简单曲线的极坐标方程

1、精选课件精选课件1 精选课件精选课件2 3 3、极坐标与直角坐标的互化公式、极坐标与直角坐标的互化公式 1、极坐标系的四要素、极坐标系的四要素 2 2、点与其极坐标一一对应的条件、点与其极坐标一一对应的条件 极点；极轴；长度单位；角度单位极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。及它的正方向。 ) 0(tan, 222 x x y yx sin,cos yx )2 , 0, 0 精选课件精选课件3 在平面直角坐标系中，平面曲线C可以 用f(x,y)=0表示。曲线与方程满足： （1）曲线）曲线C上点的坐标都是方程上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解；的解； （2）以方程）以方程f(x,y)

2、=0的解为坐标的点都在曲线的解为坐标的点都在曲线C上。上。 思考：在极坐标系中，平面曲线是否可以用思考：在极坐标系中，平面曲线是否可以用 方程方程 表示？表示？ 0),(f 精选课件精选课件4 如图，半径为a的圆的圆 心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？ xC(a,0) O M A (,) 探究：探究： )1 ()0 ,2(), 2 , 0( )1.(.cos2cos ),(,2 的坐标满足等式可以验证，点 即中 。在以外的任意一点，那么 ，为圆上除点设，那么是 交点。设圆与极轴的另一个解：圆经过极点 aAO aMOAOAOM AMORtAMO

3、M AOMaOAA O 精选课件精选课件5 的点都在这个圆上。等式 ，可以验证，坐标适合满足的条件，另一方面 坐标就是圆上任意一点的极所以，等式 ) 1 ( ),() 1 ( 一.圆的极坐标方程: ) 1 ()0 ,2(), 2 , 0( ) 1.(.cos2cos ),(,2 的坐标满足等式可以验证，点 即中 。在以外的任意一点，那么 ，为圆上除点设，那么是 交点。设圆与极轴的另一个解：圆经过极点 aAO aMOAOAOM AMORtAMOM AOMaOAA O 精选课件精选课件6 的极坐标方程。叫做曲线那么方程 上，的点都在曲线并且坐标适合方程 一个满足方程一点的极坐标中至少有 上任意，如

4、果平面曲线一般地，在极坐标系中 Cf Cf f C 0),( 0),( 0),( 的圆的极坐标方程。为 半径就是圆心在所以， a aaCa),0)(0 ,(cos2 曲线的极坐标方程: 精选课件精选课件7 与直角坐标系里的情况一样 建系建系 （适当的极坐标系）（适当的极坐标系） 设点设点 （设（设M M（ ，) )为要求方程的曲线上任意一点）为要求方程的曲线上任意一点） 列等式（构造列等式（构造，利用三角形边角关系的定理列关于，利用三角形边角关系的定理列关于M M的等式）的等式） 将等式坐标化将等式坐标化 化简化简 （此方程此方程f(,)=0即为曲线的方程）即为曲线的方程） 求曲线极坐标方程的

5、步骤: 精选课件精选课件8 例例1.已知圆已知圆O的半径为的半径为r，建立怎样的极坐标，建立怎样的极坐标 系，可以使圆的极坐标方程简单？系，可以使圆的极坐标方程简单？ xO r M 简单。上比 式合时的极坐标方程在形显然，使极点与圆心重 即为圆上任意一点，则设 都等于半径何特征就是它们的极径 几图），那么圆上各点的为极轴建立坐标系（如 出发的一条射线为极点，从解：如果以圆心 ) 1 ( ,),( . r rOMM r OO 简单。上比 式合时的极坐标方程在形显然，使极点与圆心重 即为圆上任意一点，则设 都等于半径何特征就是它们的极径 几图），那么圆上各点的为极轴建立坐标系（如 出发的一条射线为

6、极点，从解：如果以圆心 ) 1 ( ,),( . r rOMM r OO 精选课件精选课件9 简单。上比 式合时的极坐标方程在形显然，使极点与圆心重 即为圆上任意一点，则设 都等于半径何特征就是它们的极径 几图），那么圆上各点的为极轴建立坐标系（如 出发的一条射线为极点，从解：如果以圆心 ) 1 ( ,),( . r rOMM r OO 精选课件精选课件10 特殊位置的圆的极坐标方程特殊位置的圆的极坐标方程 的的极极坐坐标标方方程程最最简简单单？ 使使圆圆，怎怎样样建建立立极极坐坐标标系系，的的半半径径为为：圆圆问问题题rO1 x r O )( P r . )(,( 极极坐坐标标方方程程 的的

7、圆圆的的，圆圆心心坐坐标标为为：求求半半径径为为问问题题002aaa Ox ),(0aM )( P cosa2 .)( ),( 的的圆圆的的极极坐坐标标方方程程 ，圆圆心心坐坐标标为为：求求半半径径为为问问题题 0 2 3 a aa sina2 Ox ),( 2 aM )( P 精选课件精选课件11 一般的圆的极坐标方程一般的圆的极坐标方程 )( P r 0 0 )( 00 M 2 00 2 0 2 2r)cos( r aar aar 时，时， 时，时， 时，时， 003 2 2 2 201 00 00 00 )( sin)( cos)( 求圆心在求圆心在M( 0, )，半径为，半径为r圆的极

8、坐标方程圆的极坐标方程。 精选课件精选课件12 B 精选课件精选课件13 极径的推广极径的推广 负极径 “负”的意义是什么？ 标准之下3摄氏度与-3摄氏度. 方向相反a 与. a 与. O x (, )M ( , ) 13 若M的坐标为 则M的坐标也可以是(, ) ( ,). 若0，则规定点(，)与点(，)关于极点对称 精选课件精选课件14 负极径小结：负极径小结：极径变为负极径变为负，极角增加极角增加 。 练习：写出点练习：写出点 的负极径的极坐标的负极径的极坐标 （6， ） 6 答：（答：（6， +） 6 特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），

9、 认为认为 0 。因为负极径只在极少数情况用。因为负极径只在极少数情况用。 精选课件精选课件15 二.直线的极坐标方程: x o 4 l 精选课件精选课件16 和前面的直角坐标系里直线方程和前面的直角坐标系里直线方程 的表示形式比较起来，极坐标系里的的表示形式比较起来，极坐标系里的 直线表示起来很不方便，要用两条射直线表示起来很不方便，要用两条射 线组合而成。原因在哪？线组合而成。原因在哪？0 为了弥补这个不足，可以考虑允许为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为线的极坐标方程可以表示为 () 4 R 或或 5 ()

10、 4 R 精选课件精选课件17 例例2.求过点求过点A(a,0)(a0)，且垂直于，且垂直于 极轴的直线极轴的直线L的极坐标方程。的极坐标方程。 解：如图，设点解：如图，设点 ( , )M 为直线为直线L上除点上除点A外的任外的任 意一点，连接意一点，连接OM o x A M 在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA 即即cosa 可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式。的坐标也满足上式。 精选课件精选课件18 求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图；、根据题意画出草图； 2、设点、设点 是直线上任意一点；是直线上任意一点；( , )M 3、连接、连接

11、MO； 4、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立关于 的方的方 程，并化简；程，并化简； , 5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。 精选课件精选课件19 两种特殊的直线的极坐标方程两种特殊的直线的极坐标方程 . )(,( 的的直直线线的的极极坐坐标标方方程程 且且与与极极轴轴垂垂直直：求求过过点点问问题题004aaA O x A M cosa . )(,( 的直线的极坐标方程的直线的极坐标方程 且与极轴平行且与极轴平行：求过点：求过点问题问题0 2 5aaA O x AM a sin . )(,( 的的直直线线的的极极坐坐标标方方程程 且且倾倾斜斜角角为为：求求

12、过过点点问问题题 006aaA O M x Asin()sina 精选课件精选课件20 例例3. 设点设点P的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过点过点P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的极坐标方程。的极坐标方程。 11 (,) l l o x M P 1 1 精选课件精选课件21 解：如图，设点解：如图，设点 ( , )M 点点P外的任意一点，连接外的任意一点，连接OM 为直线上除为直线上除 则则 由点由点P的极坐标知的极坐标知 ,OMxOM 1 OP 1 xOP 设直线设直线L与极轴交于点与极轴交于点A。则。则在在 MOP 1 ,()OMPOPM 由正弦定理得由正弦定

13、理得 1 1 sin()sin() 11 sin()sin() 显然点显然点P的坐标的坐标 也是它的解。也是它的解。 精选课件精选课件22 方程互化方程互化 )0( ,tan , sin cos 222 x x y yx y x 精选课件精选课件23 例例4.圆圆O1和圆和圆O2的极坐标方程分别为的极坐标方程分别为4cos， 4sin. (1)把圆把圆O1和圆和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆求经过圆O1，圆，圆O2交点的直线的直角坐标方程交点的直线的直角坐标方程. 精选课件精选课件24 【解】【解】以极点为原点，极轴为以极点为原点，极轴为x轴

14、正半轴，建立轴正半轴，建立 平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位. (1)xcos，ysin，由，由4cos得得24cos. 所以所以x2y24x. 即即x2y24x0为圆为圆O1的直角坐标方程的直角坐标方程 同理同理x2y24y0为圆为圆O2的直角坐标方程的直角坐标方程 精选课件精选课件25 【名师点评】【名师点评】掌握极坐标方程与直角坐标方程之掌握极坐标方程与直角坐标方程之 间的互化是解决本题的关键间的互化是解决本题的关键 精选课件精选课件26 精选课件精选课件27 精选课件精选课件28 2.设点设点P的极坐标为的极坐标为A ，直，直 线线

15、过点过点P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直求直 线线 的极坐标方程。的极坐标方程。 ( ,0)a l l 解：如图，设点解：如图，设点 ( , )M 为直线为直线 上异于的点上异于的点 l 连接连接OM， o M x p 在在 中有中有 MOA sin()sin() a 即即 sin()sina 显然显然A点也满点也满 足上方程。足上方程。 精选课件精选课件29 3.(2,) 4 A 求过点平行于极轴的直线。 O H M A ) 4 , 2( ( , ) (2,) 4 2 sin2 4 sin , sin2 (2,) 4 sin2 lM A MH Rt OMHMHOM A 解：在直线 上任意取点 在中， 即 所以，过点平行于极轴的直线方程 为 精选课件精选课件30 1.在极坐标系中，过圆在极坐标系中，过圆6cos的圆心，且垂直于的圆心，且垂直于 极轴的直线的极坐标方程为极轴的直线的极坐标方程为_. 解析：由题意可知圆的标准方程为解析：由题意可知圆的标准方程