三角函数专题研究胡文安

1、三角函数专题研究一 课程简介：三角函数是历年来高考的一个重点内容。纯粹的三角考查题目要占到 22 分27 分高考分数，如果再加上在其他学科中的应用分值就应该在 40 分左右。可以说三角是高考中的一个绝对重点和热点问题。但由于这部分内容知识点多，公式多，题型多，尤其是近年来在其他学科中的应用就更多。所以三角问题的解决是每位考生必须重视的问题。现对该课程进行简单的研究和整理，以便同学们能系统的对这部分知识学习和掌握，同时对该知识点在高考中的应用题型及解法能较为系统的了解和掌握。二 课时安排:第一课时：三角函数基本定义学习第二课时：三角函数基本公式学习第三课时：三角函数图像性质学习第四课时：三角函数

2、基本题型学习第五课时：近年来高考试题研究第六课时：高考答题技巧及命题预测三 基本知识框架一、三角函数基本题型1、 角的概念推广及角度制与弧度制的换算（文科：了解）第 1 页2、 任意角三角函数的计算（文科：理解）3、 利用同角三角函数关系，诱导公式，两角和公式的化简求值（熟练掌握）4、 简单的三角不等式解法 （熟练掌握）5、 已知角求三角函数值，已知三角函数值求角（熟练掌握）6、 三角函数的图象及性质 (文科：理解 )(五点法作图重点 ) （熟练掌握）7、 三角函数的奇偶性，单调性，周期性（熟练掌握）8、 三角函数与其它学科 (解斜三角形， 方程，向量，数列，解几，导数)综合性题目 (高考热点

3、题型 )二、三角函数基本公式角的单位 关系 弧长公式 扇形面积公式制角度制 10180弧度n rl 2n r180 S扇3600.01745弧度弧度制1 弧度0180l a r1S a r扇220 57 1812lr角 位置 角的集合的在 x 轴正半轴上 a a 2k , k Z第 2 页终在 x 轴负半轴上 a a 2k , k Z在 x 轴上 a a k ,k Z 边在 y 轴上a a k , k Z2在第一象限内a 2k a 2k , k Z2在第二象限内 2 2 ,a k a k k Z2在第三象限内 3a 2k a 2k ,k Z2在第四象限内 3a 2k a 2k 2 , k Z2

4、特 0函 数 /6 4 3 2322殊 角角的 1sina 01222321 0 01三cosa 1 3 0 0 12222角 1函 tana 0 3 1 3 不 0 不 03 数存 存值在 在第 3 页cota 不存在 3 1 3 0 不 0 不 存3存 在在同角三角函数的基本关系式同角关系倒数关系； 商的关系 平方关系tana cota=1 sina/cosa = tana sin2acos2a=1sina csca=1 cosa/sina = cota 1+tan2a=sec2acosaseca=1 1+cot2a=csc2a诱导公式Sin(-a)=-sina cos(-a)=cosa

5、tan(-a)=-tanacot(-a)=-cotasin (/2 ) = cos sin ( ) sin (3/2 sin (2 = sin )= cos ) = sincos (/2 ) = sin cos ( ) cos(3/2 cos (2 = - cos )= sin ) = costan (/2 ) = cot tan ( )= - tancot (/2 ) = tan cot ( )第 4 页= - cotsin (/2 + ) = sin( + ) = tan(3 /2 tan(2 - )cos sin ) = cot = tancos (/2 + ) = - cos( +)

6、= - cot(3 /2 cot(2- )sin cos ) = tan = cottan (/2 + ) = - tan( +) = tancotcot (/2 + ) = - cot ( + ) =tan cotsin (3/2 + sin(2k +) = cos ) = sin cos(2k +cos(3 /2 + ) = cos) = sin tan(2k+)tan(3 /2 + = tan)= cot cot(2k+)cot(3 /2 + = cot)= tan (其中 KZ)两角和与差的三角函数公式 万能公式第 5 页sin( )=sin cos cos sin sin sin c

7、os cos sinsin2 tan( / 2)21 tan ( / 2)文科：了解 cos cos cos sin sincos cos cos sin sintantan tan1 tan tancos21 tan / 221 tan / 2tantan tan1 tan tantan2tan / 221 tan / 2半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式sin1 cos2 22 1 cos 2 2sincos1 cos2 22 1 cos 2 2costan1 cos 1 cos sin2 1 cos sin 1 cos二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、 余弦和正切公

8、式sin 2 2sin cossin33sin 4sin3第 6 页cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin 2 cos334cos 3costan 22 tan21 2 tantan 333tan tan21 3tan文科：了解三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式sin sin 2sin cos2 2sin1cos sin sin 2sin sin 2cos sin2 21cos sin sin sin2cos cos cos cos2 21cos cos cos cos 2cos cos 2sin sin2 21sin sin cos cos2文、理科：了解化

9、a sin b cos 为一个三角函数的形式 (构造辅助角公式 )2 2a sin x b cos x a b sin x（其中 角所在象限由 a、b 的符号确定， 角的值由 tan ba确定）（熟练掌握）三、近年高考试题对比研究：AI、06 年陕西：选择题： 、 、 成等差数列。是等式 sin( ) sin 2成立的_ 条件(充分而非必要 )(5 分)06 年考查的知识点：等差数列与简单的三角方程的结合问题第 7 页大题：f x x x x R (12 分)( ) 3sin(2 ) 2sin ( )26 12I、求 f ( x) 的最小正周期。 (6 分)II、求使函数 f (x) 取得最大

10、值的 x集合(6 分)解：(I) f ( x) 3 sin 2x 1 cos 2 x6 123 12 sin 2 x cos 2 x 12 12 2 122sin 2 x 1 12 62sin 2x 1. 3T22.(II) 当 f (x) 取最大值时， sin(2x ) 1, 有32x 2kx , 3 2即 5 ( ),x k k z12所求的集合为 5x R| x k ,k z 12考查的知识点： 求三角复合函数的最小正周期及最值， （共占 17 分）II、07 年陕西省：选择题：sin55，数列sin cos _( 3)4 45(5分)考查知识点：已知某三角函数式，求三角函数式的值v v

11、 r v大题：设函数 f (x) a b,a (m,cos2 x)b (1 sin 2x、1) x R 且y f (x) 图象记过点( ,24)I、求 m 值,II 求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 的集合。（12 分）第 8 页r r解(I) f (x) a b m(1 sin 2 x) cos2 x由已知 ( ) (1 sin ) cos 2. 1f m 得m4 2 2II 由(I)得 ( ) 1 sin 2 cos2 1 2 sin(2 )f x x x x4当sin(2x ) 1时， f (x) min 1 24由sin(2x ) 1,得 x 值的集合为：43x | x k ,

12、k Z8考查知识点：向量数量积的坐标运算及三角函数求最值。 （共占 17分）B、III 、07 全国 I 卷：选择题：理： 是第四象限角，tan512求5sin _(-13)(5 分)文： 是第四象限角 cos 1213则sin _ 513(5 分)考查知识点：知一个三角函数值，求另一个三角函数值。大题 17：设锐角三角形 ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，a = 2bsinA (10分)I、 求 B 的大小； II、理 ：求 cosA + sinC的范围 文：若 a = 3 3，c = 5，求 b解：（I）由 a = 2bsinA，由正弦定理得： sinA = 2sinB

13、sinAsinB =12又0 B 2 A - B2 2又 B =6A3 22 5A3 3 612 sin(A + ) 33232 A +3 0，C 0 得，0 B 323由正弦定理，知： AC =BCsin A sinB = 2 3sin3 sinx = 4sinxAB =BCsin A sinC = 4sin(23 x) + 2 32y x x (0 x 4sin 4sin( ) 2 3323)II y = 4（sinx +32cosx +12sinx) + 2 3= 4 3 sin(x + ) + 2 3 ( x + 0， 0，| 0， 0，| | ， 2若该函数图像一个最高点坐标为 (

14、，3)，与其相邻的对称中心坐6标是 ( - ，0) （07 年合肥质检）12第 12 页 求函数 y = Asin(x + )的解析式； 3 s i n ( 2 )y x6 理：求函数图像在 x = -处的切线方程43 3 33x y 02 4文：求函数最小值， 并写出自变量取得最小值时x 的集合。ymin 3x| x k ,k Z 33、(理) 已知角 A、B、C为 ABC 的三个内角，其对边分别为a、uvb、c，若 m= ( - cosA ，sin2A )，vn2= ( cosA ，sin2A )，a = 2 3 ，且2uv vm n=12（07 年师大附中二联） 若ABC 面积为3，求

15、b + c 的值； 4 求 b + c 的取值范围。 ( 2 3 , 4 4、(文) 已知向量 m uv = (cosuv = (cosx ，cos2x )， nv = (cos2x ，sin2x )，且 x2uv v0， 令 f(x) = 2a m n+ b 当 a = 1时，求 f(x) 的递增区间； 0,4 当 a 0时，f(x)值域是 3，4求 a、b a 1 2,b 4v5、若 av= (sin， 1 cos ) ，b32= ( 1 ， 1 cos ) (，)，则av 与bv 的关系？ ( av bv )6、(理)设函数 f(x) = 2cosx ( cosx + 3sinx ) 1

16、，x R ，又点P1 (x1，y1)，P2 ( x2，y2) Pn (xn，yn ) ( nN*) ，在函数 y = f(x)图像上，且满足条件： x1 = ，xn + 1 xn = ，求 Nn = y1 + y2 + 6 2第 13 页+ yn值)（07 年杭州质检二）n为奇数时， Nn = 2 n为偶数时， Nn = 0。7、已知 a、b、c 分别是 ABC 的对边，且 a2 + c2 b2 = ac（07 年广州检测2） 求角 B 的大小；3 若 c = 3 a，求 tanA 的值。358、(理) 已知 A(3，0)，B(0，3)， C ( cos，sin)(2，32)（07 年西安八校联考）uuvu 若 | ACu uuv| = | BC|，求角 的弧度数。54uuvu u uuv若 AC BC= - 1，求22sin sin 21 tan的值。599、(文) 已知 sin( - ) =47 210，cos2 =725，求 sin及 tan (+ )。3sin=35tan (+3) =48 25 311v vuuuu10、(理) 已知