全国版2022高考数学一轮复习第11章计数原理第1讲两个计数原理排列与组合课件理2021031715

1、第一讲 两个计数原理、排列与组合 第十一章 计数原理 考点帮必备知识通关 考点1 两个基本计数原理 考点2 排列与组合 考法帮解题能力提升 考法1 两个基本计数原理的应用 考法2 排列问题 考法3 组合问题 考法5 排列与组合的综合应用 考法4 分组与分配问题 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.两个基本 计数原理 了解2016全国,T5志愿活动考法1 数学建模 逻辑推理 数学运算 2.排列与组 合 掌握 2020山东,T 3生活实践考法3 数学建模 逻辑推理 数学运算 2020全国,T14垃圾分类考法1 考情解读 命题分 析预测 从近

2、几年的高考命题情况来看,本讲主要考查两个基本计数原 理及排列与组合的综合应用, 有时单独考查,一般以小题的形式呈 现;但更多地与概率知识相结合考查,此时,小题形式、解答题形式 均有出现.题目主要以实际问题为背景,重点考查考生分析问题与 解决问题的能力及逻辑推理素养. 新课程标准(2017年版)对本讲知识的考查要求有所降低,预计 2022年高考对本讲知识的考查会适当弱化.本讲知识与概率知识 结合的可能性较大,且命题背景会比较新颖,因此在2022年高考的 复习备考的过程中,应加强本讲知识的综合训练. 考点1 两个基本计数原理 考点2 排列与组合 考点帮必备知识通关 考点1 两个基本计数原理 名称完

3、成一件事的策略 完成这件事 共有的方法 分类加法计数 原理 有两类不同方案,在第1类方案中有m 种不同的方法,在第2类方案中有n种 不同的方法. N=m+n种不同的 方法. 分步乘法计数 原理 需要两个步骤,做第1步有m种不同的 方法,做第2步有n种不同的方法. N=mn种不同的 方法. 注意 以上两个原理可以推广到多类或多步的情形. 考点1 两个基本计数原理 原理分类加法计数原理分步乘法计数原理 联系两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言. 区别一 每类方案中的每一种方法都能独 立完成这件事. 每步依次完成才算完成这件事(每 步中的每一种方法都不能独立地 完成这件事). 区别二 各类方法

4、之间是互斥的、并列的、 独立的,既不能重复也不能遗漏. 各步之间是相互依存的,缺一不可. 辨析比较 两个计数原理的联系与区别 考点2 排列与组合 1.排列与组合的概念 名称定义 排列 从n个不同元素中取出 m(mn)个元素 按照一定的顺序排成一列. 组合合成一组. 考点2 排列与组合 3.排列问题与组合问题的识别方法 名称识别方法 排列 若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,即 排列问题与选取元素顺序有关. 组合 若交换某两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,即 组合问题与选取元素顺序无关. 考点2 排列与组合 4.排列数、组合数的公式及性质(n,mN*,且mn) 公式 性

5、质 考法1 两个基本计数原理的应用 考法2 排列问题 考法3 组合问题 考法4 分组与分配问题 考法5 排列与组合的综合应用 考法帮解题能力提升 考法1 两个基本计数原理的应用 示例1 (1)2021山东部分重点中学第一次综合测试甲、乙、丙3人站到 共有6级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位 置,则不同的站法种数 A.90 B.120 C.210D.216 (2)2016全国卷,5,5分理如图11-1-1,小从 街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到 位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到 老年公寓可以选择的最短路径条数为 A.24 B.18C.12 D.9

6、 图 11-1-1 考法1 两个基本计数原理的应用 思维导引 (1)分类处理:第一类,甲、乙、丙各自站在一级台阶上;第二类,有 2人站在同一级台阶上,剩余1人独自站在一级台阶上.算出每类的站法种数, 然后利用分类加法计数原理求解即可. (2)分步处理:第一步计算从E到F最短路径的条数,第二步计算从F到G最短 路径的条数,再根据分步乘法计数原理处理. 考法1 两个基本计数原理的应用 考法1 两个基本计数原理的应用 考法1 两个基本计数原理的应用 方法技巧 利用两个基本计数原理解决问题的步骤 第一步,审清题意,弄清要完成的事件是怎样的; 第二步,分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步

7、后 分类这四种方法中的哪一种; 第三步,弄清在每一类或每一步中的方法种数; 第四步,根据两个基本计数原理计算出完成这件事的方法种数. 考法1 两个基本计数原理的应用 易错警示 (1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步. (2)分类要做到“不重不漏”,正确把握分类标准是关键. (3)分步要做到“步骤完整”. (4)较复杂的问题可借助图表来完成. 考法2 排列问题 考法2 排列问题 考法2 排列问题 考法2 排列问题 直接法把符合条件的排列数直接列式计算. 优先法优先安排特殊元素或特殊位置. 捆绑法 相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看作一个整体与其他元 素进行排列,同时注意捆绑元素的内

8、部排列. 插空法 不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不 相邻的元素插在前面元素的排列空位中. 间接法正难则反,等价转化的方法. 方法技巧 求解排列问题的常用方法 考法2 排列问题 先整体, 后局部 “小集团”排列问题中,先整体后局部. 除法 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的 全排列. 注意 对于有限制条件的排列问题,分析问题时常用位置分析法、元素分 析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素或位置优先原则,即先安排有 限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题,可以采用间 接法解决. 考法3 组合问题 考法3 组合问题 方法技巧 1.组合问题

9、常见的两类题型 (1)“含”与“不含”的问题:“含”,则先将这些元素取出,再由剩下的元素 补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取. (2)“至少”与“最多”的问题:解这类题时必须十分重视“至少”与“最 多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解 这类题,通常用直接法处理较复杂时,可考虑逆向思维,用间接法处理. 考法3 组合问题 2.解决组合问题几种常见的方法:正难则反、穷举法(即树状图法)、隔板法 和分类讨论. 3.解决组合问题的基本原则:(1)特殊元素或位置优先考虑;(2)合理分类与准 确分步. 考法4 分组与分配问题 命题角度1整体均分问题 示例4

10、 教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育 专业师范生,并在其毕业后将其分到相应的地区任教.现需将6个免费培养 的教育专业师范毕业生平均分到3所学校去任教,有种不同的分 派方法. 思维导引 分两步进行,先把6个毕业生均分成3组,再把这3组平均分到3所 学校,进而计算出结果. 考法4 分组与分配问题 考法4 分组与分配问题 考法4 分组与分配问题 考法4 分组与分配问题 考法4 分组与分配问题 方法技巧 分组、分配问题的求解策略 (1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种: 整体均 分组 部分均 分组 解题时要注意重复的次数是均分组数的阶乘数,即若有m组元素个数相等,

11、 则分组时应除以m!,分组过程中有几个这样的均匀分组,就要除以几个这 样的全排列数. 不等分 组 只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素的个数都不相等,所以不需 要除以全排列数. 考法4 分组与分配问题 考法4 分组与分配问题 不同元素的分配问题,利用分步乘法计数原理,先分组,后分配; 有限制条件的分配问题,采用分类法求解. 注意 (1)分组问题是同学们学习中的难点及易错点,在考试中不容易得分, 在解题过程中容易掉入陷阱,关于分组问题,应该注意的是无论分成几组,只 要其中某些组中的元素个数相等,就存在均分现象.(2)解决分组与分配问题 的基本方法就是先分组后分配. 考法5 排列与组合问题的综合应用 示例7 (1)2018浙江,16,4分从1,3,5,7,9中任取2个数 字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位 数.(用数字作答) (2)要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言,若甲、乙都被选中,且他们发 言中间恰好间隔一人,那么不同的发言顺序共有种.(用数字作答) 思维导引 考法5 排列与组合问题的综合应用 考法5