曲面及其方程二次曲面

1、1 1 第五节第五节 曲面及其方程曲面及其方程 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念 二、旋转曲面二、旋转曲面 三、柱面三、柱面 四、二次曲面四、二次曲面 2 2 水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 曲面方程的定义：曲面方程的定义： 如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述关关系系： （1 1） 曲曲面面S上上任任一一点点的的坐坐标标都都满满足足方方程程； （2 2）不不在在曲曲面面S上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程； 曲面的实例：曲面的实例： 一、曲

2、面方程的概念 3 3 以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面. 解解 设设),(zyxM是是球球面面上上任任一一点点， RMM | 0 根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 Rzzyyxx 所求方程为所求方程为 特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为 2222 Rzyx 4 4 例例 2 2 求与原点求与原点O及及)4 , 3 , 2( 0 M的距离之比为的距离之比为2:1的的 点的全体所组成的曲面方程点的全体所组成的曲面方程. 解解 设设),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一点点， , 2 1 | | 0 MM MO 根

3、据题意有根据题意有 , 2 1 432 222 222 zyx zyx . 9 116 3 4 1 3 2 2 2 2 zyx所求方程为所求方程为 5 5 设设),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一点点， 根据题意有根据题意有 |,|MBMA 2 22 321 zyx ,412 222 zyx 化简得所求方程化简得所求方程 . 07262 zyx 解解 6 6 z x yo 例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1( 22 yxz 根据题意有根据题意有1 z 用用平平面面cz 去去截截图图形形得得圆圆： )1(1)2()1( 22 ccyx 当当平平面面cz

4、上上下下移移动动时时， 得得到到一一系系列列圆圆 圆心在圆心在), 2 , 1(c，半径为，半径为c 1 半径随半径随c的增大而增大的增大而增大. 图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底 解解 c 7 7 以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题： （2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状 （讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面） （讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面） （1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程 8 8 二、旋转曲面二、旋转曲面 定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲

5、线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的 曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。 这条曲线和定直线分这条曲线和定直线分 别称为旋转曲面的别称为旋转曲面的母母 线线和和旋转轴旋转轴。 9 9 二、旋转曲面二、旋转曲面 定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲 线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的 曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。 这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母 线线和和旋转轴旋转轴。 1010 二、旋转曲面二、旋转曲面 定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲 线绕其平面上的一条线绕其平面上

6、的一条 直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的 曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。 这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母 线线和和旋转轴旋转轴。 11 11 二、旋转曲面二、旋转曲面 定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲 线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的 曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。 这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母 线线和和旋转轴旋转轴。 1212 二、旋转曲面二、旋转曲面 定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲 线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的

7、直线旋转一周所成的 曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。 这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母 线线和和旋转轴旋转轴。 1313 二、旋转曲面二、旋转曲面 定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲 线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的 曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。 这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母 线线和和旋转轴旋转轴。 1414 二、旋转曲面二、旋转曲面 定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲 线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的 曲面称为

8、曲面称为旋转曲面旋转曲面。 这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母 线线和和旋转轴旋转轴。 1515 二、旋转曲面二、旋转曲面 定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲 线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的 曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。 这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母 线线和和旋转轴旋转轴。 1616 二、旋转曲面二、旋转曲面 定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲 线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的 曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。

9、这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母 线线和和旋转轴旋转轴。 1717 二、旋转曲面二、旋转曲面 定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲 线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的 曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。 这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母 线线和和旋转轴旋转轴。 1818 二、旋转曲面二、旋转曲面 定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲 线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的 曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。 这条曲线和定直线一这条曲线和

10、定直线一 次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母 线线和和旋转轴旋转轴。 1919 二、旋转曲面二、旋转曲面 定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲 线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的 曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。 这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母 线线和和旋转轴旋转轴。 2020 二、旋转曲面二、旋转曲面 定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲 线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的 曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。 这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的次

11、称为旋转曲面的母母 线线和和旋转轴旋转轴。 2121 例例5 5 证明以证明以oz轴为旋转轴，轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 ( , )0 C: 0 f y z x 为母线所产生的旋转曲面为母线所产生的旋转曲面S的方程为：的方程为： 22 (, )0fxyz x o z y 证明：证明：旋转曲面如图旋转曲面如图 设设M(x, y, z)为旋转曲面为旋转曲面S上任意一点，上任意一点， 显然，显然，M一定是由母线一定是由母线C上某点上某点 M1(0, y1, z1)旋转得到，旋转得到， 1 (1),zz 22 1 (2)|yxy (0, 0, z) 代入母线方程即得证明。代

12、入母线方程即得证明。 ( , , )M x y z ),0( 111 zyM 即即 ( , )0 0 f y z x 2222 22 ( ,)0f yxz 注意：注意： ( , )0 C: 0 f y z x 1. yoz平面上的母线平面上的母线 绕绕oz轴旋转得旋转曲面轴旋转得旋转曲面 22 (, )0fxyz ( , )0 C: 0 f y z x 2. yoz平面上的母线平面上的母线 绕绕oy轴旋转得旋转曲面轴旋转得旋转曲面 ( , )0 C: 0 f x y z 3. xoy平面上的母线平面上的母线 绕绕ox轴旋转得旋转曲面轴旋转得旋转曲面 22 ( ,)0f xyz 2323 例例6

13、 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程 绕绕x轴轴旋旋转转 绕绕z轴旋转轴旋转 1 2 22 2 2 c zy a x 1 2 2 2 22 c z a yx 这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面. . 2424 绕绕y轴轴旋旋转转 绕绕z轴旋转轴旋转 1 2 22 2 2 c zx a y 1 2 2 2 22 c z a yx 旋转椭球面旋转椭球面 pzyx2 22 旋转抛物面旋转抛物面 2525 特点：特点： 曲面方程曲面方程 中若除一个变量外，另外两个变中若除一个变量外，另外两个变 量能写成平

14、方和的形式，则该曲面是旋转曲面量能写成平方和的形式，则该曲面是旋转曲面 ( , , )0F x y z 例：例： 222 1 499 xyz 22 22 1 49 0 1 49 0 xy x z xz x y 由由椭椭圆圆曲曲线线绕绕轴轴旋旋转转所所得得的的椭椭球球面面 或或由由椭椭圆圆曲曲线线绕绕轴轴旋旋转转所所得得的的椭椭球球面面 222 1xyz呢呢？ 2626 x o z y 解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz ), 0( 111 zyM ),(zyxM 圆锥面方程圆锥面方程 cot 22 yxz o x z y 2727 播放播放 定义定义 三、柱面三、柱面 观察柱

15、面的观察柱面的 形成过程形成过程: 沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。 这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。 2828 定义定义 三、柱面三、柱面 沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。 这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。 观察柱面的观察柱面的 形成过程形成过程: 2929 定义定义 三、柱面三、柱面 沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲

16、面称为柱面柱面。 这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。 观察柱面的观察柱面的 形成过程形成过程: 3030 定义定义 三、柱面三、柱面 沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。 这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。 观察柱面的观察柱面的 形成过程形成过程: 3131 定义定义 三、柱面三、柱面 沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。 这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，

17、动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。 观察柱面的观察柱面的 形成过程形成过程: 3232 定义定义 三、柱面三、柱面 沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。 这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。 观察柱面的观察柱面的 形成过程形成过程: 3333 定义定义 三、柱面三、柱面 沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。 这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。 观察柱面的观察柱面的 形

18、成过程形成过程: 3434 定义定义 三、柱面三、柱面 沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。 这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。 观察柱面的观察柱面的 形成过程形成过程: 3535 定义定义 三、柱面三、柱面 沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。 这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。 观察柱面的观察柱面的 形成过程形成过程: 3636 定义定义 三、柱面三、柱面 沿定曲线沿定

19、曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。 这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。 观察柱面的观察柱面的 形成过程形成过程: 3737 定义定义 三、柱面三、柱面 沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。 这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。 观察柱面的观察柱面的 形成过程形成过程: 3838 定义定义 三、柱面三、柱面 沿定曲线沿定曲线C 移动的动直线移动的动直线L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为

20、柱面柱面。 这条定曲线这条定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线。 观察柱面的观察柱面的 形成过程形成过程: 3939 柱面举例柱面举例 x o z y x o z y 2 2 0 yx z 抛物柱面抛物柱面 0 yx z 平面平面 4040 ( , )0 C: 0 f x y z 母线平行于母线平行于 z 轴的柱面方程为：轴的柱面方程为：( , )0f x y 一般地，已知准线方程一般地，已知准线方程 ( , )0f x y 注意：注意：方程中缺方程中缺z，表示，表示z可以任意取值，所以方程可以任意取值，所以方程 表示母线平行于表示母线平行于z轴的柱面。

21、轴的柱面。 ( ,)0f x y 一般地，在空间直角坐标下一般地，在空间直角坐标下 ( , )0f x y （缺（缺z），）， 表示母线表示母线？，准线为？的柱面。？，准线为？的柱面。 ( , )0f x z （缺（缺y），）， 表示母线表示母线？，准线为？的柱面。？，准线为？的柱面。 ( , )0f y z （缺（缺x），）， 表示母线表示母线？，准线为？的柱面。？，准线为？的柱面。 4141 问：问： 1 2 2 2 2 c z b y （1） 表示什么曲面？表示什么曲面？ 22 22 1 xz ac （2） 表示什么曲面？表示什么曲面？ 回顾回顾 1. 三元方程三元方程 F(x,y,z)

22、=0表示空间的一张曲面表示空间的一张曲面S。 2. 表示一张球面。表示一张球面。 222 0AxAyAzBxCyDzE AxByCzD0 3. 表示空间的一张平面。表示空间的一张平面。 ( , )0 C: 0 f y z x 4. yoz平面上的母线平面上的母线 绕绕oz轴旋转得旋转曲面轴旋转得旋转曲面 4242 四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面二次曲面。 目的：目的：利用利用截痕法截痕法讨论二次曲面的形状。讨论二次曲面的形状。 即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线

23、（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。 22 (, )0fxyz 5. xoy平面上的准线方程平面上的准线方程 母线平行于母线平行于 z 轴的轴的 ( , )0 C: 0 f x y z 柱面方程为：柱面方程为：( , )0f x y 其基本类型有其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面 4343 （一）椭球面（一）椭球面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 椭球面与三个椭球面与三个 坐标面的交线：坐标面的交线： 22 22 1 , 0 xy ab z 椭球面与平面椭球面与平面 的交

24、线为椭圆的交线为椭圆 1 zz 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 )()( zz zc c b y zc c a x 同理与平面同理与平面x=x1 和和y=y1 的交线也的交线也 是椭圆是椭圆 22 22 1 , 0 xz ac y 22 22 1 , 0 yz bc x 4444 椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况： ,)1(ba 222 22 1 xyz ac 旋转椭球面旋转椭球面 22 22 1 0 xz ac y 由椭圆由椭圆 或或 绕绕z轴旋转而成。轴旋转而成。 22 22 1 0 yz bc x ,)2(cba 1 2 2 2 2 2 2 a z a

25、y a x 球面球面 2222 xyza 方程可写为方程可写为 4545 （二）抛物面（二）抛物面 z q y p x 22 22 （p与与q同号）同号） （1）椭圆抛物面）椭圆抛物面 用截痕法讨论：用截痕法讨论： （1）用坐标面）用坐标面 xoy (z=0) 去截；去截； 设设p与与q都大于零。都大于零。 （2）用平面）用平面 去截；去截； 11 (0)zz z （3）用坐标面）用坐标面 xoz 或或 yoz 去截；去截； （4）用平面）用平面 去截；去截； 11 xxyy或或 yo x z 4646 z x y o 椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下： 0, 0 qp x y z

26、o 0, 0 qp 特殊地：当特殊地：当p=q时，方程变为时，方程变为 z p y p x 22 22 旋转抛物面旋转抛物面 4747 （2）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面） z q y p x 22 22 ( p与与q同号同号 ) 用截痕法讨论：用截痕法讨论： 设设0, 0 qp x z y o 4848 （三）双曲面（三）双曲面 单叶双曲面单叶双曲面1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x x y o z （1） z o x y . 4949 by 1 ) 1 上的截痕为平面 1 zz 椭圆椭圆. 时时, 截痕为截痕为 2 2 1 2 2 2 2 1 b y c z a x ( (实轴平行于实轴平行于x 轴；轴； 虚轴平行于虚轴平行于z 轴）轴） 1 yy z x y ),(1 2 2 2 2 2 2 为正数cba c z b y a x 1 yy 平面平面 上的截痕情况上的截痕情况: 双曲线双曲线: 5050 虚轴平行于虚轴平行于x 轴）轴） by 1 )2 时时, 截痕为截痕为 0 c z a x )(bby或 by 1 )3时时, 截痕为截痕为 2 2 1 2 2 2 2 1 b y c