2-拉姆齐模型

1、第三章 无限期界模型（拉姆齐模型） 一、问题的提出 在索洛模型中，储蓄率s被假定为外生参数，储蓄率的变动将影 响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。当s sgold时，与最优储 蓄（相对应于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即 “过度积累”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无 效的。当S ： Sgold时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权衡 参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。 图示：S的变动对稳态和动态的人均消费的影响 t 那么，储蓄率是如何决定的？必须引入消费者（家庭）行为来分 析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即储蓄率的“内生化” 二、模型假定

2、1完全竞争市场结构 2. 长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主 义的代际转让） 3. 家庭和个人完全同质 4. 忽略资本的折旧 5. 暂不考虑政府行为 在简单经济中，家庭与厂商之间的关系： 二、厂商行为 沿用新古典生产函数丫二F(K,AL) 根据欧拉定理，丫二K ：丫 Al AL &K HAL) 其中，资本的边际产品为： 丫 二f(k) = r (真实利率) ；:K 有效劳动的边际产品为： :丫 =f (k) _ kf(k) = w (工资率) ：(AL) 四、家庭行为 1一些假定和符号 总人口为L,以速率n增长，L(t)二L(0)ent ； 家庭的个数为H，每个家庭有L/H个

3、人； 每个家庭成员在每一时点上提供1单位劳动； 资本最初存量为K(0)，每个家庭初始资本存量为 K(0)/H 2. 家庭效用函数和即期效用函数 定义家庭效用函数(也称作“幸福函数”)为： :_. t uC(t) t 二 o -(-n )t e uC(t) L(0) H dt 其中，C(t)为每个家庭成员的消费，u(*)为即期效用函数，为 贴现率(，越大表明与现期消费相比远期消费的价值就越低)。 注意：tuC(t)表示将第t期的消费的效用按照贴现到第0 期，即 uC(t) = lim uC (0)( ) = uC(0)e：t ,。 tTO 即期效用函数的形式为: uC (恥込宀0 , 1 -日

4、P_n_ (1 -日)g：0 该函数具有以下三个特点: (1) 边际效用弹性不变，为 定义边际效用弹性 叫9 =-竺 dC u u (2) 跨期替代弹性不变，为1/二，表示相对风险回避系数不变 【证明】下标1，2表示两期的消费，定义跨期替代弹性为： d(C1/C2)/d(P1/ P2) CJ = 一 (C1/C2)/(P1/ P2) 由消费者均衡条件得: u(C1) _ P1 u(C2) P2 代入得， d (C1 /C 2)u(C1)/u(C2) a - du(C1) /u(C 2)C1/C2 其中，u(C1)/u(C2) = MRS (边际替代率) 可见，d(C1/C2)是射线比率的变化率

5、, C1/C2 du(C1)/u(C 2)是切 u(C1)/u(C2) 线斜率的变化率 令时间1趋近于2,得到瞬时弹性、二 心)(常数相对风险 u(C)C 回避系数) C (t)1龙 根据uC(t)二 有： 1 -日 u(c)二，u(c)- “c一1，贝卩二=1 /- C 1 一0 1 C 1 例如：一个两期的效用函数为U2,可以证明 1 日 1 + P 1 B - 1 /二(思考：为什么？)。 常数替代弹性意味着与 C无关，因此在消费选择上没有不确定 性。但二决定了家庭在不同时期转换消费的愿望，d越小，家庭越愿 意接受消费较大的波动。 (3) 边际效用u(C)为正；当二1时，边际效用随C增加

6、而增 加，当二1时，边际效用随C增加而减少。 (4) r -n- (1-旳g 0是为保证效用不发散(受到约束)。 3. 考虑有效劳动的家庭效用函数和即期效用函数 考虑劳动增进型的技术进步，并定义每单位有效劳动的平均消费 为c(t)，有： gt A(t)二 A(O)e C(t)二 A(t)c(t) 注意：家庭总消费 C(t)L(t)/H=c(t)A(t)L(t)/H 代入即期效用函数得: uC(t)- c(t)i 1 -0 A(t)c(t)- 1-9 gt A(O)e c(t)1.(1 gt c(t) A(0) e 1 - 0 再代入家庭效用函数，得: -.1L(t) euC(切百dt -(一

7、n )tL (0) teuC(t)pdt :e A(0)e()gt c(t) 1 L(0) ：_( ._n)t (1 . jgt c(t) 二A(0)e)g3 dt H J1 -日 i -二 dt 1 -二 L(0):_( J_n) _(1 _ti) gt c(t) 珂 a(0)石-te 1 _i :.|：t c(t) =B edt 其中，B三屮)1710 卩三 n -(1 - r)g 0 (收敛条件) 4. 家庭的跨期预算约束 家庭面临的预算约束：其一生消费的现值不能超过其初始财富加 上一生的收入(利息r和工资w,均为外生变量)。 定义R二：prC)d ，因此在0期投资的1单位产品在t期产生

8、 eR(t)单位的产品，它说明在期间0,t上连续以复利计算利息的结果。 e _R(t)为现值因子。当r不变为r时，则R=rt。(思考：如果r是变动 的，平均r怎样表示？) 家庭t期的劳动收入为w(t) A(t)L(t)/H，消费支出是C(t)L(t)/H， 则家庭的跨期预算约束为： e_R(t)C(t) L(t) K(0) H 0e_R(t)A(t)w(t) 类似的，考虑劳动增进型的技术进步，并定义每单位有效劳动的 平均消费为c(t)和每单位有效劳动的初始平均资本k(0)，有： gt A(t) = A(0)eg C(t)= A(t)c(t) K(0)= k(0)A(0)L(0)/H 代入得：

9、a _R(t) e c(t) dt 辽 k(0) A(0)L(0) H od e -R(t) w(t) 迪ddt 再考虑有效劳动的增长，A(t)L(t)二A(0)L(0)e(n g)t 代入，并在两边消去 A(0)L(0)/H，得： 严R(t)(n+g)t* 弋 |+ 严-R(t) (n+g)t td0ec(t)e dt 二 k(0) te e w(t)dt 5. 横截面条件 利用家庭资本持有量的极限形式来表示预算约束(等价命题) 已知 K(0) H :e-R%(t)S H dt 一 0，故 K(0)：_R(t)L(t) e ( w(t) - c(t)A(t) dt 一 0 H t mH 将积

10、分改写成为极限形式，有： lim v): K(0) H t0e_Rw(t) _ c(t)A(t) 也 dt 一 0 H 定义第V期的家庭资本持有量的总和为: K(V) R(v) e H tV0eR(V)_R(t)w(t) _c(t)A(t)dt H tH 右式第一项表示第V期的初始资本存量的贡献(非负)，第二项 表示两期之间的储蓄贡献(可正可负) 整理有： 3)宀 HH teRw(t) - c(t)A(t) L(t) H dt K(0) H vR (t ) t=0e_()w(t)_c(t)A(t) -R(v) K (v) =e H 代入极限形式的预算约束得: lim R(v) KSvl _ o

11、，表示家庭持有资产的现值的极限为非负 J：H 由于 K (v) = e(n g)vk(v) 因此，lim e(v)e(n g)vk(v0 vt 30 6.家庭的最优化问题 根据前面的推导已知 a.家庭的最大化目标函数(幸福函数) 1 _j0 旳_ptc(t) r U - B edt o 1 - b .跨期预算约束: :-R(t)(n g)t: e c(t)e dt 二 k(0) t e -R(t)e(n g)tw(t)dt (均从有效劳动的人均情况来考虑) 因此可以构造拉格朗日函数: 1 r :!：tc(t):-R(t) edt k(0) e e ne1t =0 (g)tw(t)dfR(t)c

12、(t)e(g)tdt 求解最优的c(t)使i最大，对c(t)求导数，得到一阶条件为: Be_c(t)_ 飞皿丁3 两边取对数得: In B 一 ：t - j In c(t) = In ，一 R(t) (n g)t 两边再对t求导数，有： 门 c(t) r (t) (n g) c(t) 因此， c(t) - r (t) _n_ g_：- r (t) _nn_ (1_J)g c(t) r(t) 弋 e 这就是描述c调整路径的“欧拉方程”，它表明家庭可以在不改 变一生支出的现值的情况下通过调整其消费增加一生的效用。 对欧拉方程的理解： C(t) r(t) -迪 _ r(t) - c(t) 0 g c

13、(t) c(t) A(t) r(t)- g + c(t) c(t) A(t) e 已知，C(t)=c(t)A(t) * 则 C(t) c(t) A(t) !：Z r(t)- C(t) c(t) A(t) Q 因此，当 r(t)时，C(t)0；当 r(t) ：时，C(t)k*时，f(k(t)均,则C(t) 0； * 当 k0。 图示： c * c=0 i b c0 c0 k* 3. k和c的动态学(k和c的微分方程组和横截面条件共同构成) (1)综合上两图，有以下相位图: 【证明】 f(kgoid ) = (n g) , f(k* (t) 一,而收敛条件 - n -(1 -旳 g 0，故 f(k

14、goM ) k(gold)时，追求跨期最优 化的家庭将降低储蓄，使k收敛于k*，且k*k(gold)。 定理3：经济不收敛于产生最大c (即c(gold)的平衡增长路径， 而是收敛于一个较低的水平c*。 【证明】c*c(gold)的前提是t - n -(1 - = )g 0，它表明贴现率 较高，家庭和个人更重视现期消费，而不是未来消费。 图示(在索洛模型中当s低于s(gold)时提高s的影响)： 八、比较静态和动态转移：贴现率的变动 贴现率，变动的含义：相当于索洛模型中储蓄率的变动。 比较静态：由c的稳态条件f(k*)乜可知，当贴现率，下 降时，k*提高，因此c(t) =0线右移，导致c和k*都增加。 图示: cc=0 动态转移：k连续变化，而c瞬时变化，均沿鞍点路径收敛于新 均衡点E 思考：在动态转移过程中p、ln(Y/L)、c、k、s的轨迹是什么? 此外，贴现率下降将可以使人均消费达到黄金律水平的平衡增 长。 九、基本结论 1拉姆齐模型没有改变索洛模型关于经济增长平衡路径的基本 结论。 2. 索洛模型可以被看作是拉姆齐模型的一个特例，它必须对应 于后者特殊的参数和稳态。 3. 拉姆齐模型的特点在于从家庭和个人的跨期消费行为的微观 基础出发决定稳态的消