高三理科数学统一练习一

1、高三理科数学统一练习一(1) 如果复数 ( m2i )(1mi ) 是实数，则实数m 是(A) 1(B) 1(C)2(D) 2(2) 在底面是矩形的直四棱柱ABCD-A 1B 1C1D1 中， DAD 1=CDC 1=45 ，那么异面直线AD 1 与 DC 1 所成角的度数为(A)30(B)45(C)60(D) 90(3)设等比数列 a n 为 1， 2， 4， 8，其前 n 项和为 Sn ，则 liman的值为nSn(A) 01(C) 1(D) 2(B)2(4)已知 f(x) 是 R 上的增函数， 点 A( 2，1)、B(2 ，3)在它的图像上， 那么，不等式 f1 ( x)2的解集是(A)

2、 x 1x1(B) x 2x2(C) x 2x3(D) x 1x3(5)“ a+b=2”是“直线 x+y=0 与圆 ( xa) 2( y b)22 相切”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C) 充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(6)把编号为1、2、 3、 4、 5 的 5 位运动员排在编号为1、2、 3、 4、5 的 5 条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同的排法种数是(A) 10(B)20(C) 40(D) 60(7)已知 M(2,1) ，N( 1,2)，在下列方程的曲线上，存在点P 满足 MPNP 的曲线是(A) 3x y+1=0(B) x

3、 2y 24x30(C)x2y21(D)x2y 2122(8)对任意两实数a、b，定义运算 “”如下： a ba,( ab),则关于函数 f(x)=sinxcosxb,( ab),正确的命题是(A) 函数 f(x) 值域为 1，1(B) 当且仅当 x=2k (k Z ) 时，函数 f(x) 取得最大值 1(C) 函数 f(x) 的对称轴为x= k(kZ )43(D) 当且仅当 2kx2k+(k Z ) 时，函数 f(x)0 且 a 1)，两者的图像相交于点P ( x0 , y0 ) ，如果 x02,2那么 a 的取值范围是. a 16(12) 各 棱 长 为 a 的 正 三 棱 柱 的 六 个

4、 顶 点 都 在 同 一 个 球 面 上 ， 则 此 球 的 表 面 积为 . 7 a23(13) 如图，已知 A(0 , 5) ，B(1,1) ，C(3 , 2) ，D(4 , 3) ，动点 P( x , y)所在的区域为四边形 ABCD （含边界）若目标函数 z ax y 只 在 点 D 处 取 得 最 优 解 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是_a或11a2(14) 正整数按下表排列：12510174361118987121916 1514132025 24232221 位于对角线位置的正整数1，3，7，13，21，构成数列 an ，则 a7=_；43 通项公式 an =.2n

5、-n+115（ 13 分）已知向量 m =(sin,2cos)， n =(3,1)2（）当0， 时，求函数 f()= m n 的值域；（）若 m n ，求 sin2的值 .解：（）由 f( )= m n 得， f ( )3 sincos2sin() 4 分6 0， ，5,666 f () 的值域为 -1， 2 7 分（） m n ，1 sin2 3 cos ,2 tan4 3 10 分 sin 22sincos2 tan8 3 13 分sin 2cos2tan2149（其它解法相应给分）16（ 12 分） 下表为某体育训练队跳高与跳远成绩的统计表，全队有队员40 人，成绩分为1 分至 5 分五

6、个档次，例如表中所示：跳高成绩为4 分的人数是：1+0+2+5+1=9 人；跳远成绩为2 分的人数是： 0+5+4+0+1=10 人；跳高成绩为 4分且跳远成绩为2 分的队员为 5 人.将记载着跳高、 跳远成绩的全部队员的姓名卡40 张混合在一起， 任取一张，记该卡片队员的跳高成绩为x，跳远成绩为 y，设 x，y 为随机变量（注：没有相同姓名的队员）（1）求 mn 的值；（2）求 x4 的概率及 x3 且 y5 的概率；（3）若 y 的数学期望为 105 ，求 m，n 的值 .40y跳远x54321513101跳410251321043高21m60n100113解：（1） mn 40 37 3

7、3 分（2）当 x4 时的概率为 P19 5 分40当 x 3 且 y5 时的概率为 P21 7 分10（3） p( y8 n1)40p( y2)1 ， p( y 3)1 ， p( y4)4 m ， p( y5)144408因为 y 的数学期望为 105 ，所以 99n4m 105 11 分404040于是 m1， n 2 12 分17（ 14 分）已知四棱锥S-ABCD 的底面 ABCD 是正方形， SA底面 ABCD ，点 E 是 SC上任意一点 .S（）求证：平面EBD平面 SAC ；（）设SA=4 ， AB=2 ，求点 A 到平面 SBD 的距离；E（）当SA 的值为多少时，二面角 B

8、-SC-D 的大小为 120。AB解法一：证明（）： ABCD 是正方形， BD AC, SA底面 ABCD ，BD 面 ABCD ， SABD ，SAAC=A ， BD 面 SAC，又 BD 面 EBD ，平面 EBD平面 SAC 4 分解（）：由（）知， BD 面 SAC，又 BD面 SBD ，平面 SBD平面 SAC ，设 ACBD=O ，则平面 SBD平面 SAC=SO ，过 A 作 AFSO交 SO于点F, 则 AF 面 SBD，所以线段 AF 的长就是点A 到平面 SBDADS BCEFMADO的距离 .BCABCD 是正方形， AB=2 ， AO=2 ，又 SA=4 ， SAO

9、是 Rt， SO=32 ，SO AF=SA AO ， AF= 4 ，点 A 到平面 SBD 的距离为 4 9 分33解（）：作 BM SC于 M，连结 DM，SA底面 ABCD ， AB=AD， SB=SD，又 CB AB， CD AD， CB SB， CD SD， SBC SDC， DM SC， BMD是二面角 B-SC-D 的平面角， BM=DM. 11 分要使 BMD=120 , 只须 BM 2DM 2BD 2cos120 ，2BM DM21BD222222即 BM=3，而 BD=2AB， BM=3AB，BM SC=SB BC ， SC22BC 2，2=SB2+BC 2， BM SC2=

10、SB232AB( SB2+BC 2)= SB 2 BC2，AB=BC ， 2SB2+2AB 2=3SB 2， SB2=2AB 2，又 AB 2=SB2-SA 2， AB2=SA2， SA1，故当 SAAB1时，二面角 B-SC-D 的大小为 120 0 14 分AB解法二：证明（）同解法一.4 分ABCD是正方形， SA底面 ABCD ， SA AB， SAAD， ABAD，如图，建立直解坐标系 A-xyz.z（） A（ 0， 0， 0）， B（ 2，0， 0）， D（ 0， 2，S0）， S（ 0， 0， 4 ），设平面SBD 的法向量为rruurruuurn( x, y,1) ，则 n S

11、B ， n SD ，Eruurr uuuruur n SB 0 ，n SD0 ，而 SB =（ 2，0，-4 ），uuurADSD =（ 0，2， -4 ）yO2 x40rB(2, 2,1) ，C2 y4， x=2,y=2, 即 n0xuuurr4| AS n | 9 分则点 A 到平面 SBD的距离 d=r=3| n |（）设 AB=a ，SA=b ，则 A（ 0， 0，0），B（a，0，0），C(a,a,0),D（ 0，a，0），S（ 0， 0，b） ,SB=a2b2 ；urr2,1 ）设平面 SBC的法向量 m =(x 1,y 1,-1),平面 SDC的法向量 e =（ x2,yuruu

12、ur0,ruuur0uuuruuuruuurmBCe CD则 uruuur0,ruuur0, 而 BC =（0， a,0 ）, CD =(-a,0,0),SC =(a,a,-b)m SCe SC y10ax20, x1 =b,y122bax1ay1b 0 ax2ay2b 0=0， x =0,y=aaurbrb m =(e=(0,1),12 分,0,-1),aaurrurra2m e=, 要 使 二 面 角 B-SC-D的 大 小 为 1200， 只 需 cos=urra2b2| m | e |a2a2b2=-1 ，即 a=b, SA1，2AB故当 SA1时，二面角 B-SC-D的大小为 120

13、0. 14 分AB18（14 分）已知各项均为正数的数列 an 满足 an21 an1an2an20 ，且 a3 2 是 a2 ,a4的等差中项 .（）求数列 an 的通项公式 an ；（）若 bn = an log 1 an , Snb1b2bn ，求使 S nn2n 150 成立的正整数n 的最2小值 .解：（） an21an 1an2an20， (an1an )(an 12an )0 ,数列 an 的各项均为正数，an1an0， an 12an0，即 an12an ，所以数列 an 是以 2 为公比的等比数列 .3 分 a32 是 a2 , a4 的等差中项， a2a42a34 ， 2a

14、18a18a1 4 ， a12，数列 an 的通项公式 an2n .6 分（）由（）及bn = an log 1 an 得， bnn2n ， 8 分2 Snb1b2bn ， Sn2 2 2234n 2n3 2 4 21 2Sn222 2345nn 13 2 4 2(n 1) 2 n 222 12 2223452nn 2n 1- 得， Sn2 2= 2(12n )n2n1(1n) 2n12 12 分12要使 S nn2n150 成立，只需2n+1 -250 成立，即2n+152 ， n 5使 S nn2n1 50 成立的正整数n 的最小值为 5. 14 分19（ 14 分）已知函数 f(x)=1

15、 x 2ln x.2( ) 求函数 f(x)在区间 1,e上的最大值、最小值；( ) 求证：在区间 (1,) 上函数 f(x)的图像在函数 g(x)= 2 x 3 图像的下方；3( ) 请你构造函数(x) ，使函数 F(x)=f(x)+(x)在定义域 (0,) 上，存在两个极值点，并证明你的结论.解： ( )f(x)x1xx0, f(x) 0, f(x)在（ 0， + ）上是单调递增函数,f(x)在区间 1,e上的最大值为 f(e)= 1e21, 最小值为f(1)=1 5 分22 x31 x22( ) 证明：设 G（ x） =g(x)-f(x),则 G(x)=ln x ,32G ( x) 2x

16、2x1 = 2x3x21 = x2 ( x 1) x31 ，xxx当 x(1,) 时，显然有G ( x)0， G(x)在区间 (1,) 上是单调增函数，G(x)G(1)=1 0 在 (1,) 上恒成立，即g(x)f(x)在 (1,) 上恒成立，62 x3 图像的下方 . 10 分在区间 (1,) 上函数 f(x)的图像在函数g(x)=51 x 253( ) 令(x)=-x, 则 F(x)=ln x -x（ x0） ,222F (x)x152x25x2x22x令 F ( x)0 ，得 x=1, 或 x=2, 令 F ( x)0 得， 0x2，令 F (x)0 得， 1x1, 这与“双曲线上动点P

17、 到 A（ 2， 0）的最近距离为 1”矛盾。所以双曲线的焦点不在y 轴上。（联立双曲线方程y2-x2=a2 与圆 (x-2) 2+y2=1无解证明，相应给分）3 分解（）：由（）知，双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x2-y2=a2， P（ x0,y0 ），则 x02y02a2 ，|PA|2 =x022x02a2= 2( x0 1)22a2,2y02 = x0 2a1.当点 P 到 A 的距离最小时， x2a22 得 a1，所以，当 x0=a 时， |PA|2 有最0 a，又由c小值，即 2(a-1)2+2-a2=(a-2) 2=1, a=3，所以 ,双曲线的方程为x2-y2=9 8 分(注：未证明为何a=3 时 |PA|有最小值而答案对者本问只给3 分 )解（）：设直线l 的方程为 y=kx+