高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(师)

1、数学必会基础题型平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。记作：uuur rAB 或 a 。uuurr2. 向量的模 ：向量的大小（或长度） ，记作： | AB |或 | a |。rr3. 单位向量 ：长度为 1 的向量。若 e是单位向量，则 | e | 1。r r4. 零向量：长度为 0 的向量。记作： 0 。【 0 方向是任意的，且与任意向量平行】5. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。6. 相等向量 ：长度和方向都相同的向量。uuuruuur7. 相反向量 ：长度相等，方向相反的向量。ABBA 。8. 三角形法则：uuuruuur

2、uuur uuuruuuruuuruuuruuur uuuruuuruuurABBCAC ； ABBCCDDEAE ； ABACCB （指向被减数）9. 平行四边形法则 ：r rrrrr以 a,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为ab ， ab 。rrr rr rr r10. 共线定理 ： aba / / b 。当0 时，a与b 同向；当0 时， a与b 反向。11. 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。12.rrx2y2r 2rrrrr向量的模： 若 a( x, y) ，则 | a |， a| a |2， | ab |(ab )2rrrrr r13.cosra br数量积与夹角公式：

3、 a b| a | |b | cos；| a | | b |14.rrrrrrr r平行与垂直： a / /babx1 y2x2 y1 ； aba b0x1x2y1 y2 0题型 1. 基本概念判断正误 ：（ 1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（ 2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（ 3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。uuuruuur（ 4）四边形 ABCD是平行四边形的条件是ABCD 。uuuruuur（ 5）若 AB CD ，则 A、B、C、D 四点构成平行四边形。（ 6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。rrrrrr（ 7）若 a 与 b 共线，b 与 c 共

4、线，则 a 与 c 共线。rrrr（ 8）若 mamb ，则 ab 。1rrn 。（ 9）若 mana ，则 mrrrr（ 10）若 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都不是零向量。r rrrrr（ 11）若 a b| a | | b | ，则 a / /b 。rrr rrr（ 12）若 | ab | | a b | ，则 ab 。题型 2. 向量的加减运算rrr r1. 设 a 表示“向东走 8km” , b 表示“向北走 6km”, 则 | a b |uuuruuuruuuruuuruuuur2. 化简 ( ABMB )( BOBC )OM。uuuruuuruuur3. 已知 | OA

5、| 5 , | OB | 3 , 则 | AB | 的最大值和最小值分别为4.uuur uuuruuuruuurr uuurruuur已知 AC为 AB与 AD 的和向量，且ACa, BDb ，则 AB5.uuur3 uuuruuuruuuruuur已知点 C 在线段 AB上，且 ACAB , 则 ACBC ， AB题型 3.5向量的数乘运算rr1.rrrrr计算：（1） 3(ab)2(ab)（2） 2(2a5b3c)2.已知rr3,8)r1 r。a (1, 4), b (，则 3ab题型 4.2作图法球向量的和r rr1 rr3 r已知向量 a,b ，如下图，请做出向量3ab 和2ab 。2

6、2rarb。、。uuur。， ADuuurBC 。rrr3( 2a3b2c)题型 5. 根据图形由已知向量求未知向量uuur uuuruuur1. 已知在 ABC 中， D 是 BC 的中点，请用向量 AB，AC 表示 AD 。uuurr uuurruuur uuur2. 在平行四边形 ABCD 中，已知 ACa, BDb ，求 AB和 AD 。题型 6. 向量的坐标运算1.uuur(4,5)，A(2,3)，则点 B 的坐标是。已知 AB2.uuur( 3,5)， P(3,7)，则点 Q 的坐标是已知 PQ。rrr4) , 则合力的坐标为3.若物体受三个力 F1 (1,2),F2( 2,3)

7、, F3 ( 1,。2rrrrrrrr。4. 已知 a( 3,4) ， b(5, 2) ，求 ab ， ab ， 3a2b5.r(x 2, x3y 2)uuur已知 A(1,2), B(3,2) , 向量 a与 AB 相等，求 x, y 的值。6.uuuruuuruuur( 1,4)uuur。已知 AB(2,3) ， BC (m, n) ， CD，则 DA7.已知 O 是坐标原点， A(2,1), B( 4,8)uuuruuurruuur，且 AB3BC0 ，求 OC 的坐标。题型 7. 判断两个向量能否作为一组基底ur uur1. 已知 e1, e2 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否

8、能构成一组基底：uruururuururuuruurururuuruururuur uururA. e1e2 和e1e2B.3e12e2和 4e26e1C.e13e2和 e23e1D. e2和e2e12.r(3,4)r）已知 a，能与 a 构成基底的是（A. (3 , 4)B.(4 , 3)C.( 3 ,4) D. ( 1, 4)5555553题型 8. 结合三角函数求向量坐标uuuruuur1.2 ，xOA已知 O 是坐标原点，点 A 在第二象限， | OA |150o ，求 OA 的坐标。2.uuur43， xOA60ouuur已知 O 是原点，点 A 在第一象限， | OA |，求 OA

9、 的坐标。题型 9.求数量积rr r1. 已知rrr的夹角为 60or rr| a |3,| b |4 ，且 a 与 b，求（ 1） a b ，（ 2） a (ab ) ，r1r rrrrr（ 3） (a2b ) b ，（4） (2 a b ) (a 3b ) 。r(2,rrrr rrrr2. 已知 a6), b( 8,10) ，求（ 1） | a |,| b | ，（ 2） a b ，（3） a (2 ab ) ，rrrr（ 4） (2 a b ) (a 3b) 。题型 10. 求向量的夹角1.rrrrrr已知 | a |8,| b | 3， ab12 ，求 a 与 b 的夹角。2.rr(

10、2rr已知 a( 3,1), b3, 2) ，求 a与 b 的夹角。33.已知 A(1,0) ， B(0,1)， C(2,5) ，求 cosBAC 。题型 11. 求向量的模rrr1.rrr60orr已知 | a |3,| b | 4 ，且 a 与 b 的夹角为，求（ 1） | ab |，（2） | 2a3b |。rrr rrrr1r2. 已知 a(2, 6), b( 8,10) ，求（ 1） | a |,| b | ，（ 5） | ab |，（6） | a2b |。rrrrr r3. 已知 | a | 1，|b |2 ， | 3a 2b |3 ，求 | 3a b | 。rrr题型 12. 求

11、单位向量a【与 a 平行的单位向量： er 】| a |1.r(12,5)平行的单位向量是。与 a2.r1)平行的单位向量是。与 m( 1,2题型 13. 向量的平行与垂直rr1.r(6,2)rrr已知 a， b ( 3, m) ，当 m 为何值时，（1） a / /b ？（ 2） ab ？rr( 3,2)rrrr垂直？2. 已知 a(1,2) ， b，（1） k 为何值时，向量 kab 与 a3brr与rr平行？（ 2） k 为何值时，向量 kaba3brr rr rrrrrr3. 已知 a 是非零向量， a ba c ，且 bc ，求证： a(bc ) 。题型 14. 三点共线问题1. 已

12、知 A(0,2) ， B(2, 2) ， C (3, 4) ，求证： A, B, C 三点共线。4uuur2rr uuurrr uuurrr2. 设 AB2(a5b), BC2a8b, CD3(ab) ，求证： A、 B、D 三点共线。3.uuurrr uuurrr uuurrr已知 ABa2b, BC5a6b,CD7a2b，则一定共线的三点是。4.已知 A(1,3)， B(8,1) ，若点 C (2a1,a2)在直线 AB 上，求 a 的值。5. 已知四个点的坐标，是否存在常数 t ，使uuuruuuruuur成O(0,0)A(3, 4)B( 1,2)OAtOBOCC (1,1)立？题型 1

13、5. 判断多边形的形状uuurr uuurruuur uuur。1. 若 AB3e ， CD5e，且 | AD | | BC |, 则四边形的形状是2. 已知 A(1,0) ， B(4,3) ， C (2, 4) ， D (0,2) ，证明四边形 ABCD 是梯形。3. 已知 A( 2,1) ， B(6, 3) ， C (0,5) ，求证：ABC 是直角三角形。uuuruuuruuur4. 在平面直角坐标系内， OA ( 1,8), OB ( 4,1),OC (1,3) , 求证： ABC 是等腰直角三角形。题型 16. 平面向量的综合应用1.r(1,0)r(2,1)rrrr已知 a， b，当

14、 k 为何值时，向量 kab与 a3b 平行？2.r( 3,rrrr已知 a5) ，且 ab ， |b |2 ，求 b 的坐标。3.rrr(1,2)rrr已知 a与b 同向， b，则 ab10 ，求 a 的坐标。3.r(1,2)r(3,1)r(5,4)rrr已知 a， b， c，则 cab 。4.rr( 3,4)r(5,0) ，请将用向量r rr。已知 a(5,10) ， b， ca,b表示向量 c5rrrr5. 已知 a(m,3) ， b(2, 1) ，（ 1）若 a 与 b 的夹角为钝角，求 m 的范围；r r（ 2）若 a 与 b 的夹角为锐角，求 m 的范围。rrrrrr6. 已知 a

15、(6,2) ， b( 3, m) ，当 m 为何值时，（1） a 与 b 的夹角为钝角？（ 2） a 与 b 的夹角为锐角？7. 已知梯形 ABCD 的顶点坐标分别为A( 1,2) ， B(3, 4) ， D (2,1) ，且 AB / / DC ， AB2CD ，求点 C 的坐标。8. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(2,1)，求第四个顶点 DB( 1,3)C (3, 4)的坐标。9. 一航船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30o 角，求水流速度与船的实际速度。10. 已知 ABC 三个顶点的坐标分别为 A(3, 4)， B(0,0

16、) ， C (c,0) ，uuur uuur，求 sin A 的值。（ 1）若 AB AC 0 ，求 c 的值；（ 2）若 c 5【备用】1.rrrr5rrrr已知 | a |3,| b |4,| ab |，求 | ab |和向量 a, b 的夹角。2.rrrurrrrr1rrr ur已知 xab， y2ab ，且 | a | b |， ab ，求 x, y 的夹角的余弦。1.rr(2,1)rrrr65已知 a(1,3),b，则 (3a2b)(2 a 5b)。4.rr(2,rrrr已知两向量 a(3, 4), b1) ，求当 axb与 ab 垂直时的 x 的值。5.rr(2,rr为锐角，求的范

17、围。已知两向量 a(1,3),b) ， a与 b 的夹角r(r(r r为钝角，求 的取值范围。变式：若 a, 2), b3,5) ， a与b 的夹角选择、填空题的特殊方法：1. 特例法例：全品 P27：4。因为 M,N在 AB,AC上的任意位置都成立， 所以取特殊情况， 即 M,N与 B,C 重合时，可以得到 m n 1， m n 2 。62. 代入验证法rr(1,r(1,2)r）例：已知向量 a(1,1),b1), c，则 c （ DA.1 r3 rB.1 r3 rC.3 r1 rD.3 r1 rab2ab2a2bab22222rrr1,2)rrr变式：已知 a(1,2), b( 1,3), c (，请用 a,b 表示 c 。rrr1