两线段和最小

1、两线段和最小求线段和的最小值问题， 在初中数学中经常会遇到， 利用轴对称 知识可以比较简单的解决。 我们先通过一个非常典型的例题来推导一 个性质：一、性质推导例题：如图所示，在河岸 L的一侧有两个村庄 A、B,现要在河 岸 L 上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到 A， B 两 村庄的距离之和最短首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作 B点关于L的对 称点B,在直线L上任意定一点M连接B Bi，BM BM根据轴对称 知识，我们可以求证BM= BM所以，我们可以得出这样的性质： 成轴对称的两个对应点到对称 轴上任意一点的距离相等。在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点 B到河岸

2、L上任意 点M的距离等于对称B到点M的距离。要使AM+ BM最小，必须使A M B三点共线，也就是说，必须使点 M与A Bi连线和L的交点N重合，所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。B证明：M为L上的任意点因为BM= BM所以，BM+A划BM+AM而BM+AM大于BA,所以，结论成立二、应用1 :在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线 L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P, 使PA+PB勺值最小。求这个最小值。解：作出AiB （作法如上图）过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H,在 Rt A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾

3、股定理求得A1B的长度为42千米，即PA+PB的最小值为4、2千米。图（1）2、如图（1）,在直角坐标系XOY中, X轴上的动点M（x, 0）到定点P（5, 5）和到Q（2, 1）的距离分别为MP和MQ那么当MP+MQ取最小值时，点 M的横坐标 x=。54 一1 一(2,1) Q-1 O1-1 -5图（1）P (5,5)XP (5,5)4(2,1) Q图（2）解：如图（2），只要画出点Q关于x轴的对称点Q1（ 2，-1 ）， 连结PQ1交x轴于点M则M点即为所求。点M的横坐标只要先求出 经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。（也 可以用勾股定理或相似三角形求

4、出答案）。3、求函数y=解：方法（I）6x 10 + x2 6x 34的最小值。2 2 2把原函数转化为 y=：（x 3）1 +.（x 3）5 ，因此可以理解为在X轴上找一个点，使它到点（3, 1）和（-3 , 5）的距离之和最小。 （解法同上一题）。方法（H）如图（9）,分别以 PM=（ 3-x）、AM=1 为边和以 PN=（x+3）、BN=5为边构建使（3-x ）和（x+3）在同一直线上的两个直角 PAM PNB 两条斜边的长就是PA=（x 3）2 1和PB= （x 3）2 52 ，因此，求y 的最小值就是求PA+PB勺最小值，只要利用轴对称性质求出BA1的长， 就是y的最小值。（6 2

5、）。A1图（9）三、拓展（一）三条线段的和最小的问题：如图3,已知甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时，甲站在/ AOB 内的P点，乙站在0A边上，丙站在0B边上，游戏规则：甲将接力棒 传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点 P处。如果三人速度相 同，试作图求出乙丙站在何处，他们比赛所用时间最短。析解：三人的速度一定且相同，要使比赛时间最短，只需三人所走的路程最短，因此可以利用轴对称知识，作点P关于OA 0B的对称点P、P，连接PP，交0A于O，交0B于0，则点0和点0应分别是乙、丙的位置。这样连接 PO、PO 则三人行的路程和为 P0 00 PO P0 00 P 0 PP。规律总结：轴对称在本

6、题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。（二）利用菱形的对称性，求线段和的最小值1、如图(5),在菱形 ABC中,AB=4a,E在 BC上,EC=2q / BAD=1200,点P在BD上，贝S PE+PC勺最小值是（）(A) 6a , (B) 5a(C) 4a ,(D) 2解：如图（6）,因为菱形是轴对称图形，所以 BC中点E关于对角线BD的对称点E一定落在AB的中点E1,只要连结CE1, CE1即为PC+PE的最小值。这时三角形 CBE1是含有300角的直角三角形，PC+PE二CE1=3a。所以选（D）。2、已知在菱形 ABCDK/ A=600,

7、 AD=8 M N分别是AB BC边 上的中点，P是对角线AC上一动点，求PMH PN的最小值。分析：因为动点P在菱形ABCD勺对角线AC上,而CD边的中点G,是N关于对称轴AC的对应点所以，PG= PN因此求PMH PN的最小值就转化为求 PW PG的最小值，连接MG在厶PMG中 PMH PG的最小值就是 MG即PW PG MG（仅当 M P、 G三点共线时取得最小值）。A解：取CD的中点G,连接PGv AC是菱形ABCD勺对角线:丄 PCG=/ PCN又CB= CD N是BC边的中点二CN= CG又 PC= PCPCG2A PCNPG= PN连接MG v二四边形AMGI为平行四边形 MG=

8、 AD= 8在厶PMG,（仅当P、M G三点共线时取等号）即，故PW PN的最小值为8。（三）利用正方形的对称性，求线段和的最小值已知如图：正方形 ABCD勺边长是3,E点分边BC为2:1,P为对角线BD上一点，求PE+PC勺最小值.分析：要想求PE+PC勺最小值，关键是确定点P的位置，根据对称的知 识我们知道点P的位置应是，点C关于直线BD的对称点和点E连线 与BD的交点.解：因为四边形ABCD正方形，所以点C关于BD的对称点为A,连 接AE交BD于P点，则此时PE+PC的最小值最小，最小值为：PE+PC=AE=13（四）利用等腰梯形的对称性，求线段和的最小值如图，在梯形 ABCDK AD/

9、 BC AB= CD= AD= 1,Z B= 60，直 线MN为梯形ABCD勺对称轴，P为MN上一点，那么PO PD的最小值 为。MADPC分析：在梯形ABC中，因为AB= CD= AD,易知梯形ABC是等腰 梯形，又直线MN是梯形ABCD勺对称轴，所以直线 MN是底边AD BC 的垂直平分线，连接PA由线段垂直平分线上任一点，到已知线段 两端的距离相等知，PA= PD所以求PO PD的最小值就转化为求PC + PA的最小值，即求AC的长度即可。解：连接PAv AB= CD= AD= 1,二梯形ABCD是等腰梯形又直线MN是梯形ABCD勺对称轴 PA= PD过点A作AEL BC,过点D作DF丄

10、BC, E、F为垂足，易证 ABEDCF,.BE= CF在 Rt ABE中，v/ B= 60, AB= 1在Rt ABC中，由勾股定理，得即PA+ PC的最小值为（当A P、C三点共线时取得最小值）也可这样求AC的值：过A点作CD的平行线，交BC于 G,贝卩BG= AB= 1,GC= AD= 1 BC= 2而角 BCA= DAC= DCA 角 BCA= 30,角 BAC= 90 度在三角形ABC中，可求得AC（五）利用圆的对称性，求线段和的最小值已知如图,AB是OO的直径，AB=2cm,0CLAB,点D是弧AC的三等 分点,P是0C动点，求PA+PD勺最小值.A图（16）BB分析：圆是一个轴对

11、称图形，任意一条直径所在的直线都是它的 对称轴，圆上任意一点的关于直径所在直线的对称点都在圆上。解:作点D关于0(的对称点F,连接AF，此时PA+PD勺最小值为AF.因为AB是圆0的直径,0C丄AB则弧AC的度数为90,因为D是 弧AC的三等分点，所以弧AD的度数是60,弧DC的度数是30,因 为点D与点F关于OC的对称，所以且弧DC与弧CF相等，都为30, / AOF=120 作 OE!AF,则/ AOE=6b 在 Rt AOE中, AO= 1cm / AOE=60 贝卩 AE= AF=3。(六) 利用坐标系的对称性，求线段和的最小值如图，在直角坐标系中，有四个点A(-8 , 3)、B(-4

12、 , 5)、C(0, n)、D (m 0),求四边形ABCC周长最短时的值分析：因为A B是定点且长度不变，四边形 ABCD勺周长最短， 需使AD+CD+BC的值最小，由于 C D两点未知，所以本题关键是 找C D两点，可考虑用轴对称的方法将 BC CD AD这三条折线拉直,解：分别作A点关于x轴、B点关于y轴的对称点A（-8，-3）、B（4，5），连接AQ分别交x轴、y轴于D C点。设直线的解析式为y=kx+b，把x=-8，y=-3 ； x=4,y=5分别代入得：-8k+b=-34k+b =5解得k和b值，得到Aa的解析式为：3y=2x+7令x=0，求得y,得到C点令y = 0,求得x，得到

13、D点由以上几例可以看出，当求线段和的最小值时，常常借助轴对称将两条线段转化到一条直线上，再利用“两点之间线段最短”进行求四、链接看这样一题：要在一条河上架一座桥（桥须与河岸垂直，两河岸 平行），请提供一种设计方案，使从 A地到B地的路径最短，请说明 理由。B请思考：1、这题为什么不能用轴对称知识解决（认真理解我推导 出的性质就可明白）2、如何用平移知识解决此题3、类似我推导出的轴对称性质，平移的知识能否推导出类似的 性质五、练习1、（2002湖北黄岗竞赛题）如图（10）, / AOB=45角内有一点 P, PO=10在角两边上有两点 Q R （均不同于点C）,则厶PQR的 周长最小值是。当 P

14、QR周长最小时，/ QPR的度数=。10图（10 ）提示：画点P关于OA的对称点R,点P关于0B的对称点P2,v / AOB=45,.APiOP是等腰直角三角形，PP2=1OJ0。 又问：当 PQR周长最小时，/ QPF的度数=。（答案：900）2、已知点A（-2 , 1）,点B（3, 4）。在X轴上求一点P,使得PA+PB的值最小。这个最小值是 。（同例2）3、（北京市竞赛题）如图（11）,在矩形 ABCD中, AB=20cm, BC=10 cm,若在AG AB上各取一点 M N,使BM+M的值最小，求这个最 小值。MN图（11 ）提示：要使BM+MI的值最小，应设法把折线 BM+M拉直，从而 想到用轴对称性质来做。画出点 B关于直线AC的对称点B,则BiN 的长就是最小值；又因为N也是动点，所以，当BN丄AB时这个值最小，利用勾 股定理和三角形面积公式可以求得这个最小值为 16。初三的同学也 可以用射影定理和面积公式求