9A文离心率的五种求法

1、MeiWei 81 重点借鉴文档】 离心率的五种求法 离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现 椭圆的离心率 0 e 1 ，双曲线的离心率 e 1，抛物线的离心率 e 1 直接求出 a,c ，求解 e 已知标准方程或 a,c 易求时，可利用离心率公式 e c来求解。 e a 例 1. 过双曲线 C： x2 2 y2 1（b 0）的左顶点 A作斜率为 1的直线 l，若 l与双曲线 M的两 b2 条渐近线分别相交于点 B、 C，且 |AB|=|BC| ，则双曲线 M的离心率是（） A. 10 B. 5 C. 10 3 D. 分析：这里的 a 1,c b2 1 ，故关键是求出 b2

2、，即可利用定义求解。 解：易知 A（-1，0），则直线 l 的方程为 的交点分别为 B（ 1 b b 1 b 1)、C(b1 1 yx b b 1) 1 。直线与两条渐近线 y bx 和 y bx 又 |AB|=|BC| ，可解得 b2 9 ，则 c 10 故有 e 10 ，从而选 A。 2 1 b2 （双曲线 ） ， 二、变用公式 e c a 2 c e a 1-b2 （椭圆） ，整体求出 e 例 2. 已知双曲线 2 x 2 a 1（a 0,b 0）的一条渐近线方程为 y 4 x ，则双曲线的 3 离心率为（） A.5 3 B. 4 3 C.5 4 D. 3 2 分析： 本题已知 b 4

3、，不能直接求出 3 a、c，可用整体代入套用公式。 解：因为双曲线的一条渐近线方程为 43 x，所以 b 4，则 e ac1 (34)2 5， 3 从而选 A。 1. 设双曲线 22 xy 2 2 1 ab a0,b 0） 的渐近线与抛物线 y 2 x2 1相切，则该双曲线的 离心率等于 （C） MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei 81 重点借鉴文档】 A. 3B.2C. 5 D. 6 22 解：由题双曲线 x2 y2 1 a0，b0 的一条渐近线方程为 y bx， 代入抛物线方 程整理得 ax2 bx a 0 ，因渐近线与抛物线相切，所以 b2 4a2 0 ，即 b2 4 a2

4、 4 1 4 5 . e 2 1 ab22 2. 过双曲线 x2 a2 2 y2 1(a 0,b 0)的右顶点 A 作斜率为 1的直线，该直线与双曲线的 b2 两条渐近线的交点分别为 B,C 若 uAuBr 1 uBuCur ，则双曲线的离心率是 () 2 A 2 B 3 C 5 D 10 答案： C 解析】对于 A a,0 ，则直线方程为 x y a 0 ，直线与两渐近线的交点为 B， C， a2 ab ,C(aa b, aabb) ， a b a b BC ( 22 2a2b , 2a2b ), b2 , a2 b2 ), ab ab ab ab uur uuur 2 因此 2AB BC,

5、 4a2 b2，即 b2 4 ， a2 e 1 b2 1 4 5 22 3. 过椭圆 x2 y2 ab 1( a b 0 ) 的左焦点 F1作 x轴的垂线交椭圆于点 P， F2为右焦点， 若 F1PF2 60 ， 则椭圆的离心率为 () A 2 2 B 3 C 3 11 D 23 解析】 b2 因为 P( c, b )，再由 F1PF2 60 有 a 1 2 3 ，故选 B 33 e 1 ab22 3b2 2a,即 b2 从而可得 2 a2 3 、构造 a、 c的齐次式，解出 e MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei 81 重点借鉴文档】 根据题设条件，借助 a 、 b 、 c之间

6、的关系，构造 a、 c的关系(特别是齐二次式)，进而 得到关于 e 的一元方程，从而解得离心率 e 。 22 xy 例 3. 已知椭圆 2 2 1( a b 0) 的左焦点为 F ，右顶点为 A ，点 B 在椭圆上，且 ab uur uur BF x 轴，直线 AB 交 y轴于点 P 若 AP 2PB，则椭圆的离心率是() A 3 B 2 C 22 11 D 32 解析】对于椭圆，因为 uur uur 1 AP 2PB，则 OA 2OF, a 2c, e 2 2 y2 1( a 0,b 0 )的两个焦点 ,若F1，F2 ， P(0,2 b)是正 b2 三角形的三个顶点 , 则双曲线的离心率为

7、() 1.设 F1和F2为双曲线 2 x 2 a A 3 B 2C5 D3 22 c 解析】由 tan c 6 2b 3 3有 3c2 4b2 4(c2 a2),则e c 2,故选 B. a F1、F2 ， F1MF2 120 0 ，则双曲线的 A 3B 26C 36D 33 解：如图所示，不妨设 M 0,b ，F1 c,0 ， F2 c,0 ，则 MF1 MF 2 c2 b2 ，又 F1F2 2c， 在 F1MF2 中，由余弦定理，得 cos F1MF2 MF1 2 MF2 2 F1F2 2 2MF1 MF2 2 即1 2 c2 b2 c2 b2 2c2 b2 4c2 ， b2 c ， b

8、2 c2 1， 2， b2 2 a 22 2c a 1 ， 3a 2 2c2 2 2 e 3， 2， 6 e 2 故选 B B 为焦点且过点 C 的双曲线的离 3.设 ABC 是等腰三角形， ABC 120 ，则以 A， 心率为( B) MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei 81 重点借鉴文档】 A 12 B 13 C 1 2 D 1 3 4. 设双曲线的一个焦点为 F ，虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近 线垂直，那么此双曲线的离心率为 () A. 2 B. 3C. 3 1D. 5 1 22 解析：选 D. 不妨设双曲线的焦点在 x轴上，设其方程为： 2

9、2 x2 y2 1(a 0,b 0) ， ab 则一个焦点为 F (c,0), B(0, b) 2 1 ， b ac 一条渐近线斜率为： b ，直线 FB 的斜率为： a c2 a2 ac 0 ，解得 e c a 51 2 5.设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( D) 解： B. 22 1 C.2 2 D. 2 1 PF2 b 2c a2 c2 2ac 由 2 a 化为齐次式 e2 2e 1 0 e 2 1 22 A 6 B 3 C 2 D 3 3 7.设 F1，F2分别是双曲线 22 x22 y2

10、2 的左、 a2 b2 右焦点， 若双曲线上存在点 且 AF1 3 AF2 ，则双曲线的离心率为( B) 6.双曲线 x2 y2 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别是 F1，F2 ，过 F1 作倾斜角为 30 的 a2 b2 直线交双曲线右支于 M 点，若 MF2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为( B) A ， F1 AF2 90 C15 A 2 MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei 81 重点借鉴文档】 AF1- AF2 = 2AF2 = 2a ?(AF1) 2 c ， + (AF2 )a2 b2 4 = (2c)2? a 2c ? e 10 10 2 22 8如图， F1

11、和F2分别是双曲线 x2 y2 1（a 0,b 0 ）的两个焦点， A和B 是 a2 b2 以O为圆心，以 OF1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2 AB是等边三 角形，则双曲线的离心率为（） A 3 B 5 C 3e4 16e2 16 0 ， D 3 1 2 6.解析：连接 AF1，AF2F1=30，|AF1|=c ， |AF2 |= 3c，2a ( 3 1)c， 双曲线的离心率为 1 3 ，选 D。 x2 y2 9.设 F1、 F2 分别是椭圆 2 2 1（ a b 0 ）的左、右焦点， P 是其右准线上纵 ab ，则椭圆的离心率是（） F1F2 F2P A 3 1 B1 22

12、C51 2 D2 2 22 10. 设双曲线 x2 y2 a2 b2 1(0 a b ) 的半焦距为 c，直线L过 a,0， 0,b两点.已 坐标为 3c （ c 为半焦距）的点，且 得e2 4或e2 43，又 0 a b，e2 2 c 2 a a2 b2 1 b222， e24 a2 3 知原点到直线的距离为 3c ，则双曲线的离心率为 （） 4 A.2B. 3C. 2D. 2 3 3 解： 由已知，直线 L 的方程为 bx ay ab 0 ，由点到直线的距离公式，得 ab 3 e 2 ，故选 A 22 11.知 F1、 F2 是双曲线 x2 y2 1（ a 0,b 0 ）的两焦点，以线段

13、F1F2为边作正三角 1 2 a2 b2 1 2 形 MF1F2 ，若边 MF1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei 81 重点借鉴文档】 A. 4 2 3 B. 3 1 C. 32 1 D. 3 1 解： 如图，设 MF1的中点为 P ， Q OF1P 600 ,PF1 c, xP c c2,yP 把 P 点坐标代人 双曲线方程，有 4a 3c2 =1 ， 2 =1 4b 3c,即P( c, 3c 2 2 2 化简得 e4 8e2 4 0 解得 e 1 3或e 1- （3 舍），故选 D 四、第二定义法 由圆锥曲线的统一定义（或称第二定

14、义）知离心率e 是动点 到焦点的距离 与相应 准线的距离 比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。 22 例4：设椭圆 x2 y2 1（ a 0,b 0 ）的右焦点为 F1 ，右准线为 l1，若过 F1且垂直 a2 b2 1 1 1 于 x轴的弦的长等于点 F1 到l1 的距离，则椭圆的离心率是 AD 为 F1 到准线 l1 的距离，根据椭圆的第二定义， 解：如图所示， AB 是过 F1 且垂直于 x轴的弦， AD l1 于 D ， AF1 1 AB 2 AD AD 2 1 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2 ，焦点到相应准线的距离为 1 ，则该 椭圆的离心率为（） A 2B 2

15、C1D 2 解： e AD 1 2 2 4 AF22 2 2 2在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为 12 ， 则该双曲线的离心率为（） A 2 B2C 2D2 2 2 五、构建关于 e的不等式，求 e 的取值范围 MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei 81 重点借鉴文档】 22 1已知双曲线 x2 y2 1（ a 0,b 0 ）的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为 600 ab 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（） A 1,2 B 1,2 C 2, D 2, 2椭圆 M、 22 x2 y2 1（ a b 0 ）的

16、焦点为 F1、 F2 ，两条准线与 x轴的交点分别为 ab N ，若 MN 2F1F2 ，则该椭圆离心率的取值范围是（ A 0,1 2 2 22,1 B C 12,1 D 22 1.双曲线 x2 y2 1（a 0,b 0）的右焦点为 F，若过点 F且倾斜角为 60o 的直线与双 a2 b2 曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 b， a 2 2 2 b 3 ，离心率 e2= c2 a b aa 2 4 ，e 2，选 C a2 22 2. 椭圆 x2 y2 1(a b 0) a2 b2 的焦点为 F1 ， F2 ，两条准线与 x 轴的交点分别为 2 aa M，N，若|MN| 2 ，|F1F2| 2c，MN F1F2 ，则2c ，该椭圆离心率 c e 2，选 D 2 3.已知F1、 F2是椭圆的两个焦点，满足 MF1 MF2 0的点M 总在椭圆内部，则椭圆 离心率的取值范围是（ C