2021_2022版高中数学第二章数列2.5.2等比数列习题课素养评价检测含解析新人教A版必修520210317275

1、等比数列习题课 (20分钟35分)1.数列an为等比数列,若a1=1,a7=8a4,数列的前n项和为Sn,则S5=()A.B.C.7D.31【解析】选A.由题意,q6=8q3,解得q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,因为数列的前n项和为Sn,所以S5=1+=.2.在各项均为正数的等比数列an中,=2a16,则数列log2an的前7项和等于()A.7B.8C.27D.28【解析】选A.由题意,得a10=2q6,所以a1q3=2,即a4=2,所以T7=log2a1+log2a2+log2a7=log2(a1a2a7)=log2=7.3.已知数列an是公比q不为1的等比数列,Sn为其前n项和,

2、满足a2=2,且16a1,9a4,2a7成等差数列,则S3=()A.5B.6C.7D.9【解析】选C.数列an是公比q不为1的等比数列,满足a2=2,且16a1,9a4,2a7成等差数列,可得a1q=2,18a4=16a1+2a7,即9a1q3=8a1+a1q6,解得q=2,a1=1,则S3=7.4.若数列an满足:a1=1,an+1=2Sn,则a4+a5+a6=.【解析】根据题意,数列an满足:an+1=2Sn,即Sn+1-Sn=2Sn,则有Sn+1=3Sn,又由S1=a1=1,则数列Sn为首项为1,公比为3的等比数列,则Sn=13n-1=3n-1,则a4+a5+a6=S6-S3=35-32

3、=234.答案:234【补偿训练】 记等差数列an的前n项和为Sn,bn为等比数列,已知S5=10,且b10=a2+a4,则b5b15=.【解析】设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,由S5=10,且b10=a2+a4,可得5a1+10d=10,b10=2a1+4d,即有b10=4,b5b15=16.答案:165.设Sn为数列an的前n项和,Sn=2an-1(nN*),则S1+S2+S100=.【解析】设Sn为数列an的前n项和,Sn=2an-1(nN*),当n=1时解得a1=1,当n2时Sn-1=2an-1-1,-得an=2an-2an-1,即=2(常数),所以数列an是以1为首

4、项,2为公比的等比数列.则an=2n-1(首项符合通项).故Sn=22n-1-1=2n-1,所以S1+S2+S100=(21+22+2100)-100=-100=2101-102.答案:2101-1026.(2020新高考全国卷)已知公比大于1的等比数列an满足a2+a4=20,a3=8.(1)求an的通项公式;(2)记bm为an在区间(0,m(mN*)中的项的个数,求数列bm的前100项和S100.【解析】(1)设an的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=(舍去),或q=2,a1=2.所以an的通项公式为an=2n.(2)由题设及(1)知b1=0,且当2nm0,所

5、以a3=-4舍去,故a3=4.5.数列an的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n1),则an等于()A.34nB.34n+1C.D.【解析】选C.当n1时an+1=3Sn,则an+2=3Sn+1,所以an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即an+2=4an+1,所以该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列.又a2=3S1=3a1=3.所以an= 二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知Sn是数列an的前n项和,Sn=2-2an+1,若a2=,则S5=.【解析】Sn是数列an的前n项和,Sn=2-2an+1,当n2时,Sn-1=2-2an,两式相减得an=-2an+1

6、+2an,所以an+1=an,又a1=2-2a2=1,a2=,所以an是以1为首项,为公比的等比数列,则S5=.答案:7.等比数列an的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列,若a1=1,则S4=.【解析】设等比数列an的公比为q,因为4a1,2a2,a3成等差数列,所以4a2=4a1+a3,所以4q=4+q2,即q2-4q+4=0,解得q=2,所以S4=15.答案:158.数列an满足a1+a2+a3+an=5+2n(nN*),则a5=.【解析】根据题意,若a1+a2+a3+an=5+2n,则a1+a2+a3+an-1=5+2(n-1),-可得:an=2(n2),则an=2n+1(

7、n2),则a5=26=64.答案:64三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知等差数列an的前n项和为Sn,且S3=9,a1,a3,a7成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列an是递增数列,数列bn满足bn=,Tn是数列anbn的前n项和,求Tn.【解析】(1)等差数列an的公差设为d,S3=9,a1,a3,a7成等比数列,可得3a1+3d=9,=a1a7,即(a1+2d)2=a1(a1+6d),解得a1=3,d=0或a1=2,d=1,则an=3或an=n+1.(2)因为数列an是递增数列,所以d0,即an=n+1,bn=2n+1,从而anbn=(n+1)2n+1,Tn=22

8、2+323+424+(n+1)2n+1,2Tn=223+324+425+(n+1)2n+2,-得-Tn=8+23+24+2n+1-(n+1)2n+2=8+-(n+1)2n+2=-n2n+2,所以Tn=n2n+2.10.已知数列an的前n项和Sn满足Sn=3an-2,数列nan的前n项和为Tn,求满足Tn100的最小的n值.【解析】根据题意,数列an满足Sn=3an-2,当n2时,有Sn-1=3an-1-2,-可得:an=3an-3an-1,可得2an=3an-1,当n=1时,有S1=a1=3a1-2,解得a1=1,则数列an是以a1=1为首项,公比为的等比数列,则an=,数列nan的前n项和为

9、Tn,则Tn=1+2+3+n,则Tn=+2+3+n,-可得-Tn=1+-n=-2-n,变形可得Tn=4+(2n-4),若Tn100,则4+(2n-4)100,即(2n-4)96,经验证可知n7.故满足Tn100的最小的n值为7.1.已知数列an的通项公式是an=f,其中f(x)=sin(x+)的部分图象如图所示,Sn为数列an的前n项和,则S2 019的值为()A.-1B.0C.D.1【解析】选B.由图象可得=-=,即T=,=2,再将代入y=sin(2x+),可得+=2k+,kZ,即有=2k+,kZ,可令k=0,可得=,即f(x)=sin,an=f=sin,为最小正周期为6的数列,由a1=,a2=0,a3=-,a4=-,a5=0,a6=,可得一个周期的和为0,则S2 019=336S6+(a1+a2+a3)=0+0=0.2.已知递减的等比数列an各项均为正数,满足a1a2a3=8,a1+1,a2+1,a3构成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=nan,求数列bn的前n项和Sn.【解析】(1)由等比数列性质可知a1 a2 a3 = = 8,所以a2=2,a1a3=4.由a1+1,a2+1,a3构成等差数列,可知a1+1+a3=2(a2+1