命题及其关系充分条件与必要条件PPT课件

1、常常 用用 逻逻 辑辑 用用 语语 命题及命题及 其关系其关系 简单的逻简单的逻 辑联结词辑联结词 充分条件充分条件 必要条件必要条件 充要条件充要条件 量词量词 命题命题 充分条件充分条件 充要条件充要条件 必要条件必要条件 且且 全称量词全称量词 存在量词存在量词 全称命题全称命题 特称命题特称命题 或或 pq pq p q p q p q p 或 q非非 四种四种命题命题 原命题：若p则q逆命题：若q则p 否命题：若 p则 q逆命题：若 q则 p 互逆 互逆 互否互否 互为逆否 等价关系 四种命 题的相 互关系 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 1.命题的概念命题的概念 在数学中

2、用语言、符号或式子表达的，可以在数学中用语言、符号或式子表达的，可以_的的陈述句陈述句叫叫 做命题做命题. 其中其中_的语句叫真命题，的语句叫真命题，_的语句叫假的语句叫假 命题命题. 判断真假判断真假判断为真判断为真 判断为假判断为假 2.四种命题及其关系四种命题及其关系 (1) 四种命题四种命题 原命题 若p则q 逆命题 若q则p 否命题 若 p则 q 逆否命题 若 q则p 互为逆否互为逆否 同真同假同真同假 互为逆否互为逆否 同真同假同真同假 互逆互逆 互逆互逆 互否互否 互否互否 (2) 四种命题间的逆否关系四种命题间的逆否关系 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 原命题原命题逆

3、命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题 假假 真真真真真真真真 真真 真真真真 真真 假假 假假 假假假假 假假假假 假假 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性. 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. (3)四种命题的真假关系四种命题的真假关系 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 pq, 相当于A B , 即 从集合角度理解：从集合角度理解： (1)若pq, 则p是q的_. 3.充分条件与充分条件与必要条件必要条件 (2)若q p, 则p是q的_. 或 q p, 相当于B A, 即 (3)若q p, 则p是q的 _. p q, 相当于A= B, 即 充分条件充分条件

4、必要条件必要条件 充要条件充要条件 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 ( 设集合Ax|x满足条件p , Bx|x满足条件q ) 或 3 充充分分不不必必要要 D C 题号题号答案答案 1 2 3 4 5 例1. 以下关于命题的说法正确的有_ (填写所有正确命题的序号). “若log2a0，则函数f(x)logax (a0，a1)在其定义域内 是减函数”是真命题； 命题“若a0，则ab0”的否命题是“若a0，则ab0”； 命题“若x, y都是偶数,则xy也是偶数”的逆命题为真命题； 命题“若aM，则b M”与命题“若bM，则a M”等价. (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题

5、真假的关键;(2)根据“原命题与 逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易 进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例. 对于，若log2a0，则a1 f(x)logax在其定义域内是增函数; 对于，其逆命题是“若xy是偶数,则x, y都是偶数”, 是假命题. 有下列四个命题： “若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题； “全等三角形的面积相等”的否命题； “若q1，则x22xq0有实根”的逆否命题； “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中真命题的序号为_. 的逆命题是“若x, y互为相反数,则xy0”, 真真； 的否命题是

6、“不全等的三角形的面积不相等”,假假； 若q1，则44q0，所以x22xq0 有实根,其逆否命题与原命题是等价命题, 真真； 的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边 三角形”, 假假. (2) p：xy8， q：x2且且y6， p是是q的的充要条件充要条件. (1) ABab sinsin,AB 即即 q是是 p的充分不必要条件，的充分不必要条件， 显然显然 q p，,pq 但但 所以所以p是是q的的充分不必要条件充分不必要条件. 解解: (3)显然xAB不一定有xB , (4)条件p：x1且y2，条件q：x1或y2, 但xB一定有xAB , 所以p是q的必要不充分条件必要不充分条件. 所以

7、p q 故p是q的充分不必要条件充分不必要条件. ,qp但但 判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是 由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思 想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否 命题的等价性，转化为判断它的等价命题. 对于,当数列an为等比数列时, 易知数列anan1是等比数列; 但当数列anan 1为等比数列时，数列an未必是等比数列,如数列1, 3, 2, 6, 4, 12, 8显然不是等比 数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此正确； 对于，当a2时，函

8、数f(x)|xa|在区间2，)上是增函数，因此不正 确； 对于，当m3时，相应两条直线垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定 有m3，也可能m0.因此不正确； 例例3. 求证：关于求证：关于x的方程的方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件是至少有一个负实根的充要条件是a1. 2 0 , 1 0 a a 且且 则则或或 440 12 00, 1 0 a aa a (1)(1)条件已知证明结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性条件已知证明结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性.(2).(2)证明证明 分为两个环节，一是充分性；二是必要性分为两个环节，一是充分性；二是必要性. .

9、证明时，不要认为它是推理过程的证明时，不要认为它是推理过程的“双向双向 书写书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明.(3).(3)证明时易出现必证明时易出现必 要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论. . 已知数列an的前n项和Snpnq(p0，且p1)，求证：数列an为等比数列的 充要条件为q1. 已知数列an的前n项和Snpnq(p0，且p1)，求证：数列an为等比数列的 充要条件为q1. 等价转化思想在充要条件关系中的应用等价转化思想在充要条件关系中的应用 (

10、1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简. (2)再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组，得 出结论. 且且,.qppq 且且. .,pqqp .AB 0, 12, 110. m m m 得得 9.m所所以以 ,AB由由 0, 12, 110. m m m 或或 99,mm 即即或或 8分 12分 p是q的充分而不必要条件， 0, 12, 110, m m m 9.m所所以以 0, 12, 110. m m m 或或 99,mm 即即或或 12分 .PQ 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将 复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决.一般地，在涉及字 母参数的取

11、值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等 关系来考虑，这是破解此类问题的关键. 1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提,也就是大前 提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时,应把其中一个(或n 个)作为大前提. 2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命 题有真假之分，而定理都是真的. 3.命题的充要关系的判断方法 (1)定义法：直接判断若p则q, 若q则p的真假. (2)等价法：利用AB与 B A，BA与 A B，AB与 B A的等价关 系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判

12、断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要 条件；若AB，则A是B的充要条件. 1.否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否 定是只否定命题的结论.要注意区别. 2.判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分 条件与必要条件方向正好相反，不要混淆. 作业纸作业纸: 课时规范训练课时规范训练:P.1- -2 预祝各位同学，预祝各位同学， 20132013年高考取得好成绩年高考取得好成绩! ! 一、选择题一、选择题 二、填空题二、填空题 题号题号123 答案答案DBA 6.3,8) 4. 充充分分不不必必要要 5. A组组专项基础训练题组专项基础训练题组 三、解答题

13、三、解答题 三、解答题三、解答题 且且.qppq 则则|.x xqx xq 一、选择题一、选择题 二、填空题二、填空题 题号题号123 答案答案ACB 6. 3 4.(,1)(1,) 4 5.1,2) B组专项能力提升题组组专项能力提升题组 7. 3或4 三、解答题三、解答题 2 ,. 2 , 312 是是的的 充充 分分 条条 件件pqAB a aa 351 . 32 即即a 1 （2）a a2 2+2+2a a, B=, B=x|axax|axa2 2+2+2. 由由得得 ，AB 2 31, 22 aa a 11 . 23 a 11135 ,),. 2332 （ 4.4.充分充分( (必要

14、、充要必要、充要) ) 条件的判别方法条件的判别方法 分清条件与结论分清条件与结论 找推式找推式(尝试用条件推结论尝试用条件推结论,再尝试用结再尝试用结 论推条件）论推条件） 下结论下结论(指出条件是结论的什么条件）指出条件是结论的什么条件） (1)定义法判断 (2)集合法判断(利用集合之间的包含关系) (3)转化法判断(等价命题) (4)传递法判断 从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出 小范围小范围. 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 (1)定义法：判断定义法：判断p是是q的什么条件，的什么条件，实际上就是判断实

15、际上就是判断p q或或q p是否成立，是否成立， 只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即 可判断可判断. 若若pq， 则则p是是q的充分条件；的充分条件； 若若qp， 则则p是是q的必要条件；的必要条件； 若若pq且且qp，则，则p是是q的充要条件；的充要条件； 若若pq且且q p， 则则p是是q的充分不必要条件；的充分不必要条件； 若若p q且且qp， 则则p是是q的必要不充分条件；的必要不充分条件； 若若p q且且q p，则，则p是是q的既不充分也不必要条件的既不充分也不必要条件. 4.4.充分充分( (必要、充

16、要必要、充要) ) 条件的判别方法条件的判别方法 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 (2)集合法：在对命题的条件和结论间的关系判断有困难时，有时可以集合法：在对命题的条件和结论间的关系判断有困难时，有时可以 从集合的角度来考虑，从集合的角度来考虑，记条件记条件p、q对应的集合分别为对应的集合分别为A、B，则：，则： 若若AB，则，则p是是q的充分条件；的充分条件； 若若AB，则，则p是是q的充分非必要条件；的充分非必要条件； 若若AB，则，则p是是q的必要条件；的必要条件； 若若AB，则，则p是是q的必要非充分条件；的必要非充分条件； 若若A=B，则，则p是是q的充要条件；的充要条件；

17、 若若A B，且，且A B，则，则p是是q的既非充分条件也非必要条件的既非充分条件也非必要条件. 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 (3)用命题的等价性判断：用命题的等价性判断： (“若若p，则，则q”) 原命题为真而逆命题为假，原命题为真而逆命题为假，p是是q的充分不必要条件；的充分不必要条件； 原命题为假而逆命题为真，则原命题为假而逆命题为真，则p是是q的必要不充分条件；的必要不充分条件； 原命题为真，逆命题为真，则原命题为真，逆命题为真，则p是是q的充要条件；的充要条件； 原命题为假，逆命题为假，则原命题为假，逆命题为假，则p是是q的既不充分也不必要条件的既不充分也不必要条件.同

18、时要注意反同时要注意反 例法的运用例法的运用. (4)传递法判断srp q 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 例例1.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真 假：假： （1）若）若AB=U，则，则A= UB. 逆命题逆命题 否命题否命题 逆否命题逆否命题 若若A= UB,则 则AB=U 若若ABU,则则 A UB 若若A UB,则 则ABU 真命题真命题 真命题真命题 假命题假命题 写成写成“若若p p，则，则q q”的形式的形式 写出逆命题、否命题、逆否命题写出逆命题、否命题、逆否命题判断真假判断真假 思维

19、启迪思维启迪 (2)若x+y=5,则x=3且y=2. 逆命题： 若x=3且y=2，则x+y=5, 真命题. 否命题：若x+y5，则x3或y2，真命题. 逆否命题：若x3或y2，则x+y5,假命题. 例例1.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真 假：假： 判断：若x+y5，则x3或y2. 【1】若命题若命题p的逆命题是的逆命题是q，命题，命题p的否命题是的否命题是r，则，则q是是r 的的( ) A.逆命题逆命题 B.否命题否命题 C.逆否命题逆否命题 D.以上判断都不对以上判断都不对 C 设设 p：若：若a，则，则b

20、， 则则q：若：若b，则，则a， r：若：若a，则，则b. 所以所以q是是r是逆否命题是逆否命题. 14m n 【2 2】若若mn0,则方程则方程mx2- -xn0有两个有两个不相等不相等的实数根的实数根. 若方程若方程mx2- -xn0有两个相等的实数根或无实数根，则有两个相等的实数根或无实数根，则mn0. 逆否命题：逆否命题： 若方程若方程mx2- -xn0有有两个相等的实数两个相等的实数根，则根，则mn0. 命题的否定：命题的否定：零的平方零的平方不等于不等于0 0. . 否命题： 非零数的平方不等于0. 命题的否定：平行四边形的对角线不相等或不互相 平分. 否命题： 若四边形不是平行四

21、边形,则它的对角线不相 等或不互相平分. 【3】 写出下列命题的否定与否命题写出下列命题的否定与否命题 零的平方等于零的平方等于0. 平行四边形的对角线相等且互相平分平行四边形的对角线相等且互相平分. 例例2.下列各小题中，下列各小题中，p是是q的充要条件的是的充要条件的是( ) p:m6,q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零有两个不同的零点；点； p: , q: y=f(x)是偶函数；是偶函数； p:cos =cos, q:tan =tan; p: AB=A, q: UB UA () 1 () fx fx A. B. C. D. D 充要条件的判断：充要条件的判断： （1）分清命题的条件

22、与结论；）分清命题的条件与结论； （2）常用方法有：）常用方法有：定义法定义法,集合法集合法,变换法变换法(命题的等价变换命题的等价变换)等等. 【1】a b成立的充分不必要的条件是成立的充分不必要的条件是( ) A. acbc B. D D ab cc C. a+cb+c D. ac2bc2 【2】已知p:|2x- -3|1; q: ,则 p是 q的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A 2 1 0 6xx :21pxx或或:23qxx 或或 ,:sinsin(), :,() 2 p qpq 已已知知 、均均为为锐锐角角 若若 则则 是是 的的 A

23、. 充分而不必要条件充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件必要而不充分条件 C. 充要条件充要条件 D. 不充分也不必要条件不充分也不必要条件 取取则则,sinsin(), 63 0,sinsin(),. 2 qp 若若则则 ,. 2 pq 但但 B B 【3】 【4】 “sinAsinB”是是“AB”的的_条件条件.既不充分又不必要既不充分又不必要 充要充要 【5】在在ABC中中, “sinAsinB”是是 “AB”的的_条件条件. 【6】在在ABC中中, “B=60”是是 “A, B, C成等差数列成等差数列”的的 _条件条件.充要充要 7.若非空集合若非空集合A,B,C满足满足AB=C

24、,且且B不是不是A的子集，则的子集，则“xC ”是是 “xA”的的( ) B B A.充分但不必要条件充分但不必要条件 B.必要但不充分条件必要但不充分条件 C.充要条件充要条件 D.既不充分条件也不必要条件既不充分条件也不必要条件 由由AB=C，则，则A C且且B C，故，故xA,则则xC 8.已知已知P: xy2009；Q：x2000且且y9,则则P是是Q 的的 _条件条件. 解解: 逆否命题是逆否命题是x2000或或y9 xy2009不成立，不成立， 既不充分又不必要既不充分又不必要 显然其逆命题也不成立显然其逆命题也不成立. . PQ PQ 例例2.求证：关于求证：关于x的方程的方程x

25、2mx10有两个负实根的充要条件是有两个负实根的充要条件是m2. 证明：证明：(1)充分性：因为充分性：因为m2，所以，所以m240， 所以方程所以方程x2mx10有实根有实根. 设设x2mx10的两个实根为的两个实根为x1、x2， 由根与系数的关系知由根与系数的关系知x1x210. 所以所以x1、x2同号同号. 又因为又因为x1x2m2， 所以所以x1、x2同为负根同为负根. 证明：证明：(2)必要性必要性:因为因为x2mx10的两个实根的两个实根x1,x2均为负，均为负， 且且x1x21， 所以所以m2(x1x2)2 所以m2. 综合(1)(2)知命题得证. 1 1 1 ()2x x 2

26、1 1 (1) 0, x x 例例2.求证：关于求证：关于x的方程的方程x2mx10有两个负实根的充要条件是有两个负实根的充要条件是m2. 则则 440, 1 0, 2 0, a a a 解得0a1. 1 1. 求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件. 解解: (1)a=0适合. (2)a0时，显然方程没有零根. 若方程有两异号实根，则a0； 若方程有两个负的实根，则 因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件是a1. 综上知，若方程至少有一个负实根，则a1. 反之，若反之，若a1,1,则方程至少有一个负的实根，则方程至少有一个负的实根， 解：设Ax

27、|(4x3)21， Bx|x2(2a1)xa(a1)0， 易知Ax| x1， Bx|axa1. 1 2 11 , 22 11.11. aa aa 或或 故所求实数a的取值范围是 1 0,. 2 从而p是q的充分不必要条件，即 .AB 例例5函数函数f(x) ax3 ax22ax2a1的图象经过四个象限的一个充分但不必要的图象经过四个象限的一个充分但不必要 条件是条件是 () 1 3 1 2 41 A . 33 a 1 B .1 2 a 63 C . 516 a D .20a 【解析解析】f (x)a(x2)(x1)， 函数函数f(x)在在x2和和x1处取得极值，如图所示处取得极值，如图所示.

28、B B 函数函数f(x)的图象经过四个象限的充要条件是的图象经过四个象限的充要条件是f(2)f(1) 0， 解之得， 63 . 516 a 63 (,). 516 1 (1,) 2 在四个选项中只有在四个选项中只有 B 45,mm 2.若非空集合若非空集合A,B,C满足满足AB=C,且且B不是不是A的子集，则的子集，则“xC ”是是 “xA”的的 ( )B B A.充分但不必要条件充分但不必要条件 B.必要但不充分条件必要但不充分条件 C.充要条件充要条件 D.既不充分条件也不必要条件既不充分条件也不必要条件 由由AB=C，则，则A C且且B C，故，故xA,则则xC 解题是一种实践性技能解题

29、是一种实践性技能, ,就象游泳、滑雪、弹钢就象游泳、滑雪、弹钢 琴一样，只能通过模仿和实践来学到它！琴一样，只能通过模仿和实践来学到它！ 波利亚波利亚 对于,当数列an为等比数列时, 易知数列anan1是等比数列; 但当数列anan 1为等比数列时，数列an未必是等比数列,如数列1, 3, 2, 6, 4, 12, 8显然不是等比 数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此正确； 对于，当a2时，函数f(x)|xa|在区间2，)上是增函数，因此不正 确； 对于，当m3时，相应两条直线垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定 有m3，也可能m0.因此不正确； 则则或或 440 12 00, 1 0 a aa a (1)(1)条件已知证明结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性条件已知证明结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性.(2).(2)证明证明 分为两个环节，一是充分性；二是必要性分为两个环节，一是充分性；二是必要性. .证明时，不要认为它是推理过程的证明时，不要认为它是推理过程的“双向双向 书写书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明.(3).(3)证明时易出现必证明时易出现必 要