高等数学（上）：D3_6函数图形的描绘

1、第六节第六节 一、一、 曲线的渐近线曲线的渐近线 二、二、 函数图形的描绘函数图形的描绘 函数图形的描绘函数图形的描绘 第三章第三章 2 xy 无渐近线无渐近线 . 点点 M 与某一直线与某一直线 L 的距离趋于的距离趋于 0, 一、一、 曲线的渐近线曲线的渐近线 定义定义 . 若曲线若曲线 C上的点上的点M 沿着曲线无限地远离原点沿着曲线无限地远离原点 时时,则称直线则称直线 L 为为 曲线曲线C 的的渐近线渐近线 . 例如例如, 双曲线双曲线1 2 2 2 2 b y a x 有渐近线有渐近线0 b y a x 但抛物线但抛物线 或为或为“纵坐标差纵坐标差” N L bxky M x y

2、o C )(xfy P x y o 则则曲曲线线若若,)(limbxf x 2. 2. 铅直渐近线铅直渐近线 则则曲曲线线若若,)(lim 0 xf xx 1. 1. 水平渐近线水平渐近线 x y o x y o 一、水平与铅直渐近线一、水平与铅直渐近线 .)(byxfy 有水平渐近线有水平渐近线 )(x或或 )( 0 xx或或 .)( 0 xxxfy 有铅直渐进线有铅直渐进线 例如例如, , )3)(2( 1 xx y 有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: : . 3, 2 xx 例如例如, ,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: : . 2 , 2 yy 2 y 2 y x

3、 y O x y O 3 x 2 x 例例1 1 .2 1 1 的渐近线的渐近线求曲线求曲线 x y 解解 ，因为因为2)2 1 1 (lim x x .2 为水平渐近线为水平渐近线所以所以 y ,)2 1 1 (lim 1 x x 又又 .1为铅直渐近线为铅直渐近线所以所以 x 2 1 x o 2. 斜渐近线斜渐近线 有则曲线)(xfy 斜渐近线斜渐近线.bxky )(x或 若若 ,0)(lim xf x )(bxk 0 )( lim x b k x xf x x 0)(lim xf x )(bxk 0 )( lim x b k x xf x )( lim x b x xf k x x xf

4、 k x )( lim )(limxkxfb x )(x或 )(x或 注意注意 ; )( lim)1(不存在不存在 如果如果 x xf x ,)(lim, )( lim)2(不存在不存在但但存在存在kxxfk x xf xx .)(不不存存在在斜斜渐渐近近线线可可以以断断定定xfy 解解 2 3 11 )1( limlim x x y xx 因为因为 , , 1 x曲线有铅直渐近线曲线有铅直渐近线 x xf k x )( lim 又因又因 2 2 )1( lim x x x )(limxxfb x 2 )1( )12( lim x xx x , 2 .2为曲线的斜渐近线为曲线的斜渐近线所以所以

5、 xy . )1( 2 3 的渐近线的渐近线求曲线求曲线 x x y 例例2 2 1 例例2. 求曲线求曲线 32 2 3 xx x y的渐近线的渐近线 . 解解:, ) 1)(3( 3 xx x y,lim 3 y x ) 1(x或 所以有铅直渐近线所以有铅直渐近线 3x 及 1x 又因又因 x xf k x )( lim 32 lim 2 2 xx x x 1 )(limxxfb x 32 32 lim 2 2 xx xx x 2 2xy为曲线的斜渐近线为曲线的斜渐近线 . 31 2 xy 二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘 步骤步骤 : 1. 确定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义

6、域 , 期性期性 ; 2. 求求 )(, )(xfxf 并求出并求出)(x f 及及)(x f 3. 列表判别增减及凹凸区间列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点确定某些特殊点 , 描绘函数图形描绘函数图形 . 为为 0 和不存在和不存在 的点的点 ; 并考察其对称性及周并考察其对称性及周 例例1 1., )1( )( 2 3 并作出图形并作出图形的性态的性态讨论函数讨论函数 x x xf 解解), 1()1 ,(: D非奇非偶函数非奇非偶函数, ,且无对称性且无对称性. . , )1( )3( )( 3 2 x xx x

7、f . )1( 6 )( 4 x x xf , 0)( x f令令 , 0 x得驻点得驻点 , 0)( x f令令 . 0 x得得 )(lim 1 xf x ; 1 x得铅直渐近线得铅直渐近线 3 x :渐近线渐近线 x xf k x )( lim 又因又因 2 2 )1( lim x x x )(limxxfb x 2 )1( )12( lim x xx x , 2 .2为曲线的斜渐近线为曲线的斜渐近线所以所以 xy 1 列表确定函数单调区间列表确定函数单调区间, ,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点. . x)0 ,( ), 3( )1,0(0)3,1( )(x f )(xf 0

8、 0 )(x f 13 无无 定定 义义 拐点拐点 极小值点极小值点 间间 断断 点点 )0,0( . 00 xy的点的点 , )1( )3( )( 3 2 x xx xf . )1( 6 )( 4 x x xf ), 1()1 ,(: D, 0 x得驻点得驻点 3 x 0 ) 4 27 ,3( 列表确定函数单调区间列表确定函数单调区间, ,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点. . x)0 ,( ), 3( )1,0(0)3,1( )(x f )(xf 0 0 )(x f 13 无无 定定 义义 拐点拐点 极小值点极小值点 间间 断断 点点 )0,0( 0 ) 4 27 ,3( :特

9、特殊殊点点 ) 9 8 ,2(),8,2( :另另 得得 ) 3 8 , 3 2 ( 0,0 yx时时 的交点的交点与与2)( xyxf 作图作图 )0,0() 4 27 ,3( 0,0 yx时时 2 3 )1( x x 2 x ; 1 x铅直渐近线铅直渐近线 .2 xy斜渐近线斜渐近线 y :补补充充点点 作图作图 x o 2 1 2 1 11 2 3 6 A B C x)0,( ),3( )1,0(0)3,1( )( x f )( xf 0 0 )( x f 13 无无 定定 义义 拐点拐点 极小值点极小值点间断点间断点 )0,0( 0 ) 4 27 ,3( ),8,2(), 9 8 ,2

10、(BA ), 3 8 , 3 2 (D ; 1 x铅直渐近线铅直渐近线 .2 xy斜渐近线斜渐近线 D ) 4 27 , 3(C 例例2. 描绘描绘2 23 3 1 xxy的图形的图形. 解解: 1) 定义域为定义域为, ),( 无对称性及周期性无对称性及周期性. 2),2 2 xxy,22 xy ,0 y 令2,0 x得 ,0 y 令1x得 3) x y y y 012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2( 00 2 3 4 (极大)(拐点） 3 2 (极小) 4) x y 13 3 2 2 0 1231 例例3. 描绘方程描绘方程 044)3( 2 yxyx的图形的图形. 解解: 1

11、), ) 1(4 )3( 2 x x y定义域为定义域为 ), 1 ( , ) 1 ,( 2) 求关键点求关键点 )3(2x y 4044yxy ) 1(2 23 x yx y 2 ) 1(4 ) 1)(3( x xx y 42048 yxy ) 1(2 41 x y y 3 ) 1( 2 x 得令0 y ;3, 1x 113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3( x y y y 2 0 , ) 1(4 )3( 2 x x y, ) 1(4 ) 1)(3( 2 x xx y 3 ) 1( 2 x y 3) 判别曲线形态判别曲线形态 00 (极大极大) (极小极小) 4) 求渐近线求

12、渐近线 ,lim 1 y x 为铅直渐近线为铅直渐近线 无定义无定义 1x 又因又因 x y x lim, 4 1 4 1 k即即 ) 4 1 (limxyb x 4 1 ) 1(4 )3( lim 2 x x x x ) 1(4 95 lim x x x4 5 ) 1(4 )3( 2 x x y 5) 求特殊点求特殊点 x y 0 4 9 2 4 1 为斜渐近线为斜渐近线 4 5 4 1 xy 2 ) 1(4 ) 1)(3( x xx y 3 ) 1( 2 x y 6）绘图）绘图 (极大极大) (极小极小) 斜渐近线斜渐近线 1x铅直渐近线铅直渐近线 4 5 4 1 xy 特殊点特殊点 1

13、13 0 2 () () x y x 2 3 41 2 无定义无定义 x y 113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3( 0 x y 0 4 9 2 4 1 例例4. 描绘函数描绘函数 2 1 y 2 2 x e 的图形的图形. 解解: 1) 定义域为定义域为, ),(图形对称于图形对称于 y 轴轴. 2) 求关键点求关键点 y 2 1 , 2 2 x ex y 2 1 2 2 x e )1 ( 2 x 得令0 y ;0 x得令0 y 1x 2 1 0 0 e2 1 x y y y 1 0 ) 1,0(), 1 ( 3) 判别曲线形态判别曲线形态 (极大极大)(拐点拐点) (极大

14、极大)(拐点拐点) 0lim y x 0y 为水平渐近线为水平渐近线 5) 作图作图 4) 求渐近线求渐近线 2 1 0 0 e2 1 x y y y 1 0 ) 1,0(), 1 ( 2 2 2 1 x ey x y o B A 2 1 水平渐近线水平渐近线 ; 垂直渐近线垂直渐近线; 内容小结内容小结 1. 曲线渐近线的求法曲线渐近线的求法 斜渐近线斜渐近线 按作图步骤进行按作图步骤进行2. 函数图形的描绘函数图形的描绘 思考与练习思考与练习 1. 曲线曲线)( e1 e1 2 2 x x y (A) 没有渐近线；没有渐近线； (B) 仅有水平渐近线；仅有水平渐近线； (C) 仅有铅直渐近

15、线；仅有铅直渐近线； (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线. 提示提示:;1 e1 e1 lim 2 2 x x x 2 2 e1 e1 lim 0 x x x D 拐点为拐点为 , 凸区间是凸区间是 , ),( 2 1 )e1,( 2 1 2 1 2. 曲线曲线 2 e1 x y 的凹区间是的凹区间是 , 提示提示: )21 (e2 2 2 xy x ),( 2 1 2 1 ),( 2 1 及 渐近线渐近线 . 1y y O x 1 )e1 ,( 2 1 2 1 1 21 2 (,1 e) P169 2 ; 4 作业作业 备用题备用题 求笛卡儿叶形线求笛卡儿叶形线yxayx3 33 的渐近线的渐近线 . 解解: 令令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程代入原方程得曲线的参数方程 : x, 1 3 3 t ta y 3 2 1 3 t ta , 1tx时当 因因 x y x lim 1 lim t 3 2 1 3 t ta 3 1 3 t ta 1 )(limxy x 1 lim t 3 2 1 3 t ta