《高等教育自学考试》《线性代数》08.10

1、全国2008年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试 题答案 课程代码：04184 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分） 1 .设A为3阶方阵，且中=1，则内二（A ） 2 .设A、B为n阶方阵，满足ab2，则必有（D ） A . A = B C. |A|=|B| A . -9B. -3C. -1D . 9 B . A = -B D . |A|2=|B|2 贝U AB -BA = 1 0 0 3.已知矩阵A= ? 1，B= e j丿 A *10 D G 1 I A .B. 2 1.丿0 1丿 0 0) 0丿 设A是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与 A等价的矩阵是 ( D

2、) 0 0、 q 0) A . 1 B . i 0丿 0 0丿 4 . 5.设向量-： = (a1, b1 ,c1),- (a2, b2 , C2), a 1、 C .100.J 1 1 0 1丿 - = (a1 ,b1,c1, d1), - 2 - (a2 , b2 ,c2 , d2 ), 1 0、 1 q 0) 11、 1 (21 ) n 1 1、 1 （1 0、 Q 1厂 j 1丿 e -1厂 I-1 -1厂 Q 0厂 (-2 -1丿. 2 0 1 -1 1 -3 42 L 3 -3 3 9 3 5 -11 -3 7 -19 14.已知向量组 Z1、 广2、 0 s = 1 ,。3 =

3、1 0 5 t +2 J 1。 I 4丿 的秩为2,则数t=_3 15.设向量。=（2,一1,右1）,则。的长度为一5/2. 16 .设向量组：1=(123) , : 2 =(4,5,6) ,： 3 =(3,3,3)与向量组 he等 价，则向量组P12,?3的秩为2 q 2 3 q 2 3 Z1 2 3、 4 5 6 T 0 -3 -6 T 0 -3 -6 e 3 3丿 0 -3 -6丿 0 0 0丿 ,秩为2. 17 .已知3阶矩阵A的3个特征值为1,2,3，则|a*_36. | A |=|A|nJl 斗 A|2 =(1 2 3)2=36 . 18.设3阶实对称矩阵A的特征值为、2二3宀=0

4、，则r（A）= 3 0 0 A 相似于 0 3 0 , r(A)=2. 200 J 19 矩阵 A= 广1 2 4 2 2 -1 4 -1 3 2 2 2 =x1 2x2 3x3 4x1 x2 8x1x3 - 2x2x3 . 20.设矩阵A= f_2 0、 I。1丿 ，则二次型 xT Ax的规范形是y； _ y2 . xTAx =2xj x；-yf，其中 yX2 , 屮 =、2x1 三、计算题（本大题共 6小题， 每小题 54分) 21.计算行列式 1 1 3 1 2 0 -1 2 3 1 -1 0 4 2 0 5 的值. 解: 1 2 3 4 1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0

5、1 2 1 0 0 0 = =- -1 -4 -6 =- -1 -3 -5 3 -1 -1 0 3 -1 -4 -6 2 -1 -7 2 -3 -9 1 2 0 -5 1 2 -1 -7 -3 -3 二-2(27 -15-24 . 22.已知 A= 14 -1 2丿 B= 2 -1 0,C= 3 :，矩阵X满足AXB=C, 求解 解: (AE) 1 -1 1 4 1 0)( |T 6 1 1丿I 12 6 0 1 1-2 1 1 1/3 1/6 -2/3 1/6 ， A， 1/3 1/6 -2/3 . 1/6 ； Z2 0 1 0) It -1 1 0 1丿I (BE) 20 -22 2 0

6、0 It 2 1 0 1/2 0 , 1/2 1 ba 1/2 Q/2 1/3 J/6 _2/3f3 1/6 .L0 1 V1/2 01 2 _4秆3 I = 1厂12 V 1丿芒 Of1 -1 丿 I1 1 12 6) 1 0) 1 12 12、 1 5 0丿 I1 l 2丿 12 2 o丿 山4 -1 11/2 6 3 1 0 g =(1,1,1)T 下的 23 .求向量=(3,-1,2)T 在基：1 =(1,1,2)T ,： 2 =(-1,3,1)丁 , 坐标，并将1用此基线性表示. 解：设 1 =x1x 2 x 3，即(3,-1,2)丁 =为(1,1,2)丁 x21,3,1)TX3(1

7、,1,1)T， 得 x1 -x2 +x3 =3 1 -1 1 3 1 -1 1 3 1 -1 1 3 x1 +3x2 + x3 = -1 , A = 1 3 1 -1 T 0 4 0 -4 T 0 1 0 -1 2禺 +x2 +x3 =2 2 1 1 2 1 3 -1 一4 1 3 -1 一4 1 -1 1 3、 1 -1 1 3 Z1 -1 0 2 1 0 0 1、 T 0 1 0 -1 T 0 1 0 -1 T 0 1 0 -1 T 0 1 0 -1 0 -1 -b X1 =1， X2 - -1， X3 =1 . :在基1,2,3 下的坐标是（1,-1,1） , 2=：1-2*3 . 24

8、 .设向量组1，2，3 线性无关，令：1 =Y1 3 , 一 2=2, 2 - 2、3 , 飞=21 -52 3匕，试确定向量组-1, -2, -3的线性相关性. 解：设 k1 ：1 - k2 -2 k3 -3 =0，即 2 -1/46 1/*W b 0 0、 令P = 1/42-1/46 1/J3 ,人= 0 0 0 02 M/6 1/V3 j e 0 3丿 ，则 是正交矩阵， 使PAP -A. 四、证明题（本题 6分） 27.设为非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解， 1, 2/，r 是其 导出组 Ax=0的一个基础解系. 证明 ,1, 2,，r线性无关. 证：设 k 幻 1k2 2 亠亠 kr r = 0 , A(k & k2 2 亠 亠 kr r) =0 ,