§1.4概率的公理化定义及概率的性质

1、 1.4概率的公理化定义及概率的性质、几何概率一个随机试验，如果数学模型是古典概型，那么描述这个实验的样本空间J ,文件域F和概率P已在前面得到解决。在古典概型中，试验的结果是有限的，受到了很大的限制。在实际问题中经常遇到试验 结果是无限的情况的。例如，若我们在一个面积为的区域i】中，等可能的任意投点，这里等可能的确切意义是这样的：在区域门中有任意一个小区域 A若它的面积为Sa，则点A落在A中的可能性大小与 SA 成正比，而与 A的位置及形状无关。如果点A落在区域 A这个随机事件仍记为 A,则由P()=1可得P(A)二Sa ,这一类概率称为几何概率。同样，如果在一条线段上投点，那么只需要将面积

2、改为长度，如果在一个立方体内投点，则只需将面 积改为体积。例1 :(会面问题)甲乙两人约定在 6时到7时之间某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即 可离去，求两人能会面的概率。解：以x和y分别表示甲乙约会的时间，贝UOx乞60,0乞y乞60。两人能会面的充要条件是 x-y 0)，向平面任意投例2蒲丰(Buffon )投针问题。平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为 掷一枚长为l(la)的针，试求针与平行线相交的概率。解：假设x表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以:表示针与此直线间的交角，有0冬x乞 , 0 : 二2由这两式可以确定 x,平面上的一个矩形J. =()0乞x _号

3、,0 _ - ,这时为了针与平行线相交，其条件为x乞丄sin，由这个不等式表示的区域a是图中的阴影部分2alA 二( ,x) 0 _ x ,x sin 由等可能性可知P(A)今SqJT I0如2l若l,a 为已知，则以二值代入上式，即可计算得P (A)的值。反过来，若已知 P (A)的值，也可以用上式去求:，而关于P (A)的值，可以用频率去近似它。如果投针N次，其中针与平行线相交n次，则频率为 , 于是点：-2lN。Nna这是一个颇为奇妙的方法，只要设计一个随机实验。使一个事件的概率与某一未知数有关，然后通过重复实验，以频率近似概率即可以求未知数的近似数。当然实验次数要相当多，随着计算机的发

4、展。人们随机模拟法，也用计算机来模拟所设计的随机实验。使得这种方法得以广泛的应用。将这种计算方法称为 称为蒙特一卡洛法。几何概率的意义及计算，与几何图形的面积，长度和体积(刻度)密切相关，因此所考虑的事件应是某种可定义测度的集合，这类集合的并、交，也应该是事件。甚至对他们的可列次并，交也应该有这个要1求。例如在0,1中投一点的随机实验，若记A为该点落入0,-中这个事件 ，而以An记该点落在2洛，中这一事件。n=1， 2， 3则 A= U A。i 4nP(A)八 P(A)如果所投点落入某区域的概论等于该区间的长度，则这里碰到事件及概率的可列运算综上所述，几何概率应具有如下性质:i) 对任何事件

5、A， P(A)_0ii) P)=1nniii) 若A , A2.两两互不相容，则 P(UA)二為P(A)前两个性质与古典概型相同，而有限可加性，则可推广到可列个事件成立，这个性质称为可列可加性。二、概率的公理化定义到二十世纪，概率论的各个领域已经得到了大量的成果，而人们对概率论在其他基础学科和工程技术 上的应用已出现了越来越大的兴趣，但是直到那时为止，关于概率论的一些基本概念如事件，概率却没有 明确的定义，这是一个很大的矛盾，这个矛盾使人们对概率客观含义甚至相关的结论的可应用性都产生了 怀疑，由此可以说明到那时为止，概率论作为一个数学分支来说，还缺乏严格的理论基础，这就大大妨碍 了它的进一步发

6、展。十九世纪末以来，数学的各个分支广泛流传着一股公理化潮流，这个流派主长将假定公理化，其他结 论则由它演绎导出， 在这种背景下，1933年俄国数学家柯尔莫哥洛夫在集合与测度论的基础上提出了概率 的公理化定义这个结构综合了前人的结果，明确定义了基本概念，使概率论成为严谨的数学分支。对近几 十年来概率论的迅速发展起了积极的作用，柯尔莫哥洛夫的公里已经广泛地被接受。在公理化结构中，概率是针对事件定义，即对于事件域F中的每一个元素 A有一个实数 P (A)与之对应。一般的把这种从集合到实数的映射称为集合函数。因此，概率是定义在事件域 F上的一个集合函数。此外在公理化结构中也规定概率应满足的性质，而不是

7、具体给出它的计算公式或方法。概率应具有什么样的性质呢？经过概率与频率之间的关系、古典概型，几何概型的分析可知，概率 应具有非负性、规范性、可列可加性。从而有如下定义：定义：定义在事件域 F上的一个集合函数 P称为概率。如果它满足如下三个条件：1. 非负性：A - f, P(A)_O2. 规范性：P()=1 ；nn3. 可列可加性：若 A F , i =1,2,且两两互不相容。有 P(UA) =7 P(Ai)1v通过描述一个随机试验的数学模型，应该有几样东西1 )样本空间；2)事件域(二-代数)F; 3)概率(F上的规范测度)P习惯上常将这三者写成(, F, P ),并称它是一个概率空间。 由此

8、，给出一个随机实验， 数量就可以把它抽象成一个概率空间 (门，F , P)。三、概率的性质由概率的非负性、规范性和可列可加性，可以得出概率的其他一些性质：1) 不可能事件的概率为 0，即P( 0 ;nn2) 概率具有有限可加性：即若AiAj= ( 1 i, j n)，则P(.UA)=2； P(A);7i占3) 对任一随机事件 A,有P(A) =1 P(A);4) 若 A 二 B，则 P(A - B)二 P(A) _ P(B)。证： A 二 B，则 A = A (A-B)又 B - A(A_B) =, . P(A) =P(B) P(A_B)，即 P( A _ B) = P( A) _ P(B)推

9、论 1：若 A 二 B,则 P(A) _ P(B);推论2:对任一事件A, P(A)乞1 ;推论 3:对 A, B F ,贝U P(A - B)二 P( A) - P(AB)。5) 对任意两个事件 A B,有 P(AUBH P(A) P(B) -P(AB)推论 1: P(AUB)乞 P(A) P(B);推论2 :设A , A2，An为n个随机事件，则有nnnnnP(UE P(A)瓦 P(AAj) + 迟 p(AAjAJ-+ +(_1)2p(qA)ii =11 Jy! ID1 述;：K 勺i _此公式称为概率的一般加法公式。特别地：P( A - B - C )=P( A)+P( B )+P(C)

10、- P( AB )-P( BC )-P( AC )+p( AB C)n推论 3: P(UA)冬 P(A) P(A) P(A3) P(A)。从性质2可知，由可列可加性可以推出有限可加性，但是一般来说由有限可加性并不能推出可列可加性，这两者之间的差异可以用另一个形式来描述。设An F ( n=1,2,3) 且AnAn 1，则称An是F中的一个单调不减的集合序列。定义：对于F上的集合函数P,若对F中的任一单调不减的集合序列 An有lim P(AJ = P(lim An)，则nn_jscqQ称集合函数P在F上是下连续的，其中lim片=U片类似可定义上连续性定理1:若P是F上非负的、规范的集函数。则P具

11、有可列可加性的充要条件是1) P是有限可加的；2) P在F上是下连续的，亦称为连续性公理定理的证明可参见复旦大学概率论第一册P50例1:设A, B互不相容，且 P( A) =p, P( B)=q试求 P(A_. B),P( A一 B),P( AB),P( AB ),P( AB)解：P( A - B)=P( A)+P( B)=p+q； P( A B)=P( A)=1-pP( AB )=0; P( AB )=P(B-A)= P( B )-P( AB )=q; P( AB)=1- P( A B )=1-p-q例 2 :设 P( A)=p，P( B)=q，P( Au B)=r，求 P( AB)、P(A

12、 B )、P( A u B )。解： P ( AB =P( A)+P( B)-P( A - B)=p+q-rP(A B )=P(A)-P(AB)=p-(p+q-r)=r-q; P(A - B )=P(A B )=1-P(AB)=1-p-q+r例3 .设ABC为三个事件，且ABC。证明P(A)+P( B)-P(C)辽1证： P (A_. B) =P (A) +P ( B) -P (AB),又 AB 二 C, 所以 P (AB) - P ( C)所以 P (A) +P ( B) -P (C)岂 P (A - B)岂 1,即 P (A) +P ( B) -P ( C)岂 111例 4 :设 P (A

13、) =P ( B) =P (C)=丄,P (AB)=丄,P ( BC) =P (AC) =0,求 A, B, C 至少有一个发生的概率。84解： P (A- B_.C) =P (A)+P ( B) +P(C)-P (AB) -P (BC) -P (AC)+P (ABC因为 ABCBC, 所以0 P( ABC -P(BC , 所以 P (ABC =0从而 P (A - B- C) =1/8+1/8+1/8-1/4=1/8例5 :设A, B, C为任意三个事件，证明P (AB) +P ( AC) -P ( BC乞P (A)证： A 二 A (B _ C),所以 P (A) -P(A(B _ C)=P(AB AC) =P(AB)+P(AC)-P(ABC)又 P (ABC) -P(BC),所以 P (AB) +P (AC) -P (BC -P (A)例6:某人一次写了 n封信