25、指数方程和对数方程的解法(一)

1、第三章 幂函数、指数函数和对数函数【教材解读】幂函数是中学教材中的一个基本内容， 即是对正比例函数、 反比例函数、 二次函数的系 统总结，也是对这些函数的概况和一般化 .指数函数是中学教材中的一个基本内容， 是最重要的初等函数之一； 它在反函数概念及 对数函数概念的引入和学习中起关键作用； 对培养学生的数学能力、 特别是形成正确的数学 观念有非常积极的作用 .为了解决“已知底数和幂的值，求指数的问题” ，引入了对数。对数这一内容本身就是 学生第一次学习，因而掌握对数的运算非常重要.一方面，对数的运算要为后面学习对数函数以及对数方程起到铺垫的作用；另一方面，对数的运算和实数的运算有很大的区别.这

2、一部分里证明性质时强调了与指数运算的结合，为后面讲解反函数作铺垫.当然在这个内容中运算法则的熟练运用尤为重要。为了解决不同底数的对数式之间的运算，引入了换底公式 .“反函数”是 高中代数 第一册的重要内容 . 这一节课与函数的基本概念有着紧密的联 系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法， 又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备 , 起到承上启 下的重要作用 .“对数函数的图像与性质”是继学生学习了指数函数的图像与性质、 对数概念及其运算、 反函数的概念等知识之后的一节重要内容， 是基本初等函数研究的继续， 是数形结合的典型

3、课例；它是解指数方程、对数方程及其不等式的基础，是解决一些物理、化学、经济学等实 际问题的重要工具， 更是高考的热点之一 在本节课的学习中， 涉及到数形结合、 类比归纳、 分类讨论等数学思想， 对培养学生的辨证思维能力， 培养学生的创新意识有很大的帮助 是 幂函数、 指数函数等基本初等函数研究的继续； 它是解指数方程、 对数方程及其不等式的基 础在本节课的学习中，涉及到整体代换、数形结合、分类讨论等数学思想，对培养学生的 综合思维能力，提高学生的思辩能力有很大的帮助指数方程是一种超越方程， 以学生目前的知识只能解决一些常规类型的并且是简单的 指数方程 . 因此这部分内容的学习，一是要求学生掌握

4、简单的指数方程的解法，主要有换 元法和取对数法，将指数方程转化为代数方程，利用已有的知识来解决问题，还有是利用 指数函数的图像与性质来解决问题，二是要使学生感悟其中的等价转化、数形结合、观察 论证、函数与方程等重要的数学思想，使学生学会研究问题的方法，学会学习 .在学生了解了对数、对数的运算性质，指数函数与对数函数性质的基础上，为对数函 数性质的应用安排了对数方程 .由于对数方程属于超越方程，在一般情况下不可以用初等方 程求解，所以只介绍几种最简单的特殊类型的对数方程的解法.教材从实例引入对数方程；说明对数方程来自于实践的需要， 本节的重点是掌握几种简单的对数方程的解法； 难点是掌 握检验对数

5、方程的增失根，关键是理解将对数方程转化为代数方程时，有时会扩大（缩小） 字母的允许值范围 .【知识结构】第26课时.指数方程和对数方程的解法(一)【教学目标】1. 理解指数方程、对数方程的概念，掌握简单的指数方程及对数方程的解法，能应用所学知识解决简单的实际问题。2. 通过回顾旧知、自主探究、合作交流，掌握简单的指数方程及对数方程的基本解法， 从中感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等重要的数学思想，逐步形成 解决问题的思维模式，提高学习能力，改变学习方式3. 理解解对数方程时可能会产生增根的原因，掌握解对数方程过程中检验增根的方法.【教学重点】指数方程及对数方程的概念、简单的对指数方

6、程及对数方程的解法【教学难点】感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等数学思想与方法，学会研究问题的方法【知识整理】1.简单的指对数方程指数方程、对数方程的概念：指数里含有未知数的方程叫指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。2常见的四种指数方程的一般解法(1) 方程 af(x) =b(a 0,1,b 0)的解法：f(x)=logb(2) 方程 af(x) = ag(x)(a 0, a = 1,)的解法：f(x)二 g(x)(3) 方程 af(x) = bg(x)(a .0,a=1,b .0,b=1)的解法： f(x) Jga = g(x) Jgb(4) 方程a2x - b

7、axc =0(a 0,a =1)的解法：换元，令ax =t，注意新变量范围，将原方程化为关于t的代数方程，解出t,解出x3常见的三种对数方程的一般解法(1) 方程loga f(x)二b(a .0,a=1,)的解法：“化指法”，即将其化为指数式f(x) = ab再 求解，注意需验根(2) 方程log a f x )= logg x( a( 产的解法：“同底法”脱去对数符号，得If(x) 0f(x)二g(x)，解出x后，要满足.g(x)0(3) 方程 Alog；x Blogax C = 0(a 0,a =1)的解法：用换元法，令logax=y , 将原方程化简为Ay2+By+C=Q然后解之.4.

8、方程与函数之间的转化。【例题解析】【属性】高三，幕函数、指数函数和对数函数，指数方程，解答题，中，运算【题目】解方程：9x-4 3x+3=0.【解答】解：由(3x)2-4(3)+3=0=(3x-1)(3x-3)=0= 3x=1 或 3 x=0 或 1.【属性】高三，幕函数、指数函数和对数函数，对数方程，选择题，中，运算【题目】方程 log2 log3(log5X) =0 的根是()A.1B.9C.25D.125【解答】答案：D .解:Iog3(log5x)=1=log5x=3.故选 D .【属性】高三，幕函数、指数函数和对数函数，对数方程，解答题，中，逻辑 思维【题目】2已知关于x的方程：2l

9、og ax-7 logax+3=0有一个根是2，求a值及另一个根【解答】7解：设另一根为m,TA 0，故由根与系数关系得:7log a2 (-log a2)=2log a 2 log a m = 23log a 2 * log a -3 二 a=4 或幼2 .2【属性】高三， 思维幕函数、指数函数和对数函数，对数方程，解答题，中,逻辑【题目】解关于x的方程:lg(ax-1)-lg(x-1)=1.【解答】解:由x -0X 1 1x1 0二 Jn *9二ax -1 = 10x -10(10_a)x=9x =ax=10(x -1)10 a9x(1a0(3) 方程 Alogjx BlogaX C =

10、0(a 0,a =1)的解法：用换元法，令logaXy ,将原方程化简为Ay2+By+C=Q然后解之.4.方程与函数之间的转化。5数形结合、分类讨论的数学思想方法【课后作业】【属性】高三，幕函数、指数函数和对数函数，对数方程，填空题，易，运算【题目】方程 log3(2x -1) =1 的解 x =【解答】答案：2【属性】高三，幕函数、指数函数和对数函数，指数方程，填空题，易，运算【题目】方程9x-63x-7=0的解是【解答】答案：x= log 3 7【属性】高三，幕函数、指数函数和对数函数，指数方程，填空题，中，运算【题目】X2为方程2x二丄x的两个实数解，则2x1x2 =【解答】答案：1-1

11、【属性】高三，幕函数、指数函数和对数函数，指对数方程，填空题，中，运【题目】解下列指数方程（1） 3x2-32=：80 ; （2） 3 16x 362 81x;X 1J【解答】答案：（1 ）设y =3X，原方程可化为9y2 _80y _9 = 0 ,解得y =9 或 y= -】（舍），即 x = 2，9所以原方程的解为 x = 2.（2）原方程可化为3 42x4x 92 92x，可化为所以1（舍），即，所以原方程的解为1 X =2（3）两边取对数得 x1 Ig5 二 x2 -1 lg3，即 x 1 汁Ig5 _ x _1 lg3 = 0，解得 x - -1 或 log 315，所以原方程的解为

12、 x = -1或x =log3 15 .【属性】高三，幕函数、指数函数和对数函数，指数方程，解答题，中，运算 【题目】若X。是方程1 =x的解，则X。属于区间A.20,1.，3【解答】C【属性】高三，幕函数、指数函数和对数函数，指数方程，解答题，难，运算【题目】已知函数f (x) =2X(1)若f (x) =2，求x的值;(2)若2tf (2t) mf (t0对于t 1, 2恒成立，求实数 m的取值范围【解答】x 1答案：解(1 )当 x ： 0 时，f(x) =0 ；当 x 0时，f(x)=2xx2 x 1由条件可知2xx =2，即22x-2j2x-1=02x解得 2x =1 _ .2/ x

13、 0 x = log2(1 2)1 1(2) 当 t 1,2时，2t(22t 一 尹)口-歹)一02t4t2t2t即 m(2 -1)_-(2 -1)，t 2 -10， m - -(21)t 1,2，-(22t 1) -17,-5故m的取值范围是-5, ：)【题目】解方程 Iog4(3-x)+log 1 (3+x)=log 4(1-x)+log 1 (2x+1)44【解答】解：由原方程得：Iog4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1)= (3-x) (2x+1)=(1-x) (3+x)解之:x=0或7，经检验知：x=0为原方程解.【属性】高三，幕函数、指数函数和对数函数，指数方程，解答题,【题目】解方程 9x+6x=22x+1【解答】33解：由原方程得：32x+3x 2x=2 22x，两边同除以宀“得：(上)2x+ (-)22易，运算x “-2=0.因式分解得：3 x 3 x()-1 ( ) +2=0.2 23 x3 xT () +20，.( )-1=0，x=0