高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结

1、_坐标系与参数方程知识点1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设 点P(x,y)是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 任 意 一 点 ,在 变 换xgx(0)对应到点 P ( x , y ) , 称:gy(的作用下 , 点 P(x,y)为y0)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换.2. 极坐标系的概念(1) 极坐标系如图所示 , 在平面内取一个定点 O , 叫做极点 , 自极点 O 引一条射线 Ox , 叫做极轴 ; 再选定一个长度单位 , 一个角度单位 ( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方向 ), 这样就建立了一个极坐标系 .注 : 极坐标系以角这一平面图形为几何背景 ,

2、 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景 ; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系 , 而极坐标系则不可 . 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2) 极坐标：设 M是平面内一点 , 极点 O 与点 M的距离 |OM| 叫做点 M的极径 ,记为; 以极轴 Ox 为始边 , 射线 OM 为终边的角xOM 叫做点 M的极角 ,一般地 , 不作特殊说明时, 我们认为0,可取任意实数 .特别地 , 当点 M 在极点时 , 它的极坐标为(0,)( R). 和直角坐标不同 , 平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02, 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标 (,)

3、 表示 ; 同时 , 极坐标 (, ) 表示的点也是唯一确定的.3. 极坐标和直角坐标的互化(1) 互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点 ,x 轴的正半轴作为极轴 ,并在两种坐标系中取相同的长度单位, 如图所示 :(2) 互化公式 : 设 M 是坐标平面内任意一点, 它的直角坐标是(x, y) ,极坐标是 (, ) (0), 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:记为. 有序数对 (,) 叫做点 M的极坐标 , 记作 M (,) .精品资料_(1)点 M直角坐标 ( x, y)极坐标 (,)过极点 , 倾斜角为(R)或(R)xcos2x2y2互化公式y ( x 0)ysintanx在一般情况

4、下 , 由 tan确定角时 , 可根据点 M 所在的象限最小正角 .4. 常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点, 半径r (0为 r 的圆圆心为 (r ,0) , 半径2r cos (2为 r 的圆圆 心 为 (r ,) , 半22r sin(0径为 r 的圆的直线(2)(0)和(0)过点 ( a,0) , 与极轴cosa()垂直的直线22过 点( ,), 与 极a2sina(0)2 轴平行的直线)2注 :由 于 平 面 上 点 的 极 坐 标 的 表 示 形 式 不 唯 一 ,即(, ),(,2),(,),(,), 都表示同一点的坐标, 这与)点的直角坐标的唯一性明显不同. 所以

5、对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式 , 只要求至少有一个能满足极坐标方程即可. 例如对于极坐标方程精品资料_, 点 M ( ,) 可以表示为 ( ,2 )或(,2 )或 (- ,54)4444444等多种形式 , 其中 , 只有 (, ) 的极坐标满足方程.44二、参数方程1. 参数方程的概念一般地 , 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标x, y 都是某xf (t )个变数 t 的函数 , 并且对于 t 的每一个允许值, 由方程组所确yg (t )定的点 M ( x, y) 都在这条曲线上, 那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数 , 简称参

6、数 , 相对于参数方程而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2. 参数方程和普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式, 一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2) 如果知道变数 x, y 中的一个与参数t 的关系 , 例如 xf (t ) , 把它代入普通方程 , 求出另一个变数与参数的关系y g (t) , 那么xf (t)y就g (t)是曲线的参数方程, 在参数方程与普通方程的互化中, 必须使 x, y 的取值范围保持一致 .注： 普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不

7、同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数如图所示，设圆O 的半径为 r ，点 M 从初始位置 M 0出发，按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动，设xr cosM ( x, y) ，则( 为参数 ) 。yr sin这就是圆心在原点O ，半径为 r 的圆的参数方程，其中的几何意义是 OM 0 转过的角度。圆心为 ( a,b) ，半径为 r 的圆的普通方程是 ( xa)2( y b) 2r 2 ，xar cos它的参数方程为：( 为参数 ) 。ybr sin4椭圆的参数方程以 坐 标 原 点 O 为 中 心 ， 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 为精品资料_x2

8、y21(a bxa cos(为参数 ) ，其中参数a2b20), 其参数方程为b siny称为离心角； 焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是y2x21(a b 0),a2b2xb cos( 为参数 ), 其中参数其参数方程为a sin仍为离心角，通常规定y参数的范围为 0 ，2）。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是y2x21(a0, b 0), 其参a2b2xb cot为参数，其中且数方程为(0,2)e.ya csc以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程以坐标原点为顶点， 开口向右的抛物线y22px ( p0) 的参

9、数方程为要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转x2 pt2y2 pt(t为参数 ).角数值可相等外（即在0 到 2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。 但当 0时，相应地也有0，在其他象限内类22似。5双曲线的参数方程以 坐 标 原 点 O 为 中 心 ， 焦 点 在 x 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 议 程 为x2y21(a 0, bxa seca2b20), 其参数方程为( 为参数 ) ，其中yb tan0,2 )且,3 .227直线的参数方程经 过 点 M 0 (x0 , y0 ) ， 倾 斜 角 为 () 的 直 线 l 的 普 通 方 程 是2y y0tan(x x0 ), 而过 M 0 ( x0 , y0 ) ，倾斜角为的直线 l 的参数方程xx0t cos为y0(t为参数 ) 。yt sin注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点 M 0 ( x0 , y0 ) ，倾斜角为精品资料_的直线 l的参数方程为xx0t cosyy0(t为参数 ) ，其中 t 表示直线 l 上以t sinuuuuuur定点 M 0为起点，任一点M ( x, y)