12第12讲--分式方程

1、12第12讲-分式方程 第 12 讲 分式方程 本讲重点：分式方程的概念、解法及其应用 【考点链接】 1分式方程 : 分母中含有的方程 叫分式方程 . 2解分式方程的一般步骤： （1）去分母，在方程的两边都乘以， 约去分母，化成整式方程； （2）解这个整 式方程； （3）验根，把整式方程的根代入， 看结果是不是零，使最简公分母为零的根 是原方程的增根，必须舍去 . 3分式方程的应用： 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类 似，不同的是要注意检验： （1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否. 【典例探究】 考点 1 分式方程的解法 例 1（ 1）（ 2012 梅州）解方程： 2）

2、（2012 苏州）解分式方程： （3）（2012 山西）解方程： 解析（1）方程两边都乘以（ x+1）（ x1）， 得 4（ x+1）（x+2）=（x21），整理，3x=1， 解得 x= 经检验，x= 是原方程的解 故原方程的解是 x= （ 2）去分母得： 3x+x+2=4，解得： x= ， 经检验， x= 是原方程的解 （ 3）方程两边同时乘以 2（3x 1），得 4 2（ 3x 1） =3， 化简， 6x=3，解得 x= 检验：x= 时，2（3x 1）=2（ 3 1）0 所以，x= 是原方程的解 备考兵法解分式方程分三大步骤： （ 1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母， 化分式方程为整式

3、方程； （2）解这个整式方程； （3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果 是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增 根，应舍去 . 使最简公分母不为零的根才是原方 程的根 . 考点 2 列分式方程解应用题 例 2（ 2012珠海）某商店第一次用 600 元购 进 2B铅笔若干支，第二次又用 600 元购进该款 铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍， 购进数量比第一次少了 30 支 （1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部 销售完毕后获利不低于 420 元，问每支售价至少 是多少元？ 解析（1）设第一次每支铅笔进价为 x 元，根 据题意列方程得，

4、 =30， 解得， x=4，检验：当 x=4 时，分母不为 0，故 x=4 是原分式方程的解 答：第一次每只铅笔的进价为 4 元 （ 2）设售价为 y 元，根据题意列不等式为： （y 4）+ （ y5）420，解得，y6 答：每支售价至少是 6 元 备考兵法分式方程的应用，解题时要检验， 先检验所求 x?的值是否是方程的解，再检验是 否符合题意 考点 3 探究型问题 例 3（2011 杭州市模拟）阅读下列材料解答 下列问题： 观 察 下 列 方 程 ： 1 x 2 3 ； 2 x 6 5 ； 3 xx x 12 7 x （ 1 ）按此规律写出关于 x 的第 n 个方程 为 ，此方程的解为 2n

5、 2(n 2)的解 . n(n 1) x x1 解析（1） x n(n 1) 2n 1； x x1 n,x2 2) x 1 n(n 1) n n 1. x1 由(1)得x x1 n 1 经检验， 1 n, 1， 2 . 2 是原方程的解 . 备考兵法 考查简单情形提出猜想是解这类问 题的关键. x1 n 1 ， x2 x2 （2）根据上述结论， 求出 x11的解是（） x1 【当堂过关】 1. （2012宿迁模拟）方程 x2x1 1 x1 A、 1 B、2 C 、1 D、0 解析方程的两边同乘 （x+1），得 2xx1=1， 解得 x=2，检验得原方程的解为 x=2 答案 B 2. （2012

6、 东营市模拟）分式方程 2 x 1的 2x 4 x 2 2 解为（ ） A、 x 5 2 无解 解析方程的两边同乘 2（x-2 ），得 3-2x=x-2 ， 解并检验得 x 53 x 53 C 、 x=5 D 答案 B 3. （ 2012 长春模拟）小玲每天骑自行车或步行 上学，她上学的路程为 2800 米，骑自行车的平 均速度是步行平均速度的 4 倍，骑自行车比步行 上学早到 30 分钟设小玲步行的平均速度为 米 / 分，根据题意， （ 面列出的方程正确的是 A ) 2800 2800 - =30 x 4x B 2800 - 2800 =30 4x x C 2800 - 2800 =30 5

7、x D 2800 - 2800 =30 5x 解析根据时间 =路程速度，以及关键语“骑 自行车比步行上学早到 30 分钟”可得出的等量 关系是：小玲上学走的路程步行的速度小玲 上学走的路程骑车的速度 =30 答案 A 4. （2012 重庆模拟）有四张正面分别标有数字 3，0，1，5 的不透明卡片，它们除数字不同 外其余相同 现将它们背面朝上， 洗匀后从中任 取一张，将该卡片上的数字记为 a，则使关于 x 的分式方程 1 ax 2 1 有正整数解的概率 x 2 2 x 为 解析解分式方程得： x=22a ，能使该分式方 2a 程有正整数解的只有 0（a=1 时得到的方程的根 为增根），使关于

8、x 的分式方程 1x a2x 2 21x有 x 2 2 x 正整数解的概率为 1 4 答案 1 4 5. （2012 连云港 ）今年 6 月 1 日起，国家实施了 中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使 用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台， 客户可获财政补贴 200 元，若同样用 11 万元所 购买的此款空调数台，条例实施后比实施前多 10%，则条例实施前此款空调的售价为 元 解析假设条例实施前此款空调的售价为 x 元，根据题意得出 110000 （1 10%） 110000，解得： x x 20 x2200，经检验得出： x2200 是原方程的解 . 答案 2200 6. （1） （

9、2012武汉）解方程： （2） （2012 重庆）解方程： 解： （1） 方程两边都乘以 3x（x+5）得， 6x=x+5， 解得 x=1， 检验：当 x=1 时，3x（x+5）=31（1+5）=180， 所以 x=1是方程的根， 因此，原分式方程的解是 x=1 （2） 方程两边都乘以（ x1）（x2）得， 2（x 2）=x1，2x4=x1， x=3， 经检验， x=3 是原方程的解，所以，原分式方程 的解是 x=3 7. （ 2012 丹东模拟）某文具店老板第一次用 1000 元购进一批文具，很快销售完毕；第二次 购进时发现每件文具进价比第一次上涨了 2.5 元老板用 2500 元购进了第二

10、批文具，所购进 文具的数量是第一次购进数量的 2 倍，同样很快 销售完毕两批文具的售价均为每件 15 元 （1）问第二次购进了多少件文具？ （ 2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少 元？ 解：（1）设第一次购进 x 件玩具， 1000 =2500 2.5 ， x 2x x=100，2x=2100=200. 答：第二次购进 200 件文具 2 )( 100+200 ) 15 1000 2500=1000 （元）答：盈利 1000 元 8. （2012 安顺）张家界市为了治理城市污水， 需要铺设一段全长为 300米的污水排放管道， 铺 设 120 米后，为了尽可能减少施工对城市交通所 造成的影响

11、，后来每天的工作量比原计划增加 20%，结果共用了 27 天完成了这一任务， 求原计 划每天铺设管道多少米？ 解：设原计划每天铺设管道 x 米，则 ， 解得 x=10，经检验， x=10 是原方程的解 答：原计划每天铺设管道 10 米 【浙江两年中考】 1. （2012丽水）把分式方程 x+24 = x1 转化为一元一 x+4 x 次方程时，方程两边需同乘以（ ） AxB2xCx4Dx（x 4） 解析根据各分母寻找公分母 x（x 4） ，方程 两边乘最简公分母， 可以把分式方程转化为整式 方程. 答案 D 2. （2012 台州）小王乘公共汽车从甲地到相距 40 千米的乙地办事，然后乘出租车返

12、回，出租 车的平均速度比公共汽车多 20千米/ 时，回来时 路上所花时间比去时节省了 41 ，设公共汽车的平 4 均速度为 x千米/ 时，则下面列出的方程中正确 的是 （ ） A C 解析由题设公共汽车的平均速度为 x 千米 / 20 千米/时得出租车的平均速度为 x20 千米/时. 等量关系为：回来时路上所花时间比去时节省了 14，即回来时路上所花时间是去时路上所花时间 4 的 43. 4 答案 A 3. （2012温州）若代数式 2 1的值为零， 则 x= x1 解析由 2 1=0，得 x=3. x1 答案 3 4. （2012 宁波）分式方程 xx+42 = 21的解 x+4 2 是 解

13、析方程的两边同乘 2（ x+4），得 2（x2） =x+4，解得 x=8. 检验得 x=8. x 3 3 x 2 2 解：2（x3）3（x2），解得：x12，检验： 当 x12 时， x2122100， 原方程的根是 x12 答案 x=8 5. （2011 义乌）解分式方程： 【命题趋势提醒】 分式方程是中考命题的重要内容之一，在 中考中占有一定的比例， 命题的形式有填空、 选 择、计算、解答题等，主要考查分式方程的解法 和与分式方程有关的实际问题 . 【迎考精炼】 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分， 共 30 分. 每小题只有一个选项是正确的，不选， 多选，错选均不给分） 1

14、. （ 2012 芜湖模拟）分式方程 2x 5 3 的解是 x 2 2 x （） A、x=2 B、x=2 C 、x=1 D、x=1 或 x=2 解析方程的两边同乘（ x 2），得 2x 5= 3，解得 x=1检验得原方程的解为 x=1 答案 C 2. （2012 成都）分式方程 3 1 的解为（ ） 2x x 1 A x 1 B x 2 C x 3 D x 4 解析 去分母得 3x3=2x，移项得 3x2x=3， x=3，检验 x 3. 答案 C 3. （2012 山西模拟）分式方程 21x x23 的解为 2x x 3 （） A、x=1 B、x=1C 、x=2D 、 x=3 解析方程的两边同

15、乘 2x（x+3），得 x+3=4x ， 解得 x=1检验得原方程的解为 x=1 答案 B 4. （2012年宿迁模拟）关于 x的方程 2xx 1a 1的解 x1 是正数，则 a 的取值范围是（） A、 a 1 B、a 2 C 、a 1 且 a 2D、a 1 且 a2 解析解方程后列不等式组求解 . 答案 C 5. （2012 上海市奉贤调研试题）解方程 x2 x 2 21 时，如果设 y x2 x ，那么原方程可变形 xx 为关于 y 的整式方程是（ ） Ay2 2y 1 0； B y2 2y 1 0； 22 Cy2 2y 1 0；D y2 2y 1 0 解析去分母即得 . 答案 B 6.

16、（2012 天水模拟）如图，点 A、B在数轴上， 它们所对应的数分别是 4 与 2x 2 ，且点 A、B到 3x 5 原点的距离相等则 x=（） A、 2.2B、2.2 C 、x=9D 、 7 9 7 解析点 A、B 在数轴上，它们所对应的数 分别是 4 与23xx 52，点 A、B到原点的距离相等， 3x 5 4=2x 2， x=2.2 检验：把 x=2.2 代入 3x 3x 5 50，分式方程的解为： x=2.2 答案 B 7. （教材习题变式题）方程 1+（xx 11） =0 有增根， 则增根是 （ ） A.1B. 1C.1 D.0 解析使分母为 0 的根是增根 . 答案 A 8. （2

17、012黑河模拟）分式方程 xx1 1= x 1mx 2 有 x 1 x 1 x 2 增根，则 m的值为（） A、0 和 3 B、1C 、1 和2 D、3 解析分式方程 x 1= x 1mx 2 x 1 x 1 x 2 有增根，x 1=0， x+2=0， x=1， x= 2 两边同时乘以（ x 1）（x+2），原方程可化 为 x（ x+2）（ x1）（x+2）=m， 整理得， m=x+2，当 x=1 时， m=1+2=3；当 x=2 时， m=2+2=0 答案 A 9. （2012 沈阳模拟）小明乘出租车去体育场， 有两条路线可供选择： 路线一的全程是 25 千米， 但交通比较拥堵，路线二的全程

18、是 30 千米，平 均车速比走路线一时的平均车速能提高 80%，因 此能比走路线一少用 10 分钟到达若设走路线 一时的平均速度为 x 千米 / 小时，根据题意，得 A、 25 30 x (1 80%)x 10 60 B、 25 30 10 x (1 80%)x C、 10 60 D、 30 25 （1 80%）x x 解析若设走路线一时的平均速度为 x 千米 / 小时，根据路线一的全程是 25 千米，但交通比 较拥堵，路线二的全程是 30 千米，平均车速比 走路线一时的平均车速能提高 80%，因此能比走 30 25 10 (1 80%)x x （ 路线一少用 10 分钟到达可列出方程 答案

19、A 10. （ 2012 綦江模拟）在实施“中小学生蛋奶 工程”中， 某配送公司按上级要求， 每周向学校 配送鸡蛋 10000 个，鸡蛋用甲、乙两种不同规 格的包装箱进行包装， 若单独使用甲型包装箱比 单独使用 乙型包装箱可少用 10 个，每个甲型包 装箱比每个乙型包装箱可多装 50 个鸡蛋，设每 个 甲型包装箱可装 x 个鸡蛋，根据题意下列方 程正确的是（ ） A 10000 10000 10 x x 50 C 10000 10000 10 x x 50 B 10000 10000 10 x 50 x D 10000 10000 10 x 50 x 解析根据若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙

20、型包装箱可少用 10 个，每个甲型包装箱比每 个乙型包装箱可多装 50 个鸡蛋，可列出分式方 程 答案 B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4分，共 24 11. （2012 无锡）方程的解 解析方程的两边同乘 x（x2），得： 4（x 2）3x=0，解得： x=8检验得原方程的解为 x=8 答案 x=8 12. （2012 广安模拟）分式方程 2x2x5 2x2 5 1的 2x 5 2x 5 解 x 解析方程两边都乘 （2 x 5）（2 x5），得 2x 2x 5 2 2x 5 2x 5 2x 5 ， 整理，得 6x 35，解得 x 35 经检验 x 35 是原分 66 式方程的解

21、答案 35 6 13. （2012 乐山模拟）当 x= 时， 解析去分母得 x2=1， x=3，检验原方程 的根为 x=3 答案 3 14. （2012 成都模拟）已知 x 1 是分式方程 x11 3xk 的根，则实数 k x 1 x 解析将 x1代入 x11 3xk得， 1 11 31k， 解得， x 1 x 1 1 1 k1 6 答案 16 6 15. （2012 青岛模拟）某车间加工 120 个零件 后，采用了新工艺，工效是原来的 1.5 倍，这样 加工同样多的零件就少用 1 小时，采用新工艺前 每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每 小时加工 x 个零件，则根 据题意可列方程 为 解

22、析由于某车间加工 120个零件后， 采用了 新工艺， 工效是原来的 1.5 倍，设采用新工艺前 每小时加工 x 个零件，那么采用新工艺后每小时 加工 1.5x 个零件，又同样多的零件就少用 1 小 时，由此即可列出方程解决问题 答案 120 120 1 x 1.5x 16. （2012 阜新模拟）甲、乙两名同学同时从 学校出发，去 15 千米处的景区游玩，甲比乙每 小时多行 1 千米，结果比乙早到半小时，甲、乙 两名同学每小时各行多少千米？若设乙每小时 行 x 千 米 ， 根 据 题 意 列 出 的 方 程 是 解析若设乙每小时行 x 千米，根据甲、乙两 名同学同时从学校出发，去 15 千米处

23、的景区游 玩，甲比乙每小时多行 1 千米，结果比乙早到半 小时，可列出方程 答案 15 15 1 x x 1 2 三、解答题（本大题共 6小题，共 46分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算过程） 17. （ 8 分）（ 1）（ 2012 宁夏模拟）解方程： x 1 3 ； x 1 x 2 （2）（ 2012威海模拟）解方程： 3 x2 3 =0 x 1 x 1 解：（1）原方程两边同乘（ x1）（ x+2）， 得 x（x+2）（ x1）（x+2）=3（ x1），展开、 整理得 4x= 5，解得 x=5 ， 4 检验：当 x=5 时，（x1）（x+2）0，原方程 4 的解为： x=5 4 （

24、 2）方程的两边同乘（ x1）（ x+1 ），得 3x+3 x 3=0，解得 x=0 检验：把 x=0 代入（ x 1）（x+1）= 1 0 原方程的解为： x=0 18. （6 分）（2012信阳市二中模拟） 先化简 4x23 9?12（1+ 2x3 3） ，若结果等于 23，求出相应的 x的 值 22 解:原式= x ?（2x 3）（2x 3）?1? 2x =x2 由x2=2，可 2x 3 3 2 2 x 3 3 3 3 解得 x = 2 19. （8 分）（201淮安模拟）七（ 1）班的大课间 活动丰富多彩，小峰与小月进行跳绳比赛 . 在相同的时间内，小峰跳了 100 个，小月跳 了140个. 如果小月比小峰每分钟多跳 20个， 试求出小峰每分钟跳绳多少个？ 解：设小峰每分钟跳 x 个，则 = ，x=50， 检验：x=50 时，x（x+20）=35000 x=50 是原方程的解 答：小峰每分钟跳 50 个 20. （8分） （2012 扬州）为了改善生态环境，防 止水土流失， 某村计划在荒坡上种 480 棵树，由 于青年志愿者的支援，每日比原计划多种 ，结 果提前 4 天完成任务， 原计划每天种多少棵树？ 解：设原计