椭圆、双曲线、抛物线典型例题整理

1、椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例 1：已知椭圆的焦点是F1(0 ， 1) 、F2(0,1) ，P 是椭圆上一点，并且PF1PF2 2F1F2，求椭圆的标准方程。2已知椭圆的两个焦点为F1( 1,0) ， F2(1,0) ，且 2a 10，求椭圆的标准方程二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例： 1.椭圆的一个顶点为A 2，0 ，其长轴长是短轴长的2 倍，求椭圆的标准方程三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。x2y2例求过点 ( 3,2) 且与椭圆 1 有相同焦点的椭圆的标准方程94四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。例：已知中心在原点，焦点

2、在x 轴上的椭圆与直线xy10 交于 A 、 B 两点， M 为 AB 中点， OM 的斜率为 0.25 ，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程五、求椭圆的离心率问题。例 1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率x 2y21 的离心率 e1例 2 已知椭圆9，求 k 的值k 82六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例： 1. 若 ABC的两个顶点坐标A( 4,0) ， B(4,0) ， ABC的周长为 18，求顶点 C的轨迹方程。2已知椭圆的标准方程是x2y2a5) ， 它的两焦点分别是121 2122 1(F，F，且 FF8， 弦 AB过点 F，求 ABFa25的周长x2y23

3、设 F1、F2 是椭圆 9 4 1 的两个焦点， P是椭圆上的点，且 PF1 PF2 21，求 PF1F2 的面积七、直线与椭圆的位置问题.例 已知椭圆x2y21，求过点 P11且被 P 平分的弦所在的直线方程22，2解法一： 设所求直线的斜率为k ，则直线方程为1k x1y代入椭圆方程，并整理得221 2k2 x22k22k x1 k 2k322由韦达定理得 x1 x22k 22k12k2 P 是弦中点， x1x21故得 k所以所求直线方程为2x4y30 11的直线与椭圆交于解法二： 设过 P，22x12y121，2x22y221，20 12A x1， y1 、 B x2， y2 ，则由题意

4、得x1x21，y1y21.得 x12x22y12y220 2y1y21 ，即直线的斜率为1将、代入得x1x222所求直线方程为 2x 4y 3 0 八、椭圆中的最值问题例 椭圆 x2y21 的右焦点为 F ，过点 A 1， 3，点 M 在椭圆上，当 AM2 MF 为最小值1612时，求点 M 的坐标双曲线典型例题二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。例 2根据下列条件，求双曲线的标准方程（ 1）过点15，Q16 ， 且焦点在坐标轴上P 3，543.（ 2） c6 ，经过点（5， 2），焦点在 x 轴上（ 3）与双曲线 x2y 21 有相同焦点，且经过点3 2，2164三、求与双曲线有关的角度问

5、题。例 3 已 知 双 曲 线 x2y21的右焦点分别为 F1、 F2，点 P在双曲线上的左支上且916PF1 PF2 32，求 F1PF2 的大小（ 2）题目的“点 P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点 P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。例 4已知 F1 、 F2 是双曲线 x2y21 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足F1 PF2 90 ，求4F1PF2 的面积分析： 利用双曲线的定义及F1PF2 中的勾股定理可求F1PF2 的面积五、根据双曲线的定义求其标准方程。例 5已知两点 F15，0 、 F2

6、5，0 ，求与它们的距离差的绝对值是6 的点的轨迹例P 是双曲线 x2y21上一点， F1 、 F2 是双曲线的两个焦点，且 PF17 ，求 PF的值643612六、求与圆有关的双曲线方程。例 6求下列动圆圆心 M 的轨迹方程：（ 1）与 C ：x2 2y 22 内切，且过点A 2，0（ 2）与 C1： x2y1 21 和 C2： x2y1 24都外切（ 3）与 C1：x3 2y29 外切，且与 C2：x32y21内切w.w.w.k.s.5.u.c.o.m抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程（1） x24y （ 2） x ay 2 (a 0)二、求直线与

7、抛物线相结合的问题例 2 若直线 ykx 2与抛物线 y28x 交于 A、B 两点，且 AB中点的横坐标为2，求此直线方程三、求直线中的参数问题例 3（ 1）设抛物线 y24x 被直线 y2x k 截得的弦长为 3 5 ，求 k 值（ 2）以（ 1）中的弦为底边，以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9 时，求 P点坐标四、与抛物线有关的最值问题例4 定长为3 的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y2x 上移动，求 AB 的中点到 y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 中点的坐标.椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例 1：已知椭圆的焦点是F1(0 ，

8、 1) 、F2(0,1) ，P 是椭圆上一点，并且PF1PF2 2F1F2，求椭圆的标准方程。二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例： 1.椭圆的一个顶点为A 2，0 ，其长轴长是短轴长的2 倍，求椭圆的标准方程三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。x2y2例求过点 ( 3,2) 且与椭圆 9 4 1 有相同焦点的椭圆的标准方程四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。例：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线xy10 交于 A 、 B 两点， M 为 AB 中点， OM 的斜率为 0.25 ，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程五、求椭圆的离心率问题。例 一个椭圆的焦点

9、将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率.六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例： 1. 若 ABC的两个顶点坐标A( 4,0) ， B(4,0) ， ABC的周长为 18，求顶点 C的轨迹方程。222已知椭圆的标准方程是x2 y 1(a5)，它的两焦点分别是F F且 F F8，弦 AB过点 F，求ABF1， 2，1 212a25的周长x2y23设 F1、F2 是椭圆 9 4 1 的两个焦点， P是椭圆上的点， 且 PF1 PF2 21，求 PF1F2 的面积七、直线与椭圆的位置问题例 已知椭圆x2y21，求过点 P11且被 P 平分的弦所在的直线方程22，2八、椭圆中的最值问题例 椭圆 x

10、2y21 的右焦点为F ，过点 A1，3，点 M 在椭圆上，当 AM2 MF 为最小值1612时，求点 M 的坐标双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。例 1讨论x2y225 k91表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征k.二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程（ 1）过点15，Q16 ， 且焦点在坐标轴上P 3，543（ 2） c6 ，经过点（5， 2），焦点在 x 轴上（ 3）与双曲线 x2y 21 有相同焦点，且经过点 32，2164三、求与双曲线有关的角度问题。例 3 已 知 双 曲 线 x2y21的右焦点分别为 F1、 F2，点 P在

11、双曲线上的左支上且916PF1 PF232 ，求F1PF2 的大小题目的 “点 P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。例 4已知F1、 F2是双曲线 x2y21 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足F1 PF2 90 ，求4F1PF2 的面积五、根据双曲线的定义求其标准方程。例 5已知两点F15，0 、 F2 5，0 ，求与它们的距离差的绝对值是6 的点的轨迹.例P 是双曲线 x2y21上一点， F1 、 F2 是双曲线的两个焦点，且 PF117 ，求 PF2 的值6436六、用定义法求

12、与圆有关的双曲线方程。例 6 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（ 1）与 C ：x22y 22 内切，且过点A 2，0（ 2）与 C ： x2y1 21 和C ： x2y1 24 都外切12（ 3）与 C1：x32y29 外切，且与 C2：x3 2y21内切抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程（1） x24y （ 2） x ay 2 (a 0)分析：（ 1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程（2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程二、求直线与抛物线相结合的问题例 2 若直线 ykx2 与抛物线y28x 交于 A、B 两点，且 AB中点的横坐标为2，求此直线方程三、求直线中的参数问题例 3（ 1）设抛物线 y24x 被直线 y 2xk 截得的弦长为 3 5 ，求 k 值（ 2）以（ 1）中的弦为底边