2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第一课时 数列的概念与通项公式课件 新人教A版必修5

1、第二章数列第二章数列 2.12.1数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 第一课时数列的概念与通项公式第一课时数列的概念与通项公式 目标导航目标导航 课标要求课标要求 1.1.通过实例通过实例, ,了解数列的概念了解数列的概念. . 2.2.掌握数列的两种分类掌握数列的两种分类, ,能对具体数列作出判断能对具体数列作出判断. . 3.3.理解数列通项公式的概念理解数列通项公式的概念, ,能根据数列的前几项写能根据数列的前几项写 出数列的通项公式出数列的通项公式. . 4.4.能根据数列的通项公式研究数列中有关项的问题能根据数列的通项公式研究数列中有关项的问题. . 素养达成素养达成 通过

2、对数列的概念与通项公式的学习通过对数列的概念与通项公式的学习, ,培养学生的观培养学生的观 察能力和抽象概括能力察能力和抽象概括能力. . 新知导学新知导学 课堂探究课堂探究 1.1.数列的概念数列的概念 (1)(1)数列的定义数列的定义 按照一定按照一定 排列着的一列数称为数列排列着的一列数称为数列. . (2)(2)数列的项数列的项 数列中的数列中的 叫做这个数列的项叫做这个数列的项, ,排在第一位的数称为这个排在第一位的数称为这个 数列的第数列的第1 1项项( (通常也叫做首项通常也叫做首项).). 新知导学新知导学素养养成素养养成 顺序顺序 每一个数每一个数 思考思考1:1:aan n

3、 与与a an n表示的含义相同吗表示的含义相同吗? ? 答案答案: :aan n 与与a an n表示不同的含义表示不同的含义,a,an n 表示数列表示数列a a1 1,a,a2 2,a,an n,是数列的是数列的 一种简记形式一种简记形式. .而而a an n只表示数列只表示数列aan n 的第的第n n项项,a,an n与与aan n 是是“个体个体”与与“整整 体体”的从属关系的从属关系. . 2.2.数列的分类数列的分类 (1)(1)按项的个数分类按项的个数分类 类别类别含义含义 有穷数列有穷数列项数项数 的数列的数列 无穷数列无穷数列项数项数 的数列的数列 有限有限 无限无限 (

4、2)(2)按项的变化趋势分类按项的变化趋势分类 类别类别含义含义 递增数列递增数列从第从第2 2项起项起, ,每一项都每一项都 它的前一项的数列它的前一项的数列 递减数列递减数列从第从第2 2项起项起, ,每一项都每一项都 它的前一项的数列它的前一项的数列 常数列常数列各项各项 的数列的数列 摆动数列摆动数列 从第从第2 2项起项起, ,有些项有些项 它的前一项它的前一项, ,有些项小有些项小 于它的前一项的数列于它的前一项的数列 大于大于 小于小于 相等相等 大于大于 3.3.数列的通项公式数列的通项公式 如果数列如果数列aan n 的第的第n n项与项与 之间的关系可以用一个式子来表示之间

5、的关系可以用一个式子来表示, , 那么这个公式叫做这个数列的通项公式那么这个公式叫做这个数列的通项公式. . 序号序号n n 思考思考2:2:数列的通项公式与函数关系式有什么关系数列的通项公式与函数关系式有什么关系? ? 答案答案: :数列的通项公式是一个函数解析式数列的通项公式是一个函数解析式, ,它的定义域是它的定义域是N N* *( (或它的有限子或它的有限子 集集1,2,n),1,2,n),是一个特殊的函数是一个特殊的函数. . 名师点津名师点津 与集合中元素的性质相比较与集合中元素的性质相比较, ,数列中的项的性质具有以下特点数列中的项的性质具有以下特点: : (1)(1)确定性确定

6、性: :一个数是或不是某一数列中的项是确定的一个数是或不是某一数列中的项是确定的, ,集合中的元素集合中的元素 也具有确定性也具有确定性; ; (2)(2)可重复性可重复性: :数列中的数可以重复出现数列中的数可以重复出现, ,而集合中的元素不能重复出而集合中的元素不能重复出 现现( (即互异性即互异性);); (3)(3)有序性有序性: :一个数列不仅与构成数列的一个数列不仅与构成数列的“数数”有关有关, ,而且与这些数的而且与这些数的 排列顺序有关排列顺序有关, ,而集合中的元素没有顺序而集合中的元素没有顺序( (即无序性即无序性);); (4)(4)数列中的每一项都是数数列中的每一项都是

7、数, ,而集合中的元素还可以代表除数字外的而集合中的元素还可以代表除数字外的 其他事物其他事物. . 课堂探究课堂探究素养提升素养提升 解解: :(1)(1)错误错误. .数列不能写成集合的形式数列不能写成集合的形式. . (2)(2)错误错误. .数列中的数是有顺序的数列中的数是有顺序的, ,数相同但顺序不同的数列不相同数相同但顺序不同的数列不相同. . (3)(3)错误错误. .此数列虽然含有省略号此数列虽然含有省略号, ,但项数有限但项数有限, ,是有穷数列是有穷数列. . (4)(4)错误错误. .此数列为摆动数列此数列为摆动数列, ,不是常数列不是常数列. . 题型一数列的概念与分类

8、题型一数列的概念与分类 例例11判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确. . (1)(1)数列数列2,4,6,82,4,6,8可以表示为可以表示为2,4,6,8;2,4,6,8; (2)(2)数列数列1,2,3,51,2,3,5与与5,3,2,15,3,2,1是相同的数列是相同的数列; ; (3)1,2,2(3)1,2,22 2,2,23 3,2,263 63是递增数列 是递增数列, ,也是无穷数列也是无穷数列; ; (4)-1,1,-1,1,(4)-1,1,-1,1,是常数列是常数列. . 方法技巧方法技巧 (1)(1)有穷数列与无穷数列的判断有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷

9、数列还是无穷数列判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列, ,只需看数列是有限项还只需看数列是有限项还 是无限项是无限项. .若数列含有限项若数列含有限项, ,则是有穷数列则是有穷数列, ,否则为无穷数列否则为无穷数列. . (2)(2)数列单调性的判断数列单调性的判断 判断数列的单调性判断数列的单调性, ,则需要从第则需要从第2 2项起项起, ,观察每一项与它的前一项的大观察每一项与它的前一项的大 小关系小关系, ,若满足若满足a an naaan+1 n+1, ,则是递减数列 则是递减数列; ; 若满足若满足a an n=a=an+1 n+1, ,则是常数列 则是常数列; ;若若a an n与

10、与a an+1 n+1的大小不确定时 的大小不确定时, ,则是摆动数列则是摆动数列. . 解析解析: :有穷数列为有穷数列为; ;无穷数列为无穷数列为; ;递增数列为递增数列为; ;递减数列为递减数列为; ; 摆动数列为摆动数列为; ;常数列为常数列为. . 即时训即时训练练1 1- -1:1:给出以下数列给出以下数列: : 1,-1,1,-1,;1,-1,1,-1,;2,4,6,8,1 000;2,4,6,8,1 000;8,8,8,8,;8,8,8,8,;0.8,0.80.8,0.82 2,0.8,0.83 3, , 0.80.84 4,0.8,0.810 10. . 其中其中, ,有穷数

11、列为有穷数列为; ;无穷数列为无穷数列为; ;递增数列为递增数列为; ;递递 减数列为减数列为; ;摆动数列为摆动数列为; ;常数列为常数列为.(.(填序号填序号) ) 答案答案: : 解解: :(1)(1)错误错误.0,1,2,3,4.0,1,2,3,4是集合是集合, ,不是数列不是数列. . 正确正确. .如将所有自然数按从小到大的顺序排列如将所有自然数按从小到大的顺序排列. . 错误错误. .当当x,yx,y中至少有一个不代表数时中至少有一个不代表数时, ,便不是数列便不是数列, ,这是因为数列这是因为数列 必须是由一列数按一定的顺序排列所组成必须是由一列数按一定的顺序排列所组成. .

12、备用例备用例11 (1) (1)下列说法哪些是正确的下列说法哪些是正确的? ?哪些是错误的哪些是错误的? ?并说明理由并说明理由. . 0,1,2,3,40,1,2,3,4是有穷数列是有穷数列; ; 所有自然数能构成数列所有自然数能构成数列; ; -3,-1,1,x,5,7,y,11-3,-1,1,x,5,7,y,11是一个项数为是一个项数为8 8的数列的数列. . 解解: :( (2)2)是有穷递增数列是有穷递增数列. . 是无穷递增数列是无穷递增数列. . 是无穷递减数列是无穷递减数列. . 是摆动数列是摆动数列, ,也是无穷数列也是无穷数列. . 是摆动数列是摆动数列, ,也是无穷数列也

13、是无穷数列. . 是常数列是常数列, ,也是有穷数列也是有穷数列. . (2)(2)数列各项的绝对值为数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,1,3,5,7,9, ,是连续的正奇数是连续的正奇数; ;考虑考虑(-1)(-1)n+1 n+1 具有转换符号的作用具有转换符号的作用, ,所以数列的一个通项公式为所以数列的一个通项公式为a an n=(-1)=(-1)n+1 n+1(2n-1). (2n-1). (3)a,b,a,b,a,b,;(3)a,b,a,b,a,b,; (4)9,99,999,9 999,.(4)9,99,999,9 999,. (4)(4)各项加各项加1 1后后, ,变为变为1

14、0,100,1 000,10 000,10,100,1 000,10 000, ,此数列的通项公式为此数列的通项公式为 1010n n, ,可得原数列的通项公式为可得原数列的通项公式为a an n=10=10n n-1.-1. 方法技巧方法技巧 (1)(1)据所给数列的前几项求其通项公式时据所给数列的前几项求其通项公式时, ,需仔细观察分析需仔细观察分析, ,抓住以下抓住以下 几方面的特征几方面的特征: : 分数中分子、分母的特征分数中分子、分母的特征; ; 相邻项的变化特征相邻项的变化特征; ; 拆项后的特征拆项后的特征; ; 各项符号特征等各项符号特征等, ,并对此进行归纳、联想并对此进行

15、归纳、联想. . (2)(2)观察、分析问题的特点是最重要的观察、分析问题的特点是最重要的, ,观察要有目的观察要有目的, ,观察出项与序观察出项与序 号之间的关系、规律号之间的关系、规律, ,利用我们熟知的一些基本数列利用我们熟知的一些基本数列( (如自然数列、如自然数列、 奇偶数列等奇偶数列等) )转换而使问题得到解决转换而使问题得到解决, ,对于正负符号变化对于正负符号变化, ,可用可用(-1)(-1)n n或或 (-1)(-1)n+1 n+1来调整 来调整. . 解解: :(1)(1)这个数列的前这个数列的前4 4项项1,3,5,71,3,5,7都是序号的都是序号的2 2倍减去倍减去1

16、,1,因此它的一个因此它的一个 通项公式是通项公式是a an n=2n-1.=2n-1. 解解: :(3)(3)观察这个数列的前观察这个数列的前4 4项项, ,若各项分别减若各项分别减1,1,则变为则变为1,4,9,16,1,4,9,16,所以所以 它的一个通项公式为它的一个通项公式为a an n=n=n2 2+1.+1. (1)(1)解析解析: :结合选项分别把结合选项分别把n=1,2,3,4n=1,2,3,4代入进行检验是否分别为代入进行检验是否分别为1,0,1,01,0,1,0 即可即可. .故选故选D.D. (2)(2)解解: :符号问题可通过符号问题可通过(-1)(-1)n n或或(

17、-1)(-1)n+1 n+1表示 表示, ,其各项的绝对值的排列其各项的绝对值的排列 规律为规律为: :后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,6,故通项公式为故通项公式为a an n= = (-1)(-1)n n(6n-5).(6n-5). 方法技巧方法技巧 (1)(1)数列的通项公式给出的是第数列的通项公式给出的是第n n项项a an n与它的位置序号与它的位置序号n n之间的关系之间的关系, ,只只 要用序号代替公式中的要用序号代替公式中的n,n,就可以求出数列的相应项就可以求出数列的相应项; ;反过来反过来, ,判断一判断一 个数是不是该数列的某一项个数是不是该数列的某一项, ,只要看以只要看以n n为未知数的方程有没有正整为未知数的方程有没有正整 数解数解, ,若有