高三文科数学应用题专题

1、xx 届高三文科数学第二轮复习资料应用题专题高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现. 当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色.1解应用题的一般思路可表示如下紧2解应用题的一般程序（ 1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础 .（ 2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型. 熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关.（ 3）解：求解数学模型，得到数学结论 . 一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程 .

2、（ 4）答：将数学结论还原给实际问题的结果.3中学数学中常见应用问题与数学模型（ 1）优化问题 . 实际问题中的“优选” “控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决 .（ 2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.（ 3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值 .（ 4）等量关系问题：建立“方程模型”解决（ 5）测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决.练习题1通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴

3、趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f ( t ) 表示学生注意力随时间t （分钟）的变化规律（f ( t ) 越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：t 224t100(0t10)f (t )240(10t20)7t380( 20t40)（ 1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（ 2）讲课开始后 5 分钟与讲课开始后 25 分钟比较，何时学生的注意力更集中？（ 3）一道数学难题，需要讲解24 分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？2某公司试销一种成本单价为500 元件的新产品，规定

4、试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800 元件经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元件）之间近似于如图所示的一次函数y kx b 的关系（ 1）根据图象，求一次函数y kxb 的解析式；（ 2）设公司获得毛利润（毛利润销售总价成本总价）为 S 元 试用销售单价x 表示毛利润S 试问销售单价定为多少时，此公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？3某公司生产的A 种产品，它的成本是2 元，售价是3 元，年销售量为100 万件。为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验， 每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x

5、 的二次函数，它们的关系如下表：x （十万元）012y11.51.8（ 1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（ 2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费 x （十万元）的函数关系式；（ 3）如果投入的年广告费为 10 30 万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？4为了在如图所示的直河道旁建造一个面积为5000m2 的矩形堆物场，需砌三面砖墙BC、CD、DE，出于安全原因，沿着河道两边需向外各砌10m长的防护砖墙AB、 EF，若当 BC的长为 xm 时，所砌砖墙的总长度为ym，且在计算时，不计砖墙的厚度，求（ 1） y 关于

6、x 的函数解析式 y=f(x);（ 2）若 BC的长不得超过 40m，则当 BC为何值时， y 有最小值，并求出这个最小值 .河道ABEFjCD5 已知某海滨浴场的海浪高度 y（米）是时间 t (0 t 24，单位小时）的函数，记作 y=f ( t ) ，下表是某日各时的浪高数据t （时） 03691215182124y（米） 1.51.00.51.01.4910.510.991.5经长期观测 y=f ( t ) 的曲线可近似地看成函数y=Acos t +b.（ 1）根据以上数据，求出函数y=Acos t +b 的最小正周期T，振幅 A 及函数表达式；（ 2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对

7、冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午 8： 00 至晚上20： 00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.6一个盒子中装有标号为 1， 2， 3， 4， 5 的 5 张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率：(1) 标签的选取是无放回的；(2) 标签的选取是有放回的7已知舰A 在舰 B 的正东，距离6 公里，舰 C 在舰 B 的北偏西30 ，距离 4 公里，它们准备围找海洋动物，某时刻舰A 发现动物信号，4 秒后，舰B， C 同时发现这种信号，A于是发射麻醉炮弹，设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1 公里 /1 秒，求舰 A 炮击的方位角

8、。分析：求方位角应在水平面内求，所以应建立直角坐标系。8制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100和50，可能的最大亏损率分别为30和 10.投资人计划投资金额不超过10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8 万元 .问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？9甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时，假定它们在一昼夜的时段中随机地到达，试求这两艘轮船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率10某县与沙漠化进行长期的斗争全县面积为 p， xx年底绿化率达2，从 x

9、x年开511被沙化 设 xx始，每年绿化原有沙漠面积的，但与此同时，原有绿化面积的520年底的绿化面积为a1，经过 n 年后的绿化面积为 an+1(I) 求 xx 年底的绿化面积7(II )经过多少年后，绿化率达?1011某观测站C在城 A的南 20?西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40?东，在C处测得距 C为 31 千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20 千米后，到达 D处，此时 C、 D间距离为 21 千米，问这人还需走多少千米到达A城？12为促进个人住房商品化的进程，我国xx 年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：贷款期 ( 年数 )公积金贷款

10、月利率( )商业性贷款月利率 ( )114.3655.025124.4555.025134.5455.025144.6355.025154.7255.025汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25 万元，其中公积金贷款10 万元，分十二年还清；商业贷款15 万元，分十五年还清每种贷款分别按月等额还款，问：(1) 汪先生家每月应还款多少元 ?(2) 在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少?(参考数据： 1.004455 144 1.8966 ， 1.005025 144 2.0581 ， 1.005025 180 2.4651)

11、参考答案1 解：（ 1）当 0t10时 ， f (t)t 224t100(t12) 2244 是增函数，且f (10)240 ； 当20t40时 ， f (t)7t380 是减函数，且f ( 20)240 . 所以，讲课开始10 分钟，学生的注意力最集中，能持续10 分钟 .（ 2）f (5)195, f (25)205，故讲课开始25 分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中.当 0t10 时，f (t)t 224t100180,则 t4 ；当20t40，（ 3）令f (t)7t23818 , 则 t28.57 ，则学生注意力在180 以上所持续的时间28.57 4=24.57 24，所

12、以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题 .2分析：（ 1）本题把一次函数、二次函数及其有关计算问题赋予实际意义，把市场经济引进初中数学观察图象可知，直线y kx b 经过（ 600， 400）、（ 700，300）两点，利用待定系数法即可求出其解析式；（ 2）根据公式“毛利润销售总价成本总价”，得 S xy500y（ 2）本题的解答要实现由一次函数向二次函数的转化，即要灵活运用一次函数和二次函数的有关知识，并要考虑题设中对单价的限制，把求得的值代入检验，看是否符合要求解：（ 1）把（ 600， 400），（ 700， 300）两点的坐标分别代入y kxb，得400600

13、kb300700kb.k1解得b 1000. y x 1000，其中 x 的取值范围是 500 x 800（ 2） S xy 500y x（ x1000 ） 500（ x 1000），即 S x2 1500x 500000（ 500 x 800） S x21500x 500000（ x 750） 2 62500当 x750 时， S最大值 62500此时 y x 1000 750 1000 250（件）故当销售单价定为750 件时，此公司获得最大毛利润62500 元；此时的销售量是250 件3解：（ 1）设二次函数的解析式为y ax2 bx c1ac1103由关系表，得 ab c1.5解得b4

14、a2bc1.85c 1 函数的解析式为y1231xx+105（ 2）根据题意，得 S 10 y(32)xx 25x 10（ 3） Sx25x 10( x5) 265241 x3当1x2.5时， S随 x的增大而增大 .故当年广告费为10 25万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大4解：（ 1） y fx2x5000020 x5000x得 x50（0，40 （ 2）令 2xx500020 在（ 0， 40 内递减，故y 的最小值为因此 y 2xxf(40)=225m, x=40m.河道ABEFjCD5解：（ 1）由表中数据，知T=12， = 2.T6由 t =0, y=1.5 得 A+b

15、=1.5.由 t =3, y=1.0, 得 b=1.0. 所以， A=0.5, b=1. 振幅 A= 1 ，2 y=1cost 126(2) 由题意知，当y1 时，才可对冲浪者开放 . 1cos t 11,cos t 0. 2k2662t 2k, 即有 12k 3t 13k+3.62由 0 t 24, 故可令 k=0,1,2, 得 0 t 3 或 9t 15 或 21t 24.在规定时间内有6 个小时可供冲浪者运动即上午9： 00 至下午15： 00.6解： (1)无放回地从5 张标签随机地选取两张标签的基本事件有1 ，2 ，1 ，3 ， 1 ，4 ， 1 ，5 ， 2 ， 3 ，2 ， 4

16、，2 ， 5 ， 3 ，4 ， 3 ， 5 ， 4 ， 5 总数为 210 个 ， 两张标签上的数字为相邻整数基本事件为1 ， 2 ， 2 ，3 ， 3 ， 4 ， 4 ，5 总数为 24个。 P= 82205(2) 有放回地从5 张标签随机地选取两张标签的基本事件有1 ，2 ，1 ，3 ，1 ，4 ，1 ，5 ，2 ，3 ，2 ， 4 ，2 ，5 ，3 ，4 ，3 ，5 ，4 ，5 和（ 1，1），（ 2，2），（ 3，3），（4，4），（ 5， 5）总数为210+5=25 个。 P= 8257分析：求方位角应在水平面内求，所以应建立直角坐标系。解：为确定海洋动物的位置，首先的直线BA为 x

17、 轴，线段 BA 的中垂线为y 轴建立直角坐标系（如图） ，据题设，得B(-3,0), A(3,0), C(-5, 23 ) 且动物 P(x,y) 在 BC 的中垂线 l 上， BC中点 M的坐标为 (-4,3 ) ， k BC=-3 . l 的方程为 y- 3 =3 (x+4) 即：33y=(x+7).3又 |PB|-|PA|=4(公里 ) P 又在以 B， A 为焦点的双曲线右支上。双曲线方程为x 2y 2=1 (x 2).45由消去 y 得 11x2-56x-256=0 ，解的 x1=-32 ( 舍去 ) ， x 2=8。11 P 点坐标为 (8,53 ), 于是 tg xAP=kAP=

18、53 = 3 ,83 xAP=60 , 故舰 A 炮击的方位角为北偏东30 。8解：设投资人分别用x 万元、 y 万元投资甲、乙两个项目.xy10,0.3x0.1y1.8,由题意知x 0, y 0.目标函数z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.作直线 l 0 : x0.5y 0 ，并作平行于直线 l 0 的一组直线 x0.5y z, zR,与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线 x0.5 y0 的距离最大，这里 M点是直线 x y10和 0.3x0.1y1.8 的交点 .解方程组xy10,得 x=4， y=60.3x0.1y1.8,

19、此时 z 1 40.5 6 7 （万元） .7 0当 x=4， y=6 时 z 取得最大值 .答：投资人用4 万元投资甲项目、 6 万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大.说明： 本题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。9解：设甲到达时间为x，乙到达时间为y，则 0x , y24y若至少有一艘在停靠泊位时必须等待，24则 0y x6 或 0xy 10 p4 (4 )n 57五年后绿化率达1011解：根据题意得图02，其中 BC=31 千米， BD=20 千米， CD=21 千米， CAB=60?设 ACD= ， CDB= 在 CDB中，由余弦定理得：cosCD 2BD 2BC 221220231212 CDBD