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1、MeiWei 81 重点借鉴文档】 考点一、概念 (1) 内容：只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2，这样的整式方程就是一元二 次方程。 (2) 一般表达式： ax2 bx c 0(a 0) ( 3)关键点： 强调对最高次项的讨论：次数为“ 2”；系数不为“ 0”。 典型例题 ： 例 1、下列方程中是关于 R 的一元二次方程的是() 2 1 1 A3 x 1 2 x 1 B 2 2 0 xx Cax 2 bx c 0Dx2 2x x2 1 变式：当 k时，关于 R的方程 kx2 2x x2 3是一元二次方程。 例 2、方程 m 2 x m 3mx 1 0 是关于 R的一元二次方程，则

2、 m的值为。 针对练习： 1、方程 8x2 7 的一次项系数是，常数项是 。 2、若方 程 m 1x2 m x 1是 关于 R 的一元 二次方程，则 m 的取值范围 考点二、方程的解 内容： 使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 应用： 利用根的概念求代数式的值； 典型例题 ： 例 1、已知 2y2 y 3 的值为 2，则 4y2 2y 1的值为 。 例 2、关于 R 的一元二次方程 a 2 x2 x a2 4 0 的一个根为 0，则 a 的值 为。 说明： 任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制 . 例 3、已知关于 R 的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的系数

3、满足 a c b ，则此方程 必有一根为 。 说明： 本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“ -1 ”巧解代数式的 值。 例 4、已知a b，a2 2a 1 0，b2 2b 1 0，求 a b 变式： 若 a2 2a 1 0 ， b2 2b 1 0，则 a b 的值为。 ba 针对练习： 1、已知方程 x2 kx 10 0的一根是 2，则 k 为，另一根是 。 2、已知 m是方程 x2 x 1 0 的一个根，则代数式 m2 m 。 3、已知 a 是 x2 3x 1 0 的根，则 2a2 6a 。 4、方程 a b x2 b c x c a 0 的一个根为() A 1B1Cb c

4、D a 5、若 2x 5y 3 0,则 4x 32y。 作业： 1、若方程 m 2 x m 1 0 是关于 R的一元一次方程， 求 m的值；写出关于 R 的一元一次方程。 MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei 81 重点借鉴文档】 x1 2、已知关于 R的方程 x2 kx 2 0 的一个解与方程 x 1 3的解相同。 x1 求 k 的值；方程的另一个解。 考点三、解法 方法： 直接开方法；因式分解法；配方法；公式法 关键点： 降次 类型一、直接开方法： x2 m m 0 , x m 对于 x a 2 m， ax m 2 bx n 2 等形式均适用直接开方法 典型例题 ： 2 例 1

5、 、解方程： 12x2 8 0; 2 25 16x2 =0; 3 1 x 2 9 0; 例 2 、若 9 x 1 2 16 x 2 2 ，则 R 的值为。 针对练习： 1、下列方程无解的是() A. x2 3 2x2 1B. x 2 2 0C. 2x 3 1 xD. x2 9 0 类型二、因式分解法 : x x1 x x2 0 x x1,或x x2 方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0 ”， 方程形式：如 ax m 2 bx n 2 ， x a x b x a x c ， x2 2ax a2 0 典型例题 ： 例 1 、 2x x 3 5 x 3 的根为() 5 5 2 A x

6、 B x 3C x1,x2 3D x 21 2 2 5 例 2 、若 4x y 2 3 4x y 4 0 ，则 4R+R 的值为 。 变式 1 ： a2 b2a2 b2 6 0,则a2 b2 。 变式 2 ：若 x y 2 x y 3 0，则 R+R 的值为。 变式 3：若 x2 xy y 14， y2 xy x 28 ，则 R+R 的值为。 例 3 、方程 x2 x 6 0 的解为() A. x1 3，x2 2B. x13，x22C. x13，x23D. x1 2，x22 例 4 、解方程： x2 23 1x2 3 40 例 5 、已知 2x2 3xy 2y2 0,则 x y 的值为 。 x

7、y 变式：已知 2x2 3xy 2y2 0,且x 0,y 0,则 x y的值为。 xy 针对练习： 1、下列说法中： 方程 x2 px q 0的二根为 x1， x2，则 x2 px q (x x1)(x x2) x2 6x 8 (x 2)(x 4). a2 5ab 6b2 (a 2)(a 3) x2 y2 (x y)( x y)( x y) 方程 (3x 1)2 7 0 可变形为 (3x 1 7)(3x 1 7) 0 MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei 81 重点借鉴文档】 正确的有() A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为

8、 1 ，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1 ，且两根互为相反数： 3、若实数 R、R满足 x y 3 x y 2 0，则 R+R的值为() A、-1 或-2B 、-1 或2C、1 或-2D、1 或2 1 4、方程： x2 12 2 的解是 x 类型三、配方法 ax2 bx c 0 a 0 x 2a b2 4ac 4a 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。 典型例题 ： 例 1 、试用配方法说明 x2 2x 3 的值恒大于 0， 10 x2 7x 4 的值恒小于 0。 例 2、已知 R、R 为实数，求代数式 x2 y2 2x 4y

9、 7 的最小值。 变式：若 t 23x2 12x 9，则 t 的最大值为 ，最小值为 。 例 3 、已知 x2 y2 4x 6y 13 0， x 、y为实数，求 xy 的值。 变式 1：已知 x2 12 x 1 4 0，则 x 1 . x x x 变式 2：如果 a b c 1 1 4 a 2 2 b 1 4,那么 a 2b 3c的值为 类型四、公式法 条件： a 0, 且 b2 4ac 0 公式： x b b 4ac , a 0, 且b2 4ac 0 2a 典型例题 ： 例 1 、选择适当方法解下列方程： 31 x 2 6. x 3 x 6 8.x2 4x 1 0 3x2 4x 1 0 3

10、x 1 3x 1 x 1 2x 5 说明：解一元二次方程时， 首选方法是因式分解法和直接开方法、 其次选用求根公式法； 一般不选择配方法。 考点四、根的判别式 b2 4ac 根的判别式的作用： 定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。 典型例题 ： 例 1 、若关于 x 的方程 x2 2 kx 1 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围 是。 例 2 、关于 R 的方程 m 1 x2 2mx m 0 有实数根，则 m 的取值范围是 () A.m 0且m 1B. m 0C.m 1D. m 1 例 3 、已知二次三项式 9x2 (m 6)x m 2是一个完全平方式，试求 m 的值. 说明：若

11、二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式 0 即：若 b2 4ac 0 ，则二次三项式 ax2 bx c (a 0) 为完全平方式；反之，若 MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei 81 重点借鉴文档】 ax2 bx c (a 0)为完全平方式，则 b2 4ac 0. 针对练习： 1、当 k时，关于 R 的二次三项式 x2 kx 9 是完全平方式。 2 、已知方程 mx2 mx 2 0 有两个不相等的实数根，则 m 的值是 . 考点五、根与系数的关系 前提： 对于 ax2 bx c 0而言，当满足 a 0、 0 时，才能用韦达定理 主要内容： x1 x2 b,x1x2 c a

12、a 应用： 整体代入求值。 典型例题 ： 例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 2x2 8x 7 0 的两根，则这个直角 三角形的斜边是() A. 3 B.3C.6D. 6 说明：要能较好地理解、 运用一元二次方程根与系数的关系， 必须熟练掌握 a b 、 a b、 ab、 a2 b 2之间的运算关系 . 例 2 、解方程组： (1) x y 10, xy 24; (2) x2 y2 10, x y 2. 说明：一些含有 x y 、 x2 y2 、 xy的二元二次方程组，除可以且代入法来解外， 往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有 时，后者显得

13、更为简便 例 3 、已知关于 R 的方程 k 2x2 2k 1 x 1 0 有两个不相等的实数根 x1,x2， 1)求 k 的取值范围； 2)是否存在实数 k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不存 在，请说明理由 典型例题 ： 1 、关于 R 的方程 m 1 x2 2mx 3 0 有两个实数根，则 m 为 , 只有一个根，则 m 为 。 2、解方程，判断关于 R 的方程 x2 2 x k k 2 3根的情况。 3、如果关于 R 的方程 x2 kx 2 0及方程 x2 x 2k 0 均有实数根，问这两方程是 否有相同的根？若有， 请求出这相同的根及 k 的值；若没有，请说

14、明理由。 考点六：一元二次方程应用 题 典型例题一 例某公司八月份售出电脑 200台，十月份售出 242 台，这两个月平均每有增长的百分率是多少？ 分析设平均每月的增长率为 R.那么九月份售出电脑 (200 200 x)台，即 200(1 x) 台，十月份 售出 200(1 x) 200(1 x)x 台，即 200(1 x)2 台，于是根据题意，可以列出方程 . 解：设平均每月增长的百分率为 R. 依题意，有 MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei 81 重点借鉴文档】 200(1 x)2 242, (1 x)2 1.21, (1 x) 1.1 x1 0.1, x22.1(不符合题意

15、，舍去) 答：平均每月增长的百分率为 10%. 说明在有关增长率的问题中，要掌握等量关系： a(1 x)n p，其中 a 为变化前的数，如本题 中的 200台， p 为变化后的数，如本题中的 242台， R为增长(降低)率， n为变化次数，如本题从 八月到十月份共变化两次，因此 n 2. 典型例题二 例某工厂第三年的产量比第一年的产量增长21%，平均每年比上一年增长的百分率为. 解设平均增长率为 x ，则 (1 x)2 1 21%. 1 x1.1. x1 0.1, x22.1 (不合题意，舍去) . x =10%. 说明：本题主要考查利用一元二次方程求平均数增长率的问题，解题关键是设出未知数，

16、列出方程 典型例题四 2)题中，墙的长度 x(35 2x) 150. 米 .当宽为 7.5米时， 目 例(安徽省， 1997)如图，要建一个面积为 150m2 的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一 边靠着原有的一条墙，墙长为 a米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为 35 米. ( 1)求鸡场的长与宽各为多少？( 解起着怎样的作用？ 解( 1)设鸡场的宽为 x 米，则 x1 10,x2 7.5. 当宽为 10 米时，长为 35-20=15 35-15=20 米 . (2)由( 1)的结果可知，题中的墙长 a 对于问题的解有严格的限制作用 . 当 a 15 时，问题无解； 当 15 a 20

17、时，问题有一解，只可建宽为 10 米，长 15 米一种规格的鸡场； 当 a 20 时，问题有两解，可建宽 10 米，长 15 米，或宽为 7.5 米，长为 20 米两种规格的鸡场 . 说明：本题考查利用一元二次方程解与面积有关的实际问题，解题关键是设出未知数，表示出 长与宽，根据面积公式列出方程，易错点是在讨论a 的限制作用时漏解或叙述不清 . 典型例题五 例 将进货单价为 40 元的商品按 50 元出售时，能卖 500 个，已知该商品每涨价 1 元，其销售 量就要减少 10 个，为了赚 8000 元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？ 分析： 该题属于经营问题 .设商品单价为 (50 x

18、)元，则每个商品得利润 (50 x) 40 元，因为 每涨价 1 元，其销售量会减少 10 个，则每个涨价 x元，其销售量会减少 10 x 个，故销售量为 (500 10 x)个，为了赚得 8000 元利润，则应有 (500 10 x) (50 x) 40 8000，进而可以求解 . 解 设每个商品涨价 x元，则销售价为 (50 x)元，销售量为 (500 10 x) 个. 根据题意，得 (500 10 x) (50 x) 40 8000 ； 整理，得 x2 40 x 300 0 解之，得 x1 10， x2 30. 经检验， x1 10， x2 30 都符合题意 . 当 x 10 时， 50

19、 x 60 ， 500 10 x 400 MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei 81 重点借鉴文档】 当 x 30 时， 50 x 80 ， 500 10 x 200 答：要想赚 8000元，售价应定为 60元或 80元，若售价为 60 元，则进货量应为 400个；若售 价为 80元，则进货量应为 200 个. 说明：根据题意列出相应的等量关系是解决问题的关键.对于本题要注意单价的上涨与销售量的 减少之间的相互关系 . 典型例题六 例某人将 20RR 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元用于购物，剩下的 1000 元 及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共 1320 元，求这种 存款方式的年利率。 分析：可设存款的年利率为 x ，依题意，以本利和为主线列方程解之。 解 设这种存款的年利率为 x ，则 20RR 元存入一年后，应得本金