常微分方程练习题及答案(复习题)

1、常微分方程练习试卷 填空题。 (线性、非线性)微分方程. 3 d2x 1.方程X 一2 dt2 2.方程冬gy y dx f(xy) 经变换 ，可以化为变量分离方程 d3y 3.微分方程 乂 dx3 0满足条件y(0) i,y(0) 2的解有 4.设常系数方程y X e的一个特解 y (x) 2x e X xe ，则此方程的系数 5. 朗斯基行列式 W(t) 0是函数组 b上线性相关的 6. 7. 条件. 2 2 方程 xydx (2x 3y 20)dy0 的只与y有关的积分因子为 已知X A(t)X 的基解矩阵为 (t)的，则 A(t) 8. 方程组X 9. 可用变换 将伯努利方程 空7宀

2、日疋化为线性方程. 10 . y = 1是满足方程y 2y 5y y 1 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式： 12.三阶常系数齐线性方程y 2y y 0的特征根是 0 X的基解矩阵为 5 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程， 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. dy 2.求解方程 dx d2x 3.求解方程X dt2 4.用比较系数法解方程.X+4k二也-2 5.求方程y y sin X 的通解. 2 2 6.验证微分方程(cos XS in X xy )dx y(1 x )dy 0是恰当方程，并求出它的通解. 7. 8. dy 求方程 dx

3、 9. 10.若 三、证明题 2x 1 (%3 dx 1.若(t), 2.设(X)( 3y2 4xydy dx (t)是 X Xo,X y(x) yo dX ，试求方程组 1dt AX 的一个基解基解矩阵 通过点 (1,0) 的第二次近似解. 8y2 的通解 (t) dt AX 满足初始条件 x(0) 试求方程组X Ax的解(t), (0) 并求expAt A(t)X 的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵 )是积分方程 x 2 2y( ) d , x0 Xo,X C，使得 (t) (t)C. 的皮卡逐步逼近函数序列 n(x) 在,上一致收敛所得的解，而 (x) 是这积分方程在, 上的连续

4、解，试用逐步逼近法证明：在 ,上(x) (x). 3.设歹卫都是区间(一叫他)上的连续函数，且是二阶线性方程尸0的一个基本解组.试证明: (i) 和讦(X)都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和疔(对没有共同的零点； (iii) 0和0没有共同的零点. 4.试证：如果 (t)是必 AX 满足初始条件 答案 一.填空题。 1. 二，非线性 2. 5.必要 6. dt 7. (to) 的解，那么 (t) e申 A(t t0) xy， u(f(u) 1)du Idx 3. x 无穷多 4. 3, 2, (t) 1(t) 1 (4y2)3 代入（*）得 试求方程组 A

5、x的解 3 x 27 也是方程的解 (t),(0) ，解得12 并求expAt ，此时 k=1, n12 v (t) 1 ti FA 3E)i 由公式expAt= exp At 三、证明题 1.若(t), n 1 xi E)i e3t t( t( 2) 2) e3t E t(A 3E) e3t (t)是 X 证： (t) 是基解矩阵，故 e3t A(t)X 的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵 C，使得 (t) (t)C. 1(t) 存在，令X(t) 1(t) (t)， 则 X(t) 可微且 detX(t) o，易知(t) (t)X(t). 所以(t) (t)X(t) (t)X (t)

6、A(t) (t)X(t) (t)X (t) A(t) (t) (t)X (t) (t) A(t) (t)，所以 (t)X (t)0， X (t) o, X(t) C (常数矩阵)，故 (t) (t)C . 2.设(X)( XoX )是积分方程 y(x) yo X 2 x 2y( ) d , Xo,X 的皮卡逐步逼近函数序列 n(x) 在,上一致收敛所得的解，而 (X) 是这积分方程在 ,上的连续解，试用逐步逼近法证明：在,上(X) (X). 证明：由题设，有 (x) yo X xo 2 ( ) d , o(x)yo, yo X Xo n1() d , Xo,X 1,2,). 下面只就区间xo

7、上讨论，对于 Xo的讨论完全一样。 因为|(x) X (2| )| 1|)d M (xXo), 其中M 所以 |(X)1(x)1( Xo X0 2| () o( X )l)d L M( Xo Xo)d 匹(X 2! Xm?aXX2 1 (X)I |X|， x。)2. 2 其中 L maxx2 , 设对正整数 X , n 有 I （X） i(x)| na.n1 ML n! （X Xo）n，则有 I（X） n(X)| (2| nl( )I)d LXMLn1 故由归纳法，对一切正整数 I（X） ki(X)| X0 MLk1 k! (X Xo)k MLk1 k! )k 而上不等式的右边是收敛的正项级数

8、的通项，故当 时，它 0, 因而函数序列 n（X）在 XoX 上一致收敛于 （X） .根据极限的唯一性，即得 3. （X） (X)，XoX n!( xo n I X0)d -M(x (n 1)! Xo)n1 设囚卫都是区间d皿）上的连续函数，且耐）胪是二阶线性方程X+PWy知尸0的一个基本解组. 试证明： (i) 0盂和评（X）都只能有简单零点（即函数值与导函数值不能在一点同时为零）； (ii) (iii) 0和0没有共同的零点. 证明： 卩（R和財（X）的伏朗斯基行列式为 etc 皿) 因卩w和附w是基本解组，故 硏（X）汇 0 （X 巴（一00,+00） 若存在心巨Z冋，使得畑=畑=0 ,则由行列式性质可得 叫）=0 ,矛盾.即 密（X）最多只能有简单零点.同理对叭兀）有同样的性质,故（i）得证. 若存在心便（Yog,使得夙坯=帆心）=0，则由行列式性质可得叭坯）=0,矛盾.即卩W严W无共同零点.故（ii）得证. 若存在Eg使得0仇）W（疝=0，则同样由行列式性质可得琢（小0,矛盾. 即B与0无共同零点.故（iii）得证. 4.试证：如果（t） dX dt AX满足初始条件（t0） 的解，那么（t） e申A（tt0） .证明：因为(t) exp At是