理论力学（第三版）第5章第2节虚功原理

1、第五章 分析力学 拉格朗日 哈密顿 5.2 虚功原理 本节导读 实位移 虚位移 实功 虚功 虚功(虚位移)原理 拉格朗日乘子与约束力 1 实位移和虚位移 质点由于运动实际发生的位移, 叫做实位移. 用dr表示. 想象的质点在约束许可情况下发生的位移, 叫做虚位 移. 用 r表示. 虚位移只决定于质点在此时的位置和加 在它上面的约束, 而不是由于时间变化所引起的. 虚位移和实位移的区别是实位移要满足运动方程, 而虚位移只需要满足约束. 在稳定约束下,实位移是无 限多虚位移中的一个. 而在不稳定约束时, 可能二者 不一致. 设有n个质点的系统, 存在m个完整约束, 其约束方程 ),1,2,( 0)

2、,( 21 mi trrrf ni 设 是满足约束条件的虚位移, 则 n rrr , , 21 ),1,2,( 0),( 2211 mi trrrrrrf nni 对ri 作多元函数的泰勒展开(t 被“冻结”), 略去二 次以上的项, ),1,2,( 0),( 1 21 mj rtrrrf i n i nji 满足上式的一组ri 就是虚位移. 而真实位移dri是一个在时间dt间隔中完成的位移, 为使其满足约束条件, 必须 ),1,2,( 0)d,d,d,d( 2211 mi ttrrrrrrf nni 于是得 ),1,2,( 0d/d 1 mj ttfrf ji n i ji 是约束对真实位移

3、的限制条件, 即时间不被“冻结” 的可能位移应满足的条件. 如约束是稳定的, 虚、实 位移相同. 虚位移与实位移比较表 虚位移实位移 共同点 为约束所允许为约束所允许 不同点 1）与主动力、作用时间、初始条件无关 2）是可能位移，可有多个或无穷多个 3）无限微量 与左边三个因素有关唯一的，方向 确定有限量 表示方 法 用变分符号表示。 如 等 用微分符号表示。 如 等 相互关 系 在定常约束情况下，实位移是虚位移中的一 个. ),(zyxr d),d,d,d(dzyxr 2 虚功 作用在质点上的力在任意虚位移r中所作的功, 叫 做虚功. 如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意 虚位移中所作

4、的虚功之和为零,即 (5.6) 0 1 n i ii rR 那么系统受到的约束叫做理想约束. 一切光滑接触以及 刚体等都是理想约束. 例1 质点沿固定的光滑曲面运动, 约束方程为 0),(zyxf 质点的虚位移应满足 0 ),( ),( ),( z z zyxf y y zyxf x x zyxf z zyxf y zyxf x zyxf R ),( , ),( , ),( 即虚位移垂直于曲面的法向( ). 由于约束 面是光滑的, 约束力沿曲面的法向, 即 z f y f x f , 因此虚功为 0 ),( ),( ),( z z zyxf y y zyxf x x zyxf rRW 例2 质

5、点沿运动的光滑曲面运动, 约束方程为 0),(tzyxf 质点的虚位移应满足 0 z z f y y f x x f 即虚位移仍垂直于曲面的法向. 而 约束力沿曲面的法向, 所以虚功也仍为零. 注意, 这里约束力所作的真实的功并不为零, 因为真实 位移dr满足 0dddd t t f z z f y y f x x f 它并不垂直于曲面的法向. 约束力的虚功为零, 这完全 是因为虚位移在“冻结”了的(t0)曲面的切平面上. 例3 质点约束在光滑曲线上运动. 这种情形可以看成质 点约束在两个光滑曲面上的运动, 其约束方程为 0),( 0),( 2 1 tzyxf tzyxf 质点的虚位移应满足

6、0 0 222 111 z z f y y f x x f z z f y y f x x f 这也是约束力和虚位移垂直的情况. 故虚功为零. 0 22 ijji lrr 02 jiji rrrr 因此约束力的虚功 0 jijijjii rrrrrRrRW 因约束力是一对内力, 大小相等方向相反,即 ji RR ji rr . 由约束方程可知, 虚位移满足 例4 刚性约束. 刚体中两质点的径矢分别为 , 则 约束方程为 ji rr 和 3 虚功原理 (5.7) 0 ii RF 于是, 作用于第i质点所有各力的虚功之和为零 0 iiii rRrF (5.8) 0 11 n i ii n i ii

7、 rRrF 当系统处于平衡时, 系统每一质点都是处于平衡. 这样, 作用于第i个质点的 的合 力应为零, 即 ii RF 和约束力主动力 在理想约束条件下, 如果系统处于平衡状态, 则其平衡 条件为 (5.9) 0 1 n i ii rFW 这称为虚功原理. 显然, 当一个只有理想约束的系统处 于平衡状态时, 作用于该系统的所有主动力的虚功之 总和为零. (5.9) 0 1 n i iiziiyiix zFyFxF 其实, 即使是非理想的约束, 仍然可以使用虚功原理. 只 要把 理解为既包括主动力又包括非理想约束反力即可. F 4 广义坐标下的虚功原理 (5.10) ;, 21 tqqqrr

8、sii 质点虚位移也可用广义坐标的虚位移(广义虚位移)表示, (5.11) 1 q q r r s i i 由于虚位移不独立, 因而上述虚功原理不能消除虚 位移来得出平衡时系统的受力. 为解决这个困难, 采用 广义坐标. 任何一个质点的矢径 都可用s个广义坐标表 示, i r 这样在广义坐标中得到平衡方程为: (5.12) 111 111 qQq q r F q q r FrFW sn i i i s n i s i i n i ii Q是q的函数. 由于广义虚位移是相互独立的, 所以 (5.13) ), 2 , 1( 0 11 s q z F q y F q x F q r FQ n i i

9、 iz i iy i ix i n i i Q叫做广义力. 它的数目和力学体系的自由度数相等. 5 主动力为保守力的情况 在主动力是保守力的情况下, 广义力Q的表达 式很容易求得. q QVW s 1 q V Q 并且此时平衡方程为0 q V 上式具有鲜明的物理意义: 保守力作用下的力学系统, 如处于平衡, 则势能取极值. 例1 两刚性杆用光滑铰链连接如图. 上杆长l1, 质量为m1, 下杆长l2, 质量为m2, 在下杆的下端施加不变的水平力F, 试 求平衡时两杆各自同竖直线的夹角1和2. 解: 光滑铰链是理想约束. 所需考虑 的主动力有水平力F, 重力m1g和重 力m2g. 系统两个自由度,

10、 1和2为广义坐 标按照虚功原理 0 32211 yFxgmxgm 11223 11222111 sinsin ,coscos 2 1 ,cos 2 1 lly llxlx 2 1 m2g m1g F (x2,y2) (x1,y1) (x3,y3) 因为 自由度 1和2为独立的 0sin 2 1 cos 0sinsin 2 1 cos 222 12111 gmF gmgmF 由此解得 gm F gmm F 2 2 21 1 2 tan , )2( 2 tan 0sin 2 1 cos sinsin 2 1 cos 22222 1112111 lgmF lgmgmF 因为 6 约束力的求解拉格朗

11、日乘子法 利用虚功原理可以方便地求出在广义坐标下的平 衡条件,但是不能求出约束力.为了解决这个问题,引入 拉格朗日乘子法. (5.14) ), 2 , 1( 0),(kzyxf n个质点组成的系统, 有k个完整约束 x,y,z个是所有系统各质点坐标的缩写. 这时系统的独立 坐标数为3nk, 显然我们可以直接利用3n个坐标求解, 也可以利用3nk广义坐标求解. (i)如直接利用3n个坐标求解, 则力学系统的平衡条件 为 (5.15) 0 1 n i iiziiyiix zFyFxF kz z f y y f x x f n i i i i i i i , 2 , 1 0 1 虚位移应满足 把上式

12、对应乘以, 然后和(5.15)相加, 得 (5.16) 0 1111 n i i k i izi k i iyi k i ix z z f Fy y f Fx x f F 总可以得到 (5.17) ), 2 , 1( 0 0 0 1 1 1 ni z f F y f F x f F k i iz k i iy k i ix 联立约束方程, 共有3n+k个方程, 可以确定坐标和不定乘子. 不定乘子的物理意义:(5.18) fR 即不定乘子和约束方程的散度乘积是对应的约束反力. (ii)利用广义坐标求解约束反力. 先将坐标用广义坐标表示, 约束方程变为 (5.19) 0 ),( 21 s qqq

13、而虚位移满足(5.20) , 2 , 1 0 1 kq q s 类比与直接求解的方式, 得 (5.21) 0 11 sk q q Q 也总能得到(5.22) ),1,2,( 0 1 s q Q k 不定乘子仍和约束反力成比例, 而Q是广义坐标表示的主动力. 例2 如图所示机构中, OA=r, h2r,弹簧的劲度系数 为k, 当OA杆在力偶矩M1作用下于图示位置(OA平行 于水平杆BC)平衡时, 试求作用在AD杆上的力偶矩M2 的大小及弹簧的形变量. 本题可根据广义力表示的平衡条件求解. 但必须先求 出广义力, 下面用虚元功法求广义力. 解: 系统具有两个由由度, 选 OA杆的转角1和AD杆的转

14、 角2为独立的虚位移, 其转 向如图所示. 先令1=0, 对应于虚位移2的虚功为 22222 )2( 3 8 rkMrFMW BF D A B C O h F 1 M 2 M 1 2 再令2=0, 对应于虚位移1的虚功为 o 11111 )1( 30tanrkMrFMW BF rkM W Q F 3 1 1 1 )1( 1 根据平衡条件, 有Q20, Q10, 这样可得 112 3 , 3 38 M kr MM 对应的广义力为 kM W Q F 3 8 2 2 )2( 2 例3 试求例1两杆铰接处的相互作用力. 解: 本题所求为两杆铰接处的约束力, 所以选取广义 坐标时不考虑约束条件. 按照质

15、心运动定理,下杆所 受的各个力, 包括铰接处的约束力可以看做作用于杆 的质心, 因此我们选下杆质心的坐标x2, y2作为特定 的广义坐标. 另选确定上杆位置的1 和下杆位置的2 作广义坐标. 按照虚功原理 0 32211 yFxgmxgm 0sin 2 1 )cos 2 1 ( 22222111 ylFxgmlgm 0sin 2 1 sin),( 0cos 2 1 cos),( 222112122 222112122 yllyxf xllyxf 用广义坐标表示 由此看出, 对应于 x2和 y2的主动力分别是m2g和F. 由于广义坐标不独立, 受到约束 (a) 0cos 2 1 sin 2 1 2222221111 yFFlxgmgml (c) 0cos 2 1 cos (b) 0sin 2 1 sin 2222111 2222111 yll xll 于是 用1遍乘(b)的各项, 2遍乘(c)的各项, 并与(a)相加, 0cos 2 1 sin 2 1 cos 2 1 cossinsin 2 1 222222212 21211121111 yFlF xgmlgm 令