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文档简介
1、本章知识安排的前后顺序不等式教材分析(100318)四中徐晓阳一、教材知识总括数量关系中的不等和相等是事物运动和平衡的反映.研究数量的不等关系, 可以更好地认识和掌握事物运动和变化的规律,一元一次不等式是表示不等关系的最基本的工具,又是学习其它不等式的基础;同时,在不少数学问题中,也常直接或间接地应用到一元一次不等 式和一元一次不等式组的知识.因此,一元一次不等式及一元一次不等式组在整个初中数学中是非常关键而又十分重要的内容.本章的主要内容包括:一元一次不等式(组)及其相关概念,不等式的性质,一元一次 不等式(组)的解法及其解集的几何表示,利用一元一次不等式(组)分析与解决实际问题.其 中,以
2、不等式(组)为工具分析问题、解决问题是重点,也是教学中的主要难点;一元一次 不等式(组)及其相关概念、不等式的性质是基础知识;掌握一元一次不等式(组)的解法 及解集的几何表示是基本技能和能力.本章重视数学与实际的关系, 注意体现列不等式(组)中蕴涵的建模思想和解不等式(组)中蕴涵的化归思想.本章知识结构图不尊式纽教材中心任务使学生经历建立一元一次不等式(组)这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程,体会不等式(组)的特点和作用,掌握运用它们解决问题的一般方法,提高分析问题、解决问题的能力,增强创新精神和应用数学的意识二、教学建议1、让学生重视本章属于课程标准中的“数与代数”部分可以使体会:从某
3、种意义上来说,处于我们生活中的数量关系,相等关系只是相对的存在,数量关系而不等关系才是绝对的存在,举例让学生体会不等关系要比相等关系更普遍地存在于我们身 边2、数学思想方法的渗透(1 )数形结合的思想在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现,在数轴上表示解集比在数轴上表示数又前进了一步,本章中把不等式的解集在数轴上直观地表示出来,可以形象、直观地看到不等式有无数多个解,并易于确定不等式组的解集.(2 )类比方法学习任何一门新知识,同化、顺应旧知识是最好的方法,类比学习的方法就是同化、顺应的一种,在不同对象之间,或者在事物与事物之间,根据它们某些方面(如特征、属性、关系)的相似之处进行比较关联,
4、进而达到理解运用新知的目的.一元一次不等式无论知识结构还是思想方法上与一元一次方程都有很多相近之处,通过类比新旧知识的相同点和不同点, 理解掌握不等式的三个性质,对比一元一次方程的所学,了解一元一次不等式的概念,掌握 不等式的有关概念(解、解集、解集的几何解释等)以及不等式的求解方法,是最好的学习 方法。(1)等式与不等式概念和性质的类比:等式不等式定义含有等号(=)的式子, 叫等式含有不等号( ,疋)的式子叫不等式性质加 减 性 质文字表述等式两边加(或减)冋一 个数(或式子),结果仍 然相等不等式两边加(或减)冋一个数(或式子), 不等号的方向不变符号表示如果a b, 那么a c b c.
5、如果a b,那么a c b c.乘 除 性 质文字表述等式两边乘同一个数,或 除以同一个不为0的数, 结果仍相等文字表述不等式两边乘(或除以)冋一个正 数,不等号的方向不变符号表示如果a b , c 0,那么ac bc ; a bc c 符号 表示如果a b ,那么,a b z c、ac be ; 一(c 0) c c文字表述不等式两边乘(或除以)冋一个负 数,不等号的方向改变符号表示如果a b , c 0 ,那么ac bc; a bc c(2) 元一次方程与一元一次不等式概念求解过程的类比:一兀一次方程一兀一次不等式定义含有一个未知数,未知数的次数是1含有一个未知数,未知数的次数是1的方程,
6、叫一兀一次方程的不等式,叫一兀一次不等式 解使方程中等号左右两边相等的未知 数的值,叫一元一次方程的解 使不等式成立的未知数的值,叫一兀 一次不等式的解解集由不等式的所有解组成的集合,叫一 元一次不等式的解集求解利用等式的两个基本性质化简变形 方程直到得出:x=a的过程叫解方 程找出所有满足方程的 x的值利用不等式的基本性质化简变形不 等式直到得出:xa (或x、v、w、m )表示不等关系的式子叫做不等式。2. 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。3. 不等式解的集合叫做不等式的解集,解集可以用数轴很直观地表示出来。4. 含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式。例1全
7、班同学共同约定,每位值日的同学当天早晨7: 10前必须到学校,已知小宇家离学校12.5千米,每天都由妈妈开车送小宇上学,今天轮小宇做值日,小宇在妈妈发动汽车 时看表已6: 45,若不想让小宇迟到,问妈妈的平均车速应满足什么条件?例2、用适当的符号语言或文字语言表达下列关系1(1)a与5的和是正数;(2) b与-5的差不是正数;(3) x的2倍大于x; (4) y的 与213的差是负数;(5) x的一与3的差大于2; (6) 2x与1的和小于零;(7) a的2倍与42 、 1的差不少于5; ( 8) b的与c的和不大于9;21 1(9) b的 与3c的和既不大于 9又大于-13; (10) 2
8、x 30;2 2评述:正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键,要关注一些常见的描述语言,如此处:不是、不少于、不大于对“既又”,“既是也是”,“是或是”等连接词也要逐步领会积 累。9. 1 . 2不等式的性质类比方程,方程每次变形都有一个依据,就是等式的基本性质, 不等式变形呢?同样也必须有依据,解不等式变形的基本依据是:性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号方向不变。性质2不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。 性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。例1用适当的符号填空,并说明理由:(1)如果a1,那么5x 1x 57x24
9、-2-15 ; 10x+2-243x-15 ; 2-64评述:1刚开始在面对不等式的基本变形时,要不断强化在变形上所运用的具体性质,同 时也要逐步积累一些运用性质变形后的化简结果,这样学习到的不等式的基本性质才能落在实处。2观察这些变形,感受不等式变形的趣味性,想想把这一系列不等式变形倒回去变化一遍,是否会更为有趣?思考:如果已知 av b,求证a+5b v 6b,该怎么表述?5x 1 x 52 并将解集在数轴上表示出来。64利用不等式的性质解下列不等式,说明所使用的性质,并将解集在数轴上表示出来:2 (x+1) 3x ;( 2) 2 x 4 (x 1)+ 7; 5) 21例2运用不等式的性质
10、求解不等式练习:(1)(4)(3) 2x- 14x + 13;(5x + 3)w x 3 (1 2x)例是。.(2)已知 ABC的周长是 是3(1 )在厶ABC中,如果AB3x,AC12,三边为a、b、(3)已知 ABC的三边为a、b、c,贝y a b c4x , BC 28,那么x的取值范围c,若b是最大边,则 b的取值范围9.2实际问题与一元一次不等式面对实际问题时,我们首先需要的是认真阅读理解分析题目,“审”题目中的“事”和“理”,以此抓住数量关“设”、“列”、“解”、“答”,可以对比以前的方程和方程组应用题的 学习,此处难度增多,设时需关注细节,一般都不是求什么设什么, 解不等式过程这
11、的易错点本身就够多,答时还需关注完整方案的表述。通过解一元一次不等式,可以对比解一元一次方程归纳得出:解一元一次方程,要根据等式的性质,将方程逐步化为等式,则要根据不等式的性质,例1解下列不等式:列时需关注含不含边界,将不等式逐步化为x=axa)的形式;而解一元一次不 的形式。(1) 2x 33(2) 3( x + 2) 1 5 - 2( x - 2); (3)1 (1 2x )3(2x 132(5)1 3x ;2 x(6)22x 1(8) 12x 15x 26方法步骤与解方程几乎完全类似,只是多了一点需多加考虑, 需要改变不等式的符号,那同样它也次不等式,就是当不等式两边需同时乘以或除以同一
12、个数或式时,完全拥有解方程的易错点。2对于具体的解不等式题目,再复杂也没有哪个同学说学不会的,但是解不出正确结果却是普遍存在的现象,多的原因都是同学们在作题时对一些细节易错点关注不够所致,要多引导学生仔细观察发现它的易错点?是“移项”? “变号”? “漏乘”?。只有明晰这些 易错点,评述:1解一元才能快速提升我们的速度和正确率。解不等式:1 (1 2x) 3(2x1)之后再思考:32xv 0.5,比较2 4x和18x 9的大小1) 已知2) 已知:x y,求证 4x + 8y 3x + 9y比较两个数量的大小可以通过它们的差来判断:a b a b 0; a= b a b = 0; av b a
13、 b v 01例3(1) m为何值时,关于 x的方程:x 6m 163x 的解大于1 ?2* (2 )已知关于x的方程I x | = ax+1有一负根,而无正根,求a的取值范围例4(1)已知m2,解关于x的不等式:(1 m) x m-1(2) 解关于x的不等式(m+ 1) (m 1) x( m+ 1) (m 2)* (3 )若不等式(a+1) x a2 1的解集为xv a 1;求不等式(1 a) xv a 2a+ 1的解集* (4)已知a、b为有理数,不等式(2a b) x + 3a 4bv 0的解是x4/9,求不等式(a 4b) x+ 2a 3b 0 的解集评述:由以上分析,我们若考虑将题目
14、中 m2作一系列变化题目又会怎样呢?如tm1-m5tm= 1 t mT m0m b(a丰0),当a0时,不等式的解集是 x;当a_0时,不等式的解集是 x.例5甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品,并且又各自推出不同的优惠方案:在甲 店累计购买100元商品后,再购买的商品按原价90%收费;在乙店累计购买 50元商品后,再购买的商品按原价 95%收费。顾客该怎样选择商店购物能获得更大优惠? 评述:1、此题为P131引例,同学们普遍觉得较难的原因其实是此题的问法比较隐蔽,若 改为根据两家商店推出的销售方案,为使顾客获得更大优惠,你能为顾客设计一整套方 案?”理解一个复杂问题的方法是将其分解转化为一
15、些具体的子问题:(教学中就学生作答情况,可不断改变设问,使生思考)设问1:现有4人,准备分别消费 40元、80元、140元、160元,你给他们设计一下,分别 去哪家商店合算?设问2:累计购物超过100元不到150元时,去哪家商店购物花费小?超过 150元呢?恰好 150元呢?设问3:根据两家商店推出的销售方案,为使顾客获得更大优惠,你能为顾客设计一整套方 案?2、关注运用所学知识分析处理有实际背景的问题是教材自始至终要贯彻的精神。涉及求未知数取值范围的问题普遍存在,不等式是解决这些问题的有力工具。当同学面对这些问题时他首先面对的是文字材料的阅读理解,材料中所含信息的数学转译,从而使同学仔细阅读
16、材料、理解提取数量关系就是首要落实的问题。应先从同学们较为熟悉的情景入手,由同学们的解决方案出发讨论比对一元一次方程和一元一次不等式等数学知识在解决应用问题上 的运用,细节着眼点,进而通过后续问题的讨论归纳出运用不等式等所学知识解决应用问题的一般思路,加深对不等式等数学模型运用的体会和建模能力。一元一次不等式组类比一元一次方程组从概念和解法上都很好理解,难点还是易于学 会,但难以保证不出错。例6某次知识竞赛共有 20道题,每一题答对得 10分,答错或不答都扣 5分。小明得 分要超过90分,他至少要答对多少道题?例72002年北京空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数之比达到55%,如果到20
17、08年这样的比值要超过 70%,那么2008年空气质量良好的天数要比 2002年至少增加多 少?9.3元一次不等式组1. 把两个不等式合起来,组成一个一元一次不等式组。2. 几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式组的解集。归纳:对于具有多种不等式关系的问题,可通过不等式组解决。 解一元一次不等式组时, 一般先求出其中各不等式的解集, 在求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。例1、3个小组计划在10天内生产500件产品(每天生产量相同),按原先的生产速度, 不能完成生产任务;如果每个小组每天比原先多生产1件产品,就能提前完成任务。问每个小组原先每天生产多少件
18、产品?解题过程中出现的既满足又满足的问题例2、解下列不等式组2x 53 x4x3x 2 x 1x 5 4x 10.2x0.5x3x 1 52x 62x 3不等式组輪集的叫种情况:x 3 53x 1 82x(8)3x1例3、已知不等式组2X-a3的解集为-1X1,则(a+1) (b-1)的值等于多少?例4(1) 一群男同学去某地旅游住若干间宿舍,每间住 4人,剩19人无房住;每间住 6 人,有一间宿舍住不满。问:可能有多少间宿舍、多少名学生?(2) A地果农收获荔枝30吨,香蕉13吨,现计划租用甲、乙两种货车共 10辆,将这批 水果全部运往 B地。已知甲种货车可装荔枝 4吨和香蕉1吨,乙种货车可
19、装荔枝香蕉各 2 吨。1)若要安排甲、乙两种货车时有几种方案?请你帮助设计出来。2) 若甲种货车每辆要付运输费2000元,乙种货车每辆要付运输费1300元,那么选择哪种方案使运费最少?运费最少是多少?(3)水是人类最宝贵的资源之一,我国水资源人均占有量远远低于世界平均水平,为了节约用水,保护环境。学校于本学期之初制定了详细的用水计划。如果实际每天比计划多用一吨水,那么本学期的用水总量会超过2300吨;如果实际每天比计划节约一吨水,那么本学期的用水总量会不足 2100吨,如果本学期在校时间按照110天(22周),那么学校计划每天用水量应控制在什么范围?*运用不等式分析比赛2008年的北京奥运开的
20、很成功,观看体育比赛的乐趣之一就是对即将出现的比赛结果 进行畅想预测。【几个供选的补充题例:】1.如果关于x, y的二元一次方程组5xx3yy p310的解是正整数,求整数p的值.解解方程组5x 3y 31 得x y p 031 3p25p 31231 3p0 此方程组的解都是正数,25p 3102解这个不等式组得31p3153 p的整数值有7, 8, 9, 10。当p=7或p=9时,31邛和5p 31均为正整数,22p=7 或p=9为所求。3x 12.解不等式:l3x 1 I 4.答:当学生人数少于4时,乙旅行社更优惠,当学生人数多于4人时,甲旅行社更优惠.4. 某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有300辆次,其中变速车保管费是每辆0.5元,一般车保管费是每辆0. 3元.(1) 若设一般车停放的辆次数为x,总的保管费收入为 y元,试写出y与x的关系式.(2) 若估计前来停放的 3500辆自行车中,变速车的辆次不小于25%但不大于40%试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.解(1)由题意,得 y=0.
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