勾股定理知识点梳理及典型题

1、勾股定理一、知识归纳1、勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ， b ，斜边为 c ，那么 a 2 b2 c22、勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形 和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形3、勾股定理的应用22已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC中， C 90 ，则 c a2 b2 ，bc2 a2 ， a c b知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系4、勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a，b

2、， c满足 a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2 与较长边的平方 c2 作比较，若它们相等时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形；若 a2 b2 c2 ，时，以 a， b， c 为三边的三角形是钝角三角形；若 a2 b2 c2 ，时，以 a ，b， c为三边的三角形是锐角三角形；、题型题型一：直接考查勾股定理例 .在 ABC中， C90 已知 AC 6， BC 8 求 AB的长已知 AB 17 ， AC

3、 15，求BC 的长 （分析：直接应用勾股定理 a2 b2 c2 ）题型二：应用勾股定理建立方程例.在 ABC中， ACB 90 ，AB 5 cm，BC3 cm ， CD AB 于 D ， CD 已知直角三角形的两直角边长之比为 3: 4，斜边长为15 ，则这个三角形的面积为已知直角三角形的周长为 30 cm ，斜边长为 13 cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积有时可根据勾股定理列方程求解例 .如图 ABC 中，90 ，1 2，CD 1.5， BD 2.5，求 AC的长例 4. 如图 Rt ABC ，90 AC3,BC

4、4 ,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积BA题型三：实际问题中应用勾股定理例 5.如图有两棵树，一棵高 8 cm ，另一棵高 2 cm ，两树相距 8 cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了DC题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例 6.已知三角形的三边长为 a，b，c ，判定 ABC是否为 Rt a 1.5， b 2， c 2.5 a 5 ， b 1， c 2 43例7.三边长为 a，b，c满足 a b 10，ab 18，c 8的三角形是什么形状题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例 8.已知 ABC中， AB 13cm，BC 10 cm，

5、BC边上的中线 AD 12 cm ，求证： AB AC勾股典型题：一、填空题1已知一个 Rt的两边长分别为 3 和 4，则第三边长是2如图，圆锥的底面半径为 6cm，高为 8cm，那么这个圆锥的母线 L 是3直角三角形两直角边长分别为5 和 12 ，则斜边上的高为4. 已知等腰三角形的腰长是 6cm ，底边长是 8cm ，那么这个等腰三角形的面积是5如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形 A 的面积是 10，B 的面积是 11，C的面积是13，则 D 的面积之为6如 图， C、 D分别是一个湖的南、北两端A 和 B正东方向的两个村庄， CD=

6、 6 km，且 D 位于 C的北偏东 30方向上，则 ABkm（第 2 题）第 6 题第 13 题7. 如图 ,有两棵树 ,一棵高 8 米,另一棵高2 米 ,两树相距 8 米 ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢 ,则它至少要飞行米.第9题128如图，直线 L过正方形 ABCD 的顶点 B , 点 A、C 到直线 L 的距离分别是 1 和 2 , 则正方形的ABCD的面积是9. 如图是一个长方体长 4、宽 3、高 12，则图中阴影部分的三角形的周长为10某校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30o， B

7、CA 90o ，台阶的高 BC 为 2 米，那么请你帮忙算一算需要米长的地毯恰好能铺好台阶结果精确到0.1m ，取 2 1.414 ， 3 1.732 )第图11 题BC11有一圆柱体高为 10cm，底面圆的半径为 4cm， AA1、 BB1 为相对的两条母线。在 AA1 上有一个蜘 蛛 Q， QA=3cm；在 BB1 上有一只苍蝇 P， PB1=2cm。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到 P 点吃苍蝇，最短的路径是 cm。（结果用带 和根号的式子表示）12如图，如果以正方形 ABCD的对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF，再以对角线 AE为边作第三个正方形 AEGH，如此下去，已知正方形ABCD 的

8、面积 S1 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2， S3 ， Sn（n 为正整数），那么第8 个正方形的面积S8二、选择题13“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数是 5 ”，这种利用图形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫（代入法换元法数形结合的思想方法分类讨论的思想方法24cm第 17 题32cm14下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是A a 7,b 24,c 25Ba 1.5,b 2,c 2.5 C a 2,b 2,c 534D a 15,b 8,c 178cm，另一只朝正南方挖，每分钟挖6cm，15两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝正东方挖，每分钟挖10

9、 分钟之后两只小鼹鼠相距（A. 50cmB. 100cmC. 140cmD. 80cm16如图一个圆桶儿，底面直径为24cm,高为 32cm,则桶内能容下的最长的木棒为（A. 20cm B. 50cm C. 40cmD. 45cm17若等边 ABC 的边长为 4cm，那么 ABC的面积为 （)A2 3 cm2 B4 3 cm2C6 3 cm2D 8cm218如图（ 2），在直角坐标系中， OBC 的顶点 O（0，0），B（ -6， 0），且 OCB=90，?OC=B则点C关于 y 轴对称的点的坐标是 （A（ 3， 3）B.（-3，3）C.（ -3， -3）D.(3 2 ，3 2 )19如图所示

10、：数轴上点 A所表示的数为 a，则 a的值是（A 5 +1B- 5 +1C 5 -1D 520直角三角形的周长为 24，斜边长为 10，则其面积为（）A96B49C24D4821.老李家有一块草坪如图所示 .已知 AB=3米,BC=4米,CD=12米,DA=13米,且AB BC,这块草坪的面积是A24米2. 米2. 米 2. 米2.第 23 题6 米处22在一块平地上，李大爷家屋前9 米远处有一棵大树在一次强风中，这棵大树从离地面大树倒下折断倒下， 量得倒下部分的长是 10 米出门在外的李大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到时能砸到李大爷的房子吗请你通过计算、分析后给出正确的回答一定不会可能会一定会以上答案都不对23如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿 OB 对折，使点 A落在 A1处，已知 OA= 3 ，AB=1，则点 A1 的坐标是（）。A、（ 3，3 ）22B、（ 23，3）C、33（3，3）22三、想好了再规范的写13D、（1，3）22AB = 3.00 cmCA = 4.11 cmBC = 5.08 cmAD = 2.03 cm24、已知：在四边形 ABCD中