《椭圆的定义及其标准方程》教学设计

1、课题： 2. 1. 1椭圆的定义及其标准方程 鹿城中学 田光海 一、教案背最： 1 面向对象：高中二年级学生 2.学科：数学 3课时：2课时 4教学内容：高中新课程标准教科书数学北师大版选修1-1 第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程 二. 教材分析 本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方 程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有 了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可 以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课 有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。 1. 教法分析 结合生活经验观察发现、启发引导、探究

2、合作。在学生的生活体 验、直观感知、知识储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生 数学思想方法的形成打下基础。利用多媒体课件，精心构建学生自主 探究的教学平台，启发引导学生观察，想象，思考，实践，从而发现规律、 突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程，获得知识, 体验成功。主要采用探究实践、启发与讲练相结合。 2. 学法分析 从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线 和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认 识。 从学生现有的学习能力看，通过一年多的学习，学生已具备了一 定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具 备了抽象、概

3、括的能力和语言转换能力。 从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例， 但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述P如何“定 性” “定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。 他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察来辨析和 完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生 学好本节课的情感基础。 3 .教学目标 知识与技能：掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程， 掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方 程。 过程与方法：经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，逐步提 高学生的观察、分析、归纳、类比、概括能力；通

4、过椭圆标准方程的 推导，进一步掌握求曲线方程的一般方一坐标法，并渗透数形结 合、等价转化的数学思想方法。 情感态度与价值观：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的 兴趣，提高学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神。 4 教学重点与难点 重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式 难点：椭圆的标准方程的建立和推导教学方法 5 教学准备 通过百度搜索与椭圆有关的图片资料，利用百度搜索相关的教学 资料制作多媒体课件，自制教具：绘图板、图钉、细绳。 三、教学过程 教 学 环 节 教师活动 学生活动 设计意图 情最1:用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在 引入生活 水平桌面上，截面为圆形.当端起水杯喝水时， 学生

5、观察 情境激发 水杯倾斜，再观察水平面，此时截面为椭圆 学生的学 形.（演示） 习欲望，自 问题1:联想生活中还有哪些是椭圆图形？ 然引入新 n 12 - 学生举例 课，同时与 其实际相 1 91 联系，拓宽 创 学生思维， 设 发展他们 情 联想、类比 引 入 新 课 问题2: (1)圆是怎么画出来的？ (2) 圆的定义是什么？ (3) 圆的标准方程是什么形式的？ 能力。 使学生在 感叹祖国 科技辉煌 发展的氛 围中认识 椭圆。 用类比的 思想，通过 学生思考已经学过 后回答。的圆的知 识猜想椭 圆，开展后 续教学。 猜想：1、椭圆是怎么画出来的？ 2、椭圆的定 义是什么？ 3、椭圆的标准方

6、程又是什么形 式？ 探究1 给学生提 将圆心从一点“分裂”成两点，给你两个图钉， 供一个动 一根无弹性的细绳，一张纸板，能画出椭圆 手操作，合 吗？ 作学习的 同桌同学 让学生自己动手画图，使其探究性学习， 机会;通过 互 按照老师 再提出以下问题： 实验让学 动 的要求合 思考1:在纸板上作图说明什么？ 生去探究 探 作画图，并 思考2：在作图过程中，有哪些物体的位 “满足什 究 思考轨迹 置没变？有哪些量没有变？ 么样的条 上的点具 思考3:若调节两图钉的相对位置， 所得 件下的点 备什么特 到的图形有何变化？ 的集合为 点。 根据椭圆画法，从中归纳椭圆定义一一与两个 椭圆”;让 形 展示

7、学生 定点的距离之和为定长（绳长）的点的轨迹为 每个人都 成 成果。请学 椭圆（绳长大于两定点间距离） 动手画图， 概 生代表本 动态演示动点生成轨迹的全过程，印证猜想 自己思考 念 小组交流 问题，由此 探究结论: 培养学生 f 的自信 心。 互 动 探 究 深 化 概 念 探究2 在绳长不变的情况下，改变两个图钉之间 的距离，画出的椭圆有何变化？ 当两个图钉重合在一起时，画出的图形是 什么？ 当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出 的图形是什么？ 当两个图钉之间固定，能使绳长小于两个 图钉之间的距离吗？ 定义：平面内与两个定点码距离的和等于常 数（大于区即）的点的轨迹叫椭圆。 教师指出：这两

8、个定点叫椭圆的焦点，两焦点 的距离叫椭圆的焦距。 思考1：焦点为弘玛的椭圆上任一点M,有什 么性质？ 令椭圆上任一点M,则有 陋引+ |胚引=2a （2a 2c =虧巧D 补充：若加c时，轨迹是线段码码；若玄 /? 0 ) ( )叫做椭圆的标 W b 准方程。它表示焦点在x轴上，焦点坐标为 耳(一c,0),耳(c,0),其中 c2 =a2-b2 学生思考 后主动发 言回答。 厶 +占=1 (/?0 ),它也是椭圆的标准 a- b 方程。 此时，椭圆的焦点在)轴上， 焦点坐标为斥(0,c)耳(0,-c),其中c2=a2-b2 我们可以发现，以上两种方案是最好的。 问：观察一下焦点分别在X轴、y轴

9、上的椭圆 的标准方程，如何根据方程判断其焦点在X轴 上还是在y轴上？(看分母大小,哪个分母大焦 点就在哪一条轴上) 说明： 以上三条, 尽量由学 生总结出 解曲线与 方程的关 系，感受恰 当选择坐 标系的优 越性，感受 标准方程 的简洁、对 称、和谐之 美,并在实 践中通过 对比提高 决策能力、 计算能力、 培养学生 简约的思 维能力。 培养学生 的观察、分 (1)在两个方程中，总有ab0 (2)椭圆的三个参数a、b、c满足： 即 a2=b2+c29 a 最大 (3)要分清焦点的位置，只要看F和y2的分母的 2 ? 大小。例如椭圆+ = 1 ( m 0 , /? 0 , m n 当用“时表7K

10、焦点在X轴上的椭圆；当时 表示焦点在y轴上的椭圆。 析归纳能 力。 例1 适負理看代职懶标准方程 lr / (1) a =4, b=l,焦点在x轴 培养学生 例 (2) a =4, c= 用,焦点在y轴上 运用知识 题 解决问题 研 (3)两个焦点的坐标是(0 , -2)和(0,2) 能力 讨 并且经过点(-1.5 , 2.5) 解：因为焦点在x轴上，所以设所求方程为 学生独立 T 存4名验如0) cr 肝 完成学生 所求方程为 讨论 变 (2)因为焦点在y稱圭刪设所求方程为 式 2 2 精 牙 戸+萨电(妒00) 解决情景 析 所求方程为 y2 设置中的 因为椭圆的焦点詁祇，矫以设它的标准

11、问题 方程为 由椭圆的定义知， 2“=J(-討+(|+呵+J(-|)2*i|l 劭 31 = -Vio+-Vio =2Vio 22 a = y/0c = 2_f/2 _c2 所以所求椭圆方程为 r2 v2 + = 1. 例2我国发射的神舟八尊飞胡叟轨前，是在以 地心F2为一个焦点的椭圆轨道上运行，已知它 的近地点E距地面200公里，远地点A距地 面330公里，并且F2、A、B在同一直线上， 地球半径约为6371km,求轨道方程(精确到 1km) o 练 习 检 测 当 堂 1、如果椭圆君+ J = 1上一点P到焦点F】 10036 距离是6,则点P到另一个焦点F2距离 是。 2、求适合下列条件

12、的椭圆的标准方程 (1)两个焦点坐标分别是(0, 2) , (0, -2), 椭圆经过点P(-|冷) (2)a+b=10,c=2 薦 学生练习 检测学习 成果 巩 固 最后进行课堂小结，先由学生小组讨论，再个 学生总结 摆脱传统 教学中教 师小结的 别提问，然后集体补充，最后教师才引导和完 出在知识、 做法，以表 善。师生应共冋归纳本节所学内容、知识规律 数学思想 格形式出 总 以及所学的数学思想和方法。 等方面的 现,让学生 结 收获 自己总结， 概 这一节课你收获到了什么？ 加深对本 括 布矍作业 节课内容 层次1 的认识 1教材练习A 3.4题 练习E第二题 层次1的 2.你能用直尺和圆

13、规作出椭圆上的任意一点 目的是强 课 吗？作图的依据是什么？根据你的作图方法， 化巩固本 后 能找到与之相应的方法求出椭圆方法吗？ 节内容 提 升 层次2 层次2的 目的是激 课后利用【百度搜索】深入的对椭圆的相关知 发学生学 识进行了解。 习的兴趣， 提高数学 文化品位。 六、板书设计 椭圆的标准方程 1、椭圆的定义 2、椭圆的标准方程 (1)、焦点在x轴上 (2 )、焦点在y轴上 椭圆标准方程的推导过程 书写 例1： 例2： (1) 详写 (2) 写关键步骤 七、教学反思 本节课整个教学过程为：提出问题探索解决问题一一归 纳反思提高。在问题的设计中，从多角度探究，纵向挖掘知识深 度，横向加强知识间的联系，这样的设计不但突出了重点，更使难点 的突破水到渠成。 本节课以问题为纽带，以探究活动为载体，学生在自觉进入问题 情境后，在问题的指引下和老师的指导下，通过实践、探索、体验、 反思等活动把探究活动层层展开、步步深入，亲身经历知识的产生过 程。使学生在知识的形成过程中，获得数学的情