13（2010湖北鄂州）如图，四边形ABCD 中, AB=AC=AD ,E是CB的中点，AE=EC，/ BAC =3Z DBC，BD= 626.6，贝U AB=参考答案：1214. （2010 河南）如图， Rt ABC 中，/ C=90 ,/ ABC=30 , AB=6.点 D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点 B、C重合），且DA=DE，贝U AD 的取值范围是.参考答案：2 W AD 315. （2010山东淄博）如图是由 4个边长为1的正方形构成的“田字格

18、”.只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为的线段 参考答案：816. （2010黑龙江绥化）三角形ACD，则线段RtABC中，/ BAC=90 , AB=AC=2，以AC为一边，在 ABC外部作等腰直角 BD的长为.参考答案：4或2 5或.1017. （2011重庆綦江）一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示正方形DEFH的边长为2米，坡角/ A = 30,/B = 90,BC = 6米.当正方形 DEFH运动到什么位置，即当AE =2 2米时，有DC = AE +2BC .14参考答案：143【解答题】1如图，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , CD丄AB ,

19、BC=6 , AC=8 , 求AB、CD的长参考答案：在 Rt ABC中，BC=6 AC=82 2 2AB =AC +BCAB= 一 36 84 =100 = 1 0AC BC=4.8AB102如图，是由五个边长相同的小正方形组成的“红十字”形, 上，试求/ BAC的大小.参考答案：/ BAC=45B、C均在顶点3. （2011四川广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造.测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长.参考答案：由题意可得，花圃的周长=8+8+8、2 =16+8. 2图1图24.如图，正方形网格

20、中的每个小正方形 边长都是1,每个小格的顶点叫做格 点，以格点为顶点分别按下列要求画 三角形（涂上阴影）.在图1中，画一个三角形，使它的 三边长都是有理数；在图2、图3中，分别画一个直角三 角形，使它的三边长都是无理数.（两个三角形不全等）5.已知：如图， ABC中，/ C=90 , D是AC的中点.C求证：AB2+3BC2=4BD2.参考答案：ABC中，/ C=90, aB = bC+aC, aB+3bC= 4bC+aC,A又 bC=bD cD, aB+3bC= 4BD 4CD+aC,又 AC=2CD AB 2+3BC 2=4BD 2.【题型四】勾股定理在非直角三角形中的应用【选择题】1若

21、ABC 中, AB 13cm, AC 15cm，高 AD=12,则 BC 的长为（）A、14B、4 C、14或4D、以上都不对参考答案：C2 一木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和底边上的高的长度，但他却把这三个数据弄混了，请 你帮他找出来，应该是（）A. 13 , 12, 12 B. 12, 12, 8 C 13, 10, 12 D 5, 8, 4参考答案：C【填空题】1等腰三角形 ABC的面积为12 cm 2,底上的高 AD = 3 cm,则它的周长为 cm .参考答案：由面积求出底边为8,进而求出腰围5，故周长为18.2. （2010四川宜宾）已知， 在厶ABC中，/ A= 45 A

22、C= 迈，AB= 血+1，贝U边BC的长为.参考答案：2.3. 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要元.CAB参考答案：150a.【解答题】1.如图， ABC 中，AC = 12，/ B = 45,/ A = 60 求厶ABC的面积.参考答案：54 18亦（作CD丄AB于D）2.已知等腰三角形腰长为 10,底边长为16,求它的面积 参考答案：48 （作底边上的高）3.已知：如图，在 ABC 中，AB = 15, BC = 14, AC = 13.求 ABC 的面积.参考答案：作任一边上的高，用勾股定

23、理建立方程，求解【题型五】禾U用勾股定理求不规则图形的面积1如图，/ B = Z D = 90,/ A = 60, AB = 4, CD = 2.求四边形ABCD的面积参考答案：63 （分别延长AD BC或分别延长AB DC转化成特殊的直角三角形研究）2如图，每个小正方形的边长都是 1,求图中格点四边形 ABCD的面积. 参考答案：25 （用正方形面积减去四个直角三角形面积或转化成2以AC为底的两个三角形求解）3如图，四边形 ABCD 中，AB = 3cm, BC = 4cm, CD = 12cm, DA =13cm，且/ ABC = 900,求四边形 ABCD的面积。参考答案：连接AC2 2

24、 2在 Rt ABC中，AC =AB +BCAC = . 916 =5cmo AB BC 3 42/. Sab(= =6cm2 2在厶 ACD中, AC 2 +cD=25+144=169, DA2=132=169,2 2 2-Sa ac=AC DC=30 cm DA =AC +CDC S 四边形 ABCD= Sabc+ S 8=6+30=36 cm4. 已知：如图，四边形 ABCD 中，/ B, / D 是 Rt/，/A=45。，若 DC=2cm, AB=5cm,求AD和BC的长参考答案：3, 5.2.2 （分别延长AD BC或分别延长AB DC转化成特殊的 直角三角形研究）5四边形 ABCD

25、 中，AD 丄 DC , AD=8 , DC=6 , CB=24 , AB=26.求四边形 ABCD 的面积 参考答案：144 （连接AC）【题型六】勾股定埋与方程（组）【选择题】1小明想测量教学楼的高度他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了2 m,当他把绳子的下端拉开6 m后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高为（）A. 8 m B. 10 m C. 12 m D. 14 m2 2参考答案：A 解：设教学楼的高为 x,根据题意得：（X 2） X36，解方程得：x=8.2如果梯子的底端离建筑物 9 m,那么15 m长的梯子可以到达建筑物的高度是（）.A. 10 m B. 11 m

26、 C. 12 m D. 13 m2 2 2参考答案：C解：设建筑物的高度为 x,根据题意得：15 9 X，解方程得：x=12.3. 已知 Rt ABC 中，/ C=90 , a+b=14, c=10，则 Rt ABC 的面积是A.24B.36C.48D.60参考答案：A.24.（方程组）4. 等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（）A.56B.48C.40D.32参考答案：B.48.5. 已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm , AD=9cm ,将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则 ABE的面积为（）cm2.A. 6B. 8C. 10D. 12参考答案：A.

27、6. 如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端 A到墙根0的距离为2m,梯子的顶端 B到 地面的距离为7m,现将梯子的底端 A向外移动到A ，使梯子的底端 A 至U墙根O 的距离等于3m 同时梯子的顶端 B下降至B ，那么BB （）A .小于1m B .大于1m C.等于1m D .小于或等于 1m参考答案：A提示：移动前后梯子的长度不变，即Rt AOB和Rt A OB的斜边相等.由C DB勾股定理，得 32 + BO2= 22 +72,BO=44 , 6v BO7,贝UO1）,那么它的斜边长是（）A.2 nB.n+1参考答案：DC. n2- 1D.n 2+1【填空题】22 . 2a b ，则这个三

28、角形是25,则三角形的最大内角的度数是3. 三边为9、12、15的三角形，其面积为 . 参考答案：54.4. 已知三角形 ABC的三边长为a,b, c满足a b 10,ab 18 , c 8，则此三角形为 三角形.参考答案：直角三角形.5. 在三角形 ABC中，AB=12cm , AC=5cm , BC=13Cm，贝BC边上的高为 AD cm .参考答案:60136. 已知两条线段的长为 5cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时，这三条线段能组成一个直角三角形.参考答案：13cm或-.119A【解答题】1.如图，已知四边形 ABCD 中，/ B=90 , AB=3 , BC=4 , CD=

29、12 , AD=13，求四边形 ABCD的面积.参考答案：36 (连接AC12.如图，E、F分别是正方形 ABCD中BC和CD边上的点，且 AB=4，CE= BC , F为CD的中点，连接FC4AF、AE，问 AEF是什么三角形？请说明理由 参考答案：由勾股定理得 AE=25, EF=5,AF2=20A自 EF2 +AF2, AEF是直角三角形3. 在厶 ABC 中，BC=m2-n2, AC=2mn , AB=m 2+n2(m n). 求证： ABC是直角三角形.参考答案：证(m2 n2) 2+(2mn) 2= (m2+n2)24. 张老师在一次“探究性学习”课中设计了如下的数表：n2345a

30、22 - 132 - 142 - 152 - 1b46810c22 + 132 + 142 + 152 + 1请你分别观察 a b c与n之间的关系，并用含自然数 n (n1)的式子表示：a=b=, c= 猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想。参考答案：n 2-1,2n,n 2+1猜想：以abc为边的三角形为直角三角形。证明略5.观察下列勾股数：第一组：3=2 X 1 + 1,4=2 X 1 X(1+1),5=2 X 1 X(1+1)+1 ；第二组：5=2 X 2+ 1,12=2X 2X(2+1),13=2 X 2X(2+1)+1 ；第三组：7=2 X 3+ 1,24

31、=2X 3X(3+1),25=2 X 3X(3+1)+1 ；第三组：9=2 X 4+ 1,40=2X 4X(4+1),41=2 X 4X(4+1)+1 ；观察以上各组勾股数的组成特点，你能求出第七组的a,b,c各应是多少吗？第n组呢?参考答案第七组，a 2 7115,b2 7(71)112,c1121113.第 n组，a 2n 1,b 2n(n 1),c 2n(n 1)16. (2011四川绵阳)王伟准备用一段长 30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔已知第-条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.(1)请用a表示第三条边长；问第一条边长可以为 7米吗

32、？为什么？请说明理由，并求出 a的取值范围；能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由.参考答案：(1) 第一条边为a,第二条边为2a+2,第三条边为30-a- (2a+2) =28-3a(2) 不可以疋7， 第 条边为7，第二条边为16， 第三条边为7，不满足三边之间的关系，不、一13可以构成三角形。a 55,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形【题型九】勾股定理及逆定理与实际问题1如图，在高为5m,坡面长为13m的楼梯表面铺地毯,A.17mB.18mC.25mD.26m参考答案：A依勾股定理先求出底边为12,而地毯长等于两直角边的和

33、,即 12+5=17.地毯的长度至少2. 将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hem，贝U h的取值范围是().A . h 8cmC. 15cm h 16cmD. 7cm h 16cm参考答案：D3. 木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm ,则这个桌面 .(填“合格”或“不合格”)参考答案：合格4. 轮船在大海中航行，它从A点出发，向正北方向航行20畑，遇到冰山后，又折向东航行轮船与A点的距离为 km .参考答案：255. (2009年安徽)长为4m的梯子搭在墙上与地面成 45角，作业时调整为 60角(如 图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了 m.参考答案：2(.32