实验室坐标系下相对论多普勒效应公式的推导

1、实验室坐标系下相对论多普勒效应公式的推导魏国柱，李林，杜安 发表在大学物理上的一篇论文1，题为“相对论多普勒效应的简易推导”.，现就该文发表我们的一些看法。为方便，在下面讨论中把该文称作文献1。文献1的推导过程分两步：第一步先在实验室（慣性系）坐标系下得到与普遍情况下机械波多普勒效应公式2相类似的公式(见文献1中的式（3）)，转抄如下： . （1）式中的 ，和 ，分别是接收器R和光源S的速度和速度与光源发出的光线间的夹角，如图1所示。 图1.第二步在上式基础上，再用狭义相对论的时间延迟公式，把 和 换成各自的“原时”和，得到下式（见文献1中的式（4）： 。 （2）式中的 ，。文献1认为式（2）

2、就是在实验室（慣性系）坐标系下的相对论多普勒效应的普遍公式。我们认为文献1的上述推导过程存在问题。首先，我们知道，式（1）等号右边分母中的（），在机械波多普勒效应公式中来自经典的伽里略（G. Galileo）速度迭加原理2，表示由于接收器R运动引起的机械波相对于接收器的速度的改变。在真空中，根据爱因斯坦（A. Einstein）光速不变原理，在讨论光的多普勒效应时，不应有这一项。这一项的出现，表明推导式（1）的过程不符合狭义相对论基本原理。文献1中的实验室（慣性系）坐标系，实际上是“以太”坐标系。其次，文献1中的第二步把 和 换成各自“原时”的过程也存在问题。在其推导过程中，由于光源所在的那个

3、静止参照系相对于实验室参照系以运动，它相对于接收器所在的静止参照系不可能继续以运动，因此，式（2）中 的求法也是有问题的。文献1中式（4）（即本文的式（2）是把在“以太”坐标系下得到的表达式，进行时间延迟效应修正的结果，它不是相对论意义上的表达式。那么，如何推导出实验室（慣性系）坐标系下的相对论多普勒效应表达式呢？即如何由实验室坐标系中的 、 和 、 来表示相对论多普勒效应呢？为了避开考虑接收器运动后可能产生的概念上的混乱，正确的做法是，先在接收器静止的坐标系中推导出光在真空中的多普勒效应公式： , (3)其中 是在接收器静止的坐标系中光源速度 和光源发出的光线间的夹角。再由实验室坐标系中的

4、、 和 、，根据狭义相对论的速度变换公式求出 和 ，代入式（3）后方可得到实验室坐标系下的多普勒效应表达式。显然，一般情况下，这一推导过程是繁杂的。需要指出的是，当 和 取 、 时，由式（2）得到的结果和利用狭义相对论的速度变换公式，用实验室坐标系中的 ， 和 ， 求出光源和接收器之间的相对速度 和 ，代入式（3）后得到的结果相同，这只是一种巧合。而当 和 不取 、 时，由式（2）就可能得到不正确的结果。例如，在文献1结尾讨论横向多普勒效应时，当光源不动，接收器做圆周运动时，得到了发生蓝移的结果。它明显与狭义相对论的结果不符，因为光源和接收器间存在横向相对运动时，无论是接收器动、光源不动；还是

5、光源动、接收器不动，由式（3）可知发生的都是红移现象。最后我们考虑更一般的情况，在实验室坐标系下，接收器速度 和光源速度 与光线PQ不共面的情况，简要给出 和 的推导过程，以便得到实验室坐标系下相对论多普勒效应表达式。设接收器速度 和光线PQ所在的平面为M，光源速度 和光线PQ所在的平面为N，平面M和平面N之间的二面角是 ，如图（2）所示。取接收器坐标系和实验室坐标系分别为和，相对于沿X正方向以 运动。在实验室坐标系中，的三个分量分别为, （4）, （5）, （6）其中是平面M内的中的，有。 （7）由相对论速度变换公式3，得到光源相对于接收器的速度 的三个分量分别为, （8） , （9）, （

6、10）由式（4） 式（10）即可求出 ， 。 （11）注意在进行速度变换时，即 时，其它参量也要进行相应变换：，。下面我们的目的是求 。参照图（2），除 和 外，把所有的量都看成是接收器坐标系中的量。类似于式（5）和式（6）， 有 , （12） 得 。 （13）类似于式（4）和式（7），有 , （14） 。 （15）由式（14）和式（15）联立，得 。 （16） 式（16）等号右边的 号的选取要视具体情况而定，例如当 、 都是锐角时，取 + 号。把由式（4） 式（11）求出 的 和利用式（13）与式（16）求出 的代入式（3），即可用实验室坐标系中的 、 求出光的多普勒效应。 利用上述公式，我们可以研究两种简单情况下的光的横向多普勒效应。 （1）光源不动，接收器沿垂直光线方向运动此时有 =0、=0、=0 和 、。由式（4）式（10）可得， 推得 ；再由式（12）与式（16） 得 。把 和 代入式（3），得， （红移）。（2）接收器不动，光源沿垂直光线方向运动此时有 取任意值、=V、 和 、。由式（4）式（10）可得 ， 推得 ；再由式（12）与式（16）得 。把 和 代入式（3），得 ， （红移）。我们看到，两种情况得到的结果相同，