控制系统的时域分析

1、1 控制系统的时域分析 4.1 时间响应 4.2 一阶系统的时间响应 4.3 二阶系统的时间响应 4.4 高阶系统的动态分析 4.5 瞬态响应的性能指标 4.6 系统误差分析 2 教学目的、要求 1、掌握系统的时间响应性能指标的概念和求法 2、了解稳态误差的相关知识 教学重点 1、时间响应的基本概念 2、二阶系统欠阻尼状态下性能指标的求取 3、系统误差的计算 3 本章作业(P131-133) 4-2(2) 4-3 4-5 4-7 4-8 4-13 4 时域分析的目的 在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出 随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。 优点：直观、简便。 5 4.1

2、时间响应 一、时间响应的概念 时间响应：系统在输入信号作用下其输出随时间变化的 规律,称为系统的时间响应，它也是系统动力学微分方 程的解。 组成： 控制系统的时间响应分为两部分：瞬态响应和稳态响应。 6 瞬态响应：系统受到外加作用激励后，从初始状态到 最终状态的响应过程，又称动态过程、瞬态过程。 稳态响应：时间趋于无穷大时，系统的输出状态。即 稳态响应是瞬态过程结束后仍然存在的时间响应。稳 态响应也可能以某种固定模式，如按时间的正弦函数 或斜坡函数变化。 相应地，性能指标分为瞬态指标和稳态指标。 7 0 t y(t) 瞬态过程 稳态过程 c(t) t1 t 8 l典型输入信号 在分析和设计系统

3、时，必须预先规定一些具有特殊形式 的试验信号作为系统的输入，这种输入信号称为典型输 入信号。 对典型信号的要求： 能够使系统工作在最不利的情形下； 形式简单，便于解析分析； 实际中可以实现或近似实现。 9 常用的典型输入信号 名称名称时域表达式时域表达式复数域表达式复数域表达式 单位脉冲信号单位脉冲信号 单位阶跃信号单位阶跃信号 单位速度单位速度/ /斜坡斜坡 信号信号 单位加速度单位加速度 正弦信号正弦信号 )(1 t s 1 t 2 1 s 2 1 2 t 3 1 s 1( ) t tsin22 s 10 l典型输入信号的选用原则： 能反映系统在工作过程中的大部分实际情况； 如：若实际系统

4、的输入具有突变性质，则可选阶跃信号. 阶跃信号最常用，其跃变特性可用来测试系统对输入突 变响应的快速性、振荡程度和稳态误差。 如：若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选速度信 号。斜坡函数和抛物线函数可用来测试系统对匀速变化 或具有加速度的参考输入信号的跟踪能力。 注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域 分析法所表示的系统本身的性能不会改变。 11 二、脉冲响应函数（或权函数） 输入)()(ttx输出 )()(tgty )()()( 1)()()( tgLtyLsY tLtxLsX 系统的传递函数G(s)为其脉冲响应函数g(t)的象函数。 ( )L g tG s 当一个系统受到一个单

5、位脉冲激励（输入）时，它所产 生的反应或响应（输出）定义为脉冲响应函数。即当系 统输入x(t)=(t)时，则输出y(t)=g(t)，g(t)为脉冲响应函数。 12 当线性系统输入为任意时间函数x(t)时，将连续信号x(t) 分割成n小段，t =t/n，当t0，x(t)可以近似看作n 个脉冲叠加而成，每个脉冲的面积为x(tk)t。对于单位 脉冲函数(t)，面积为1，作用在t=0的时刻，其脉冲响应 函数为g(t)，即t时刻输出为g(t)。而对于面积为x(tk)t， 作用时刻为tk的脉冲，其t时刻输出为 三、任意输入作用下系统的时间响应 ()() kk xg tttt 13 根据线性叠加原理,将0到

6、t的各个脉冲的脉冲响应叠加， 则得到任意函数x(t)在t时刻的时间响应函数y(t)。 0 0 ( )lim() ()( ) () n t kk n k y txg txg tdtttttt 0 ( )( ) () t y txg tdttt 输出响应为输入函数与脉冲响 应函数的卷积。 14 系统在受输入激励后，t时刻的输出y(t)为t时刻及t时刻以前 各输入x(t)乘以相应时刻的脉冲响应函数g(t-t) 的累积。 ()0g tt 对于任何实际可实现的系统，当tt时 ( )( ) () t y txg tdttt 0 ( )( ) () t y txg tdttt 15 例：系统的单位脉冲响应函

7、数为g(t)=2e(-t/2)，系统输入 x(t)如图，求系统的输出。 1 0 T t x(t) 11x tttT 1 1 Ts X se s 1 2 24 2 0.521 t G sLe ss 解： 系统传递函数为： 4 1 21 Ts Y se ss 则 22 4 14 11 t Tt y teetT 16 K为系统增益；T为一阶系统的时间常数 4.2 一阶系统的时间响应 一、一阶系统的数学模型 1)( )( Ts K sR sC 一阶系统传递函数的一般形式 1 1 )( )( RCssU sU i O ( ) ( ) Y sA P scsk 1 1 ( ) ( ) C s R sTs 典

8、型形式 17 二、一阶系统的单位阶跃响应 s sR 1 )( 11111 ( ) 1 11 T C s TsssTss s T 当输入为单位阶跃函数 所以 / ( )1 t T c te 进行拉氏反变换 c(t) 0.632 0.865 0.95 0.982 初始斜率为1/T h(t)=1-e-t/T 0 t T2T 3T4T 1 一阶系统的单位阶跃响应 18 一阶系统单位阶跃响应的特点 p响应分为两个部分 瞬态项： 表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过渡 过程）； 稳态项：1 表示时间趋近无穷大时，系统的输出状态。 pc(0)=0，随时间的推移，c(t)指数增大，且无振荡。 c()

9、=1，无稳态误差； t T e / ( )1 t T c te 斜率1/T T 1 A 0.632 19 pc(T)=1-e-1=0.632，即经过时间T，系统响应达到其 稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环 节的时间常数T； p p时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工程中当响 应曲线达到并保持在稳态值的95%98%时，认为系 统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间 为3T4T。 pT愈小，则系统的响应愈快。 0 1 t dc t dtT 20 为了减小调节时间（提高快速性），必须减小时 间常数T。下面是减小时间常数的一个方法： )(sC - 1 1 Ts )(sE)(

10、sR 通过反馈，使得时间常数减小了一半。反馈后的传递 函数如下： 0.5 ( ) 0.51 G s Ts 21 三、一阶系统的单位脉冲响应 ( )1R s 111 ( )1 1 1 C s TsT s T 当输入为单位脉冲函数 所以 1 ( ) t T c te T 进行拉氏反变换 t 0.135/T 0.018/T T2T3T4T 初始斜率为 0.368/T 0.05/T 0 1 t/T c (t)e T T 1 c(t) 一阶系统的单位脉冲响应 2 T 1 22 一阶系统单位脉冲响应的特点 p响应分为两个部分 瞬态项： 稳态项：0 pc(0)=1/T，随时间的推移，c(t)指数衰减； p

11、p对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲 宽度小于0.1T）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。 1 t T T e 2 0 1 t dc t dtT 1/T T 1 368. 0 T t c(t) 23 四、一阶系统的单位斜坡响应 2 ( )1R ss 当输入为单位斜坡函数 所以 进行拉氏反变换 Ts T s T s sC /1 111 )( 2 Tt TeTttc / )( T T t r(t) c(t) 24 一阶系统单位速度响应的特点 p响应分为两个部分 瞬态项： 稳态项：t-T p经过足够长的时间（稳态时，如t4T），输出增长 速率近似与输入相同，此时输出为t-T，即输出相对于

12、输入滞后时间T； t T Te T T t r(t) c(t) 25 单位脉冲 函数响应 单位阶跃 函数响应 单位斜坡 函数响应 单位抛物线 函数响应 积分积分积分 微分微分 微分 一阶系统的瞬态响应 1、单位斜坡响应： / ( )1 t T t c ttTTet 2、单位阶跃响应： / 1( ) 11 t T c tet 3、单位脉冲响应： 1 ( )1 t T c tet T 1( ) ( ) dc t c t dt 1 ( ) ( ) t dc t c t dt 三者之间的关系 26 所以，系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输 入信号响应的导数；或者说，系统对输入信号积分的 响应等于

13、系统对该输入信号响应的积分。 27 例1：单位脉冲信号输入时，系统的响应为： 6 0 75 t xte 求系统的传递函数。 06 00 75 75242 66 t i Xs G sXsL xtLe Xs s sss s 解：由题意Xi(s)=1，所以： 28 例2：已知系统传递函数为： 2 21 1 s G s s 求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。 022 21111 1 11 i s XsG s Xs ss s ss 所以： 1 00 1 tt xtLXstee 2）单位脉冲输入时，由于 1 d tt dt 所以： 2 tt oo d xtxtete dt 解：1）单位阶跃输入时 29

14、4.3 二阶系统的时间响应 凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统， 称为二阶系统。 一、二阶系统的数学模型 2 2 2 2 ( )( )( ) 1 ( ) = 2 2 nn dd my tBy tky tx dtdt G S msBsk kBB mmmk 式中，=， = 2 C BB Bmk 粘性阻尼系数 临界阻尼系数 m x(t) k B y(t) 1/k系统增益 2 22 1 ( ) 2 n nn G s k ss 30 二阶系统的传递函数的典型形式为： 其中， n 自然频率（或无阻尼自然频率） 阻尼比（相对阻尼系数） 2 22 ( ) 2 n nn G s ss 二阶系统的标准形式

15、，相应的方块图如图所示 )2( 2 n n ss )(sR )(sC - 31 22 20 nn ss 2 1,2 1 nn s 系统的特征方程 闭环特征方程根(闭环极点) 特征根的性质与阻尼比有关。 32 二、二阶系统的单位阶跃响应 1、阶跃响应的数学表达式 1 ( )1( )( )r ttR s s 输入 2 22 22 11 ( )( ) 2 21 2 n nn n nn C sG s ssss s sss 1 ( )( )c tLC s (与有关) 33 2、欠阻尼(01)情况 2 1 2 1 nn s 、 (t0) 2 2 (1) 22 (1) 22 1 ( )1 21(1) 1 2

16、1(1) n n t t c te e 单调上升，无振荡， 过渡过程时间长，无 稳态误差。 22 22 12 1 ( ) ()() (1)(1) nn nn C s sssss sss 38 上述四种情况分别称为二阶零阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻 尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下 表所示： 单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数 单调上升 两个互异负实根 单调上升一对负实重根 衰减振荡 一对共轭复根(左 半平面） 等幅周期振荡一对共轭虚根 0,零阻尼 n js 2, 1 欠阻尼, 1o 2 2, 1 1 nn js 临界阻尼，1 )( 2, 1 重根 n s 过阻尼，1 1

17、2 2, 1 nn s 6、几点结论 39 1）二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性： 0 阶跃响应发散， 系统不稳定； = 0 等幅振荡； 01 欠阻尼：01 2 22 ( ) 2 n nn G s ss (t0) 2 1 ( )R s s 欠阻尼：01 临界阻尼：=1 2 2 ( )sin(2 ) 1 nt d n n e c ttt 22 ( )(1) 2 nt n nn t c tte 无阻尼：=0 1 ( )sin() n n c ttt 2 2 22 (1) 2 22 (1) 2 21212 ( ) 21 2121 21 n n t n n t n c tte e 四、二阶系统的单位斜

18、坡响应 44 二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性； 0 时，响应发散，系统不稳定； 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长。 01，tr、ts都会增大，灵敏性差；过于小，系统严重超 调。所以通常取为0.40.8。 当=0.7时，Mp和ts 均小，Mp4.6%，此时为最佳阻 尼比。 分析和设计二阶系统时，应综合考虑系统的相对稳定 性和响应快速性，通常根据要求的超调量确定系统的阻 尼，再调整n使其达到快速性。 61 例1：求系统的特征参数 并分析与性能指标的关系： n , )(sR ) 1(Tss K )(sC 2 222 2 ( ) 1 2 n nn K K T Gs K Tss Kss ss TT

19、解：闭环传递函数为： KT T K T T K n n n 2 11 2 2 q 时， 。快速性好，振荡加剧； K, P M q 时， T 4 , (2 ) Pns n MtT (01)下面分析瞬态性能指标和系统参数之间的关系: 62 例2：设系统的传递函数为 当系统的单位阶跃响应的最大超调量等于5，调整时 间为0.8s时，和n等于多少？ 2 22 ( ) ( )2 n nn Y s X sss 22 ln 0.69 (ln) p p M M 4 7.2453 n s t 解： 2 1 p Me100% 63 )1( sTs K m R(s) (-) C(s) ( ) ( ) 1( )(1)

20、B m G sK Gs G ss T sK 2 222 / ( ) /2 mn B mmnn K T G s ss TK Tss 2 1 100%16.3% P Me 2 0.73 1 p d n t 秒 秒秒486. 0 d r t 3 1.2 s n t 秒 化为标准形式 即有 2n=1/Tm=5, n2=K/Tm=25 解：系统闭环传递函数为 解得 n=5(rad/s), =0.5 例3 已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应指标。 64 例4设单位负反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确 定其开环传递函数。 解：图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶 跃响应曲线。由图中给出的

21、阶跃响应性 能指标，先确定二阶系统参数，再求传 递函数。 2 / 1 30%0.3100% P Me 2 . 13 . 0lnln 1 2 e 36. 0 秒秒1 . 0 1 t 2 n d p 1 2 n 6 .33 934. 0 4 .31 1 4 .31 秒秒 2 222 1130( ) ( ) 224.211301( ) n B nn G s Gs ssssG s 2 ( )1129 ( ) 1( )(2)(24.2) nB Bn Gs G s Gss ss s 0t(s) 1 1.3 0.1 c(t) 65 )1( 10 ssK st t C(s) R(s) 例5：已知某控制系统方框

22、图如图所示,要求该系统的单 位阶跃响应c(t)具有超整量Mp=16.3和峰值时间tp=1秒, 试确定前置放大器的增益K及内反馈系数t。 解：求闭环传递函数， 并化成标准形式 C(s)10K 2 R(s) s(1 10 )10sKt 2 21 10 10 n tK n 1.32 0.263 Kt解得 2 / 1 100%16.3% ,0.5 p Me由 t 3.63 rad/s pn 2 1 n 又得 66 例6：设系统的结构图如图所示。要求系统的性能指标 为MP=20%, tp=1s。试确定系统的K和KA值, 并计算性 能指标tr和ts。 ) 1( ss KR(s)C(s) 1 KAs 2 A

23、 ( ) ( ) ( )(1) B C sK Gs R ssKKsK 根据要求的Mp和tp求取相应的阻尼比和n 2 / 1 0.20.456 P Me 2 13.53/ 1 pn n trad s 解：求闭环传递函数 67 2 A ( ) ( ) ( )(1) B C sK Gs R ssKKsK 与标准形式 比较, 求K和KA值。 2 A , 21 nn KKK 得K=12.5, KA=0.178。 2 22 2 n nn ss ) 1( ss KR(s)C(s) 1 KAs 2 2 1 arctan1.10.65 1 34 1.86 ,(5%)2.48 , (2%) r n ss nn r

24、adts tsts 68 三、三、改善二阶系统响应性能的措施改善二阶系统响应性能的措施 1、 输出量的微分反馈控制 )2( 2 n n ss st - )(sR)(sC 将输出量的微分信号c(t)采用负反馈形式反馈到输入端 并与误差信号e(t)比较，构成一个内反馈回路。简称微 分反馈。 69 )2( 2 n n ss st - )(sR)(sC 222 222 1 1 222 () ( ) ()()() nnn nnnnn s G s s ss sss t t )2( 2 n n ss st1 - )(sR )(sC 与典型二阶系统的标准形式 比较 2 22 2 ( ) n nn G s ss

25、 1、不改变无阻尼振荡频率n nt t 2 2、等效阻尼系数为 由于 ，即等效阻尼系数加大，将使超调量MP和调节时 间ts变小。 t 70 )2( 2 n n ss st +- )(sR)(sC 2、误差的比例+微分控制 以误差信号e(t)与误差信号的微分信号e(t)的和产生控 制作用。简称PD控制，又称微分顺馈。 71 )2( 2 n n ss st +- )(sR)(sC )2( 2 n n ss st1 - )(sR)(sC 2 222 1 2 () ( ) () n nnn s G s ss t t 与典型二阶系统的标准形式比较 2 22 2 ( ) n nn G s ss 1、不改变

26、无阻尼振荡频率n nd t 2 2、 等效阻尼系数为 由于 ，即等效阻尼系数加大，但是经过计算得超调量 Mp增大，调节时间ts变小。 d t 1 z3、闭环传递函数有零点 ，将会给系统带来影响。 72 2 22 (1)( ) ( )2 t n nn sC s R sss 典型含零点的欠阻尼二阶系统的传递函数为 22 2222 22 t nn nnnn s ssss 则其单位阶跃响应为 22 11 2222 1 ( ) 22 t nn nnnn c tLL s ssss 1 1 ( ) ( ) dc t c t dt t 1 2 ( )1sin() 1 nt d e c tt 1 2 ( )si

27、n 1 nt n d e c tt 2 2 1 1arctan dn 四、零点对二阶系统瞬态响应的影响 73 则其单位阶跃响应为 1 1 2 ( ) ( )( )1sin()sin 1 tt nt dnd dc te c tc ttt dt 2 sin ( )1sin()arctan cos 1 t nt d n e c tt 2 22 (1) 2 t n nn s ss )(sR)(sC )1sin( 1 1)( 2 2 t z le tc n t n 2 1 -1 tan 2 1 1 tan n n z 22 2 nnz zl 式中： ， 零极点分布图 1 p 2 p 2 1 n j 2

28、1 n j z n l 1 z t 74 2 1 111 (tan)() n p dnd t z 2 1 22 1 22 11 2 (tan)() n n z nn p zzl Mee zz 1 4 1 3 (ln) (ln) n s n l z t l z 2 5 当时 当时 根据上式可以得出主要性能指标如下： n r t 2 1 )( 2 1 -1 tan 2 1 1 tan n n z 22 2 nnz zl 式中： ， ， 零极点分布图 1 p 2 p 2 1 n j 2 1 n j z n l 1 z t 75 dt tdc zdt tdc tc )(1)( )( 11 2 t dt

29、 tdc z tctc )(1 )()( 1 1 由上图可看出： 使得 比 响应迅速且有较 大超调量。 )( 2 tc )( 1 tc )(tc 0 1 )(tc )(tc )( 1 tc )( 2 tc t 76 零点对二阶系统响应的影响 使系统超调量增大，而上升时间，峰值时间减小； 附加零点愈靠近虚轴，对系统响应影响愈大； 附加零点与虚轴距离很大时，则其影响可以忽略。 77 4-6 系统的误差分析 稳态误差的来源 u系统结构不同，输入信号不同，输出稳态值可能 偏离输入值； u外来干扰； u系统中的摩擦、间隙、零件的变形、不灵敏区等 因素。 稳态误差表征了系统的精度及抗干扰的 能力，是系统重

30、要的性能指标之一。 78 一、误差及稳态误差的概念 （1）误差的定义 比较装置的误差 系统误差 )(sR )(sC )(sG )(sH )(sE )(sG B(s) ( )( )( )( )E sR sH sC s )()()( sCsRsE 两种误差中第二种在实际应用中往往量纲不同，如输 入力、输出位移，无法比较，常用第一种。 79 (2) 稳态误差 lim ( ) ss t ee t 0 lim ( )lim( ) ss ts ee tsE s E(s)R(s)B(s)R(s)H(s)C(s) G(s) R(s)H(s)R(s) 1G(s)H(s) 1 R(s) 1G(s)H(s) )(s

31、R )(sC )(sG )(sH )(sE )(sG B(s) 误差的时间响应 1 ( ) ( )e tLE s 瞬态误差：对E(s)进行拉氏变换得到的误差的时间响应 稳态误差：当t时,误差的时间响应e() 80 从式中可看出，ess与输入及开环传递函数的结构有关， 即决定于输入信号的特性及系统的结构和参数。当 R(s)一定时，就取决于开环传递函数。 )(sR )(sC )(sG )(sH )(sE )(sG B(s) 00 ( ) lim ( )lim( )lim 1( )( ) ss tss sR s ee tsE s G s H s 81 二、系统的稳态误差分析 系统的开环传递函数可写成

32、下面的形式： 1 1 (1) ( )( ) (1) m i i n j j Ks G s H s sT s t 12 (1)(1)(1) (1)(1)(1) abm p K T sT sT s sTsT sT s 系统的开环增益。:K :为系统中含有的积分环节数 2 1 00 型系统 型系统 型系统 II I (1）影响稳态误差的因素 pnm 2时，型以上的系统实际上很难使之稳定，所以这种类型的 系统在控制中一般不会碰到。 82 可以看出，与系统稳态误差有关的因素为： ss ts0s0 1 elime(t)limsE(s)limsR(s) 1G(s)H(s) 因 1 1 (1) ( )( ),

33、 (1) m i i n j j Ks G s H snm sT s t 而 1 ssm s0s0s0 i i 1 n j j 1 1s elimsE(s)limsR(s)lim Ks K( s1) 1 s(Ts1) t 则 )(sR 注意：系统的阶 次与类型的概念 完全不同。稳态 误差与Tm 和Tp 均无关。 ss eK R s 与 系统类型 开环增益 有关 输入信号 83 当输入为单位阶跃(r(t)=1)时的稳态误差，称为位置误差 ss s0s0 s0 p 11 elimsE(s)lims 1 G(s)H(s) s 11 lim1 G(s)H(s) 1 K 0 lim ( ) ( )(0)

34、 (0) p s KG s H sGH 12 (1)(1)(1) ( )( ) (1)(1)(1) abm p Ksss G s H s sss TTT s TTT 1, 0, K K p ss 1 v0 e1 K 0v 1 （2）静态误差系数与稳态误差 静态位置误差系数Kp 84 当输入为单位斜坡(r(t)=t)时的稳态误差，称为速度误差。 ss 2 s0s0s0 V 1111 elimsE(s)limslim 1 G(s)H(s) ssG(s)H(s)K 称为静态速度误差系数。 V s0 Ks Klim s 0 lim( ) ( ) V s KsGs H s 12 (1)(1)(1) (

35、)( ) (1)(1)(1) abm p Ksss G s H s sss TTT s TTT 0 1 1 02 ss e K 00 1 2 V KK 静态速度误差系数Kv 85 3 1 ( )R s s 静态加速度误差系数Ka 输入为单位加速度(r(t)=0.5t2)时的稳态误差加速度误差。 ss 3 s0s0 2 s0 a 11 elimsE(s)lims1 G(s)H(s) s 11 lim s G(s)H(s)K 称为静态加速度误差系数。 2 a s0 Ks Klim s 2 0 lim( ) ( ) a s Ks G s H s 12 (1)(1)(1) ( )( ) (1)(1)(

36、1) abm p Ksss G s H s sss TTT s TTT 00,1 2 3 a KK ss 0,1 1 e2 K 03 86 从表中可以看出，同一系统在不同的输入作用下，其稳态误差是不同 的。针对同一种输入，当系统的型次增加时，系统的准确性将得到提 高；增加系统的开环增益K，往往也可以提高系统的稳态精度。但是， 正如第五章将要讨论的那样，系统型次和开环增益的增加，却使得系 统的稳定性变差。因此，通常需要在系统的稳定性和准确性之间进行 权衡，必要时，需要引入校正环节进行校正。 输入信号作用下的稳态误差 87 例1 系统输入r(t)=(+t+gt2/2)，求0 型、型、型系统的 稳态

37、误差。 1 ss pva e kkk g 解：利用叠加原理，可得系统的稳态误差为： , 1 0, 00,I k k kk gg 0 I I 型 型 型 88 例2 已知某单位负反馈系统的开环传递函数为 )2)(1( 5 )( sss sG 试求系统输入分别为1(t), 10t, 3t2时, 系统的稳态误 差。 ) 15 . 0)(1( 5 . 2 )2)(1( 5 )( ssssss sG 得开环放大倍数K=2.5，由于此系统为型系统, 解：首先将系统开环传递函数化为 89 根据表得， 当r(t)=1(t)时, 稳态误差ess=0； 当r(t)=10t时, 稳态误差 ； 当r(t)=3t2时，

38、稳态误差ess=。 4 5 . 2 101 10 K ess 90 例3：已知两个系统分别如图 (a)、(b)所示。输入均为 r(t)=4+6t+3t2，试分别计算两个系统的稳态误差。 解：要计算系统在输入r(t)=4+6t+3t2下系统的稳态误差，可分别 计算系统在输入r1(t)=4、输入r2(t)=6t、输入r3(t)=3t2下的稳态 误差ess1、 ess2、 ess3、然后让其相加。 - )4( 10 ss R(s)C (s) (a ) - )4( )1(10 2 ss sR(s)C (s) (b) 图 (a)为型系统，该系统的稳态误差ess =ess1+ ess2+ess3 =。 图

39、 (b)为型系统, 开环放大倍数为K=10/4。系统的稳态误差 为 4 . 2 1 600 321 K eeee ssssssss 91 1） ,符合终值定理应用条件。 解：误差传递函数为 1 ( )( )( ) 1( )( )1 Ts E sR sR s G s H sTs 2 1 ( ),( ) (1) T R sE s ssTs T Ts T ssEe ss ss 1 lim)(lim 00 终值定理要求：除在原点处可以有极点外，sE(s)的 所有极点都在s平面的左半平面。 为 1）r(t)=t ，2) r(t)=t2/2，3) r(t)=sint，求系统稳态误差。 例4 设单位负反馈系

40、统开环传递函数为G(s)=1/Ts，输入信号分别 92 3） , 不符合终值定理应用条件 。 2222 1 )(,)( sTs Ts sE s sR v本题说明：1）使用终值定理要注意条件 2）稳态误差与输入有关。 使用终值定理将得出错误结论，ess=0 2） ,符合终值定理应用条件。 )1( )(, 1 )( 23 Tss T sE s sR )1( 1 lim)(lim 00 Tss ssEe ss ss 22 cos(arctan) 1 ss T etT T 93 图示系统，R(s)为系统的参考输入， N(s)为系统的扰动作用。 求E(s)和ess 三、扰动作用下的稳态误差 94 1.令

41、N(s)=0,求由R(s)引起的误差ER(s)和稳态误差ess1： 方法一： 95 )()()(1 )( lim)(lim 21 00 1 sHsGsG sR sssEe s R s ss )()()(1 )( )( 21 sHsGsG sR sER )()()()(sHsCsRsER 96 方法二：令N(s)=0,求由R(s)引起的误差ER(s)和稳态误差ess1： )()()(1 )( )( 21 sHsGsG sR sER )()()(1 )( lim)(lim 21 00 1 sHsGsG sR sssEe s R s ss 97 2.再令R(s)=0,求由N(s)引起的误差EN(s)

42、和稳态误差ess2： )()(0)()()(sBsBsBsRsE NNNN )( )()()(1 )()( 21 2 sN sHsGsG sHsG )( )()()(1 )()( lim)(lim 21 2 00 2 sN sHsGsG sHsG ssEse s N s ss )( )()()(1 )()( )()()( 21 2 sN sHsGsG sHsG sHsCsB NN )( )()()(1 )( )( 21 2 sN sHsGsG sG sCN )(sCN 方法一： 98 方法二：(2)再令R(s)=0，求由N(s)引起的误差EN(s)和稳态误差ess2： )( )()()(1 )

43、()( )( 21 2 sN sHsGsG sHsG sEN )(sEN )(lim 0 2 sEse N s ss 99 3.求由输入R(s)和扰动N(s)引起的总误差E(s)和总的稳 态误差ess 总误差E(s)=ER(s)+EN(s) 总的稳态误差ess=ess1+ess2 2 12 1 ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) R sG s N s H s E s G s G s H s 112 2 0 12 1 ( )( )( ) lim ( )( )( ) ssssss s eee R sG s N s H s s G s G s H s 100 例1：已知系统如图所示,其中

44、 求当系统扰动为n1(t)，n2(t)，n3(t) 及输入均为单位阶跃信号时， 输入和扰动分别引起的稳态误差。 3 3 123 ( ) ( ) 1( )( )( ) N N s Es G s G s G s 123 123 510(1)100 ( ),( ),( ) 11(1) s G sG sG s TsT ss T s t - )(sR 1( ) Ns )(sC + 1( ) G s 2( ) G s )(sE 3( ) G s 2( ) Ns + 3( ) Ns + 1123ssssRssNssNssN eeeee 32 2 123 ( )( ) ( ) 1( )( )( ) N G s

45、 Ns Es G s G s G s 232 1 123 ( )( )( ) ( ) 1( )( )( ) N G s G s Ns Es G s G s G s 123 ( ) ( ) 1( )( )( ) R R s Es G s G s G s 101 例2：速度控制系统的方框图如下图所示。给定输入和扰动作用 均为单位斜坡函数。求系统的稳态误差。 - + )(sR)(sE )(sN )( sN )(sC 1 k ) 1( 2 Tss k 1sT k n n 解：，、 2 1 )(,)(0)( s sRttrtn即先令1 )(sR)(sE ) 1( 21 Tss kk 2 2 12 ( )

46、 ( ), ( ) R E EsTss Gs R sTssk k 2 22 12 1 ( )( )( ) RE Tss EssR s Tssk ks 2 00 1212 11 ( ) limlim ssrR ss Ts es Es Tssk kk k 102 2 2 12 12 ( )1 ( ) 1 (1) N EsTss k k N sTssk k s Ts 2 12 ( ) N Tss Es Tssk k )( 1 )( 21 2 2 sN sT k kksTs sTs sN n n 2 22 00 1212 1 ( ) 1 limlim nn ssnN ss n kkTss es Ess Tssk kT ssk k 3、总的稳态误差