直线和平面所成角

1、X 直直 线线 和和 平平 面面 所所 成成 的的 角角 一条直线和一个平面一条直线和一个平面 相交相交，但，但不和这个平面垂不和这个平面垂 直直，这条直线叫做这个平，这条直线叫做这个平 面的面的，斜线和平面的，斜线和平面的 交点叫做交点叫做。 斜线上一点与斜足间斜线上一点与斜足间 的线段叫做这点到这个平的线段叫做这点到这个平 面的面的。 A CB 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂 足和斜足的直线叫做足和斜足的直线叫做； 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的 。 A CB DE 垂线段比任何一条斜线段都短垂线段比任

2、何一条斜线段都短 从平面外一点从平面外一点向这个向这个 平面所引的垂线段和斜线平面所引的垂线段和斜线 段段AB、AC、AD、AE 中，那一条最短？中，那一条最短？ 探究探究1 A C B O OB=OC AB=AC OBOC AB AC AB=AC OB=OC AB AC OBOC 射影相等的两条斜线段相等，射影射影相等的两条斜线段相等，射影 较长的斜线段也较长较长的斜线段也较长 相等的斜线段的射影相等，较长的相等的斜线段的射影相等，较长的 斜线段的射影也较长斜线段的射影也较长 1.点点P是是ABC所在平所在平 面外一点，且面外一点，且P点到点到 ABC三个顶点距离三个顶点距离 相等，则相等，

3、则P点在点在ABC 所在平面上的射影是所在平面上的射影是 ABC的的 心。心。 P C B A O 练习练习 外外 思考：若三角形思考：若三角形ABC是直角三角形？是直角三角形？ 练习练习2.判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确 （1）两条平行直线在同一平面内的射影）两条平行直线在同一平面内的射影 一定是平行直线一定是平行直线 （ ） （2）两条相交直线在同一平面内的射影）两条相交直线在同一平面内的射影 一定是相交直线一定是相交直线 （ ） （3）两条异面直线在同一平面内的射影）两条异面直线在同一平面内的射影 要么是平行直线，要么是相交直线要么是平行直线，要么是相交直线 （ ） （4）若斜

4、线段长相等，则它们在平面内）若斜线段长相等，则它们在平面内 的射影长也相等的射影长也相等 （ ） 平面的一条斜线和平面的一条斜线和 它在平面上的射影所成它在平面上的射影所成 的锐角，叫做的锐角，叫做 。 一条直线垂直与平面，它们一条直线垂直与平面，它们； 一条直线和平面平行，或在平面内，它们一条直线和平面平行，或在平面内，它们 。 直线和平面所成角的范围是直线和平面所成角的范围是。 A l B O D l是平面是平面 的斜线，的斜线，A是是l 上任意一点，上任意一点，AB是平面是平面 的垂线，的垂线，B是垂足，是垂足， OB是斜线是斜线l的射影，的射影， 是是 斜线斜线l与平面与平面 所成的角

5、所成的角. 与与的大小关系如何？的大小关系如何？ C 探究探究3 A l B O D 与与的大小关系如何？的大小关系如何？ 在在RtAOB中，中， AO AB sin 在在Rt AOC中，中， AO AC AOD sin ABAC，sinsinAOD AOD 斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 斜线和平面所成斜线和平面所成 的角，是这条斜线和的角，是这条斜线和 平面内任意的直线所平面内任意的直线所 成的一切角中最小的成的一切角中最小的 角。角。 C 最小角原理最小角原理 例例

6、1 1 在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中. . （1 1）求直线）求直线A A1 1B B和平面和平面ABCDABCD所成的角；所成的角； （2 2）求直线）求直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角. . D1 1 A B A1 1 C B1 1 C1 1 D O 例题例题 例例2.如图，如图，AO是平面是平面 的斜线，的斜线，AB 平面平面于于B， OD是是内不与内不与OB重合的直重合的直 线，线，AOB= ，BOD= ，AOD= ，求证：，求证：cos =cos cos A B O D C 练

7、练 习习 1.AO与平面与平面 斜交，斜交，O为斜足，为斜足，AO与与平面平面 成成 角，角，B是是A在在 上的射影上的射影,OD是是 内的内的 直线，直线，BOD=30 ，AOD=60 ，则，则 sin = 。 3 6 练习练习 3.两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？ 2.已知斜线段的长是它已知斜线段的长是它 在平面在平面上射影的上射影的2倍，倍， 求斜线和平面求斜线和平面所成的所成的 角。角。 A BO 如图，斜线段如图，斜线段AB是其射影是其射影OB 的两倍，求的两倍，求AB与平面与平面所成的角。所成的角。 如果两条直线与一个平面所成的角相如果两

8、条直线与一个平面所成的角相 等，它们平行吗？等，它们平行吗？ 例例2.线段线段MN长长6厘米，厘米，M到平面到平面的距离是的距离是1厘厘 米，米，N到平面到平面的距离是的距离是4厘米，求厘米，求MN与平面与平面所成所成 角的余弦值。角的余弦值。 M N M N M N M N O O MOM就是就是MN与与所成的角所成的角 移出图移出图 移出图移出图 M N N M O 6 1 4 M M O N N 6 1 4 A B a a aa b b b b A G F E D C B H HC与与FG在平面在平面 ABCD上的射影上的射影 分别是什么？分别是什么？ FG与与EA在平面在平面 ABCD上的射影上的射影 分别是什么？分别是什么？ BC与与A点点 DC与与BC HC与与EF在平面在平面 ABCD上的射影上的射影 分别是什么？分别是什么？ DC与与AB A B