2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法 第一课时 函数的表示法课件 新人教A版必修1

1、1.2.21.2.2函数的表示法函数的表示法 第一课时函数的表示法第一课时函数的表示法 目标导航目标导航 课标要求课标要求 1.1.掌握函数的三种表示方法掌握函数的三种表示方法解析法、图象法、解析法、图象法、 列表法列表法. . 2.2.在实际情境中在实际情境中, ,会根据不同的需要选择恰当方法表会根据不同的需要选择恰当方法表 示函数示函数. . 素养达成素养达成 通过函数三种表示方法的学习通过函数三种表示方法的学习, ,培养学生直观想象与培养学生直观想象与 数学运算的核心素养数学运算的核心素养. . 新知导学新知导学素养养成素养养成 1.1.函数的表示方法函数的表示方法 解析法解析法, ,就

2、是用就是用 表示两个变量之间的对应关系表示两个变量之间的对应关系. . 图象法图象法, ,就是用就是用 表示两个变量之间的对应关系表示两个变量之间的对应关系. . 列表法列表法, ,就是就是 来表示两个变量之间的对应关系来表示两个变量之间的对应关系. . 数学表达式数学表达式 图象图象 列出表格列出表格 思考思考1 1: :任何一个函数都可以用解析法表示吗任何一个函数都可以用解析法表示吗? ? 答案答案: :不是不是, ,并不是所有的函数都可以用解析法表示并不是所有的函数都可以用解析法表示, ,如某地区一天中每如某地区一天中每 时每刻的温度时每刻的温度, ,由于受自然影响较大由于受自然影响较大

3、, ,无法用函数解析式表示无法用函数解析式表示. . 思考思考2:2:函数函数f(x)=1f(x)=1中无自变量是一个函数解析式吗中无自变量是一个函数解析式吗? ? 答案答案: :是是. .该函数的函数值不因自变量的变化而变化该函数的函数值不因自变量的变化而变化, ,是一个常值函数是一个常值函数. . 2.2.函数的图象函数的图象 函数图象既可以是连续的曲线函数图象既可以是连续的曲线, ,也可以是直线、折线、离散点等也可以是直线、折线、离散点等. . 思考思考3:3:函数函数y=f(x)y=f(x)的图象的集合表示形式是什么的图象的集合表示形式是什么? ? 答案答案: :若若y=f(x)y=f

4、(x)的定义域为的定义域为A,A,则则y=f(x)y=f(x)图象的集合表示形式是图象的集合表示形式是(x,y)|(x,y)| y=f(x),xA.y=f(x),xA. 名师点津名师点津 (1)(1)对画函数图象三个步骤的认识对画函数图象三个步骤的认识 列表列表: :先找出一些有代表性的自变量先找出一些有代表性的自变量x x的值的值, ,并计算出与这些自变并计算出与这些自变 量相对应的函数值量相对应的函数值f(x),f(x),用表格的形式表示出来用表格的形式表示出来. .描点描点: :把第步把第步 表格中的点表格中的点(x,f(x)(x,f(x)一一在坐标平面上描出来一一在坐标平面上描出来.

5、. 连线连线: :用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来. . (2)(2)函数的表示方法及其优缺点函数的表示方法及其优缺点 表示法表示法列表法列表法图象法图象法解析法解析法 含义含义 通过列出自变量与通过列出自变量与 对应函数值的表来对应函数值的表来 表示函数关系的表示函数关系的 方法方法 用用“图形图形”表表 示函数的方法示函数的方法 如果在函数如果在函数y=f(x)y=f(x) (xA)(xA)中中,f(x),f(x)是用代是用代 数式数式( (或解析式或解析式) )来表来表 达的达的, ,则这种表示函数则这种表示函数 的方法

6、叫做解析法的方法叫做解析法( (也也 称为公式法称为公式法) ) 定义域定义域 表格中自变量表格中自变量x x的的 取值集合取值集合 图象在图象在x x轴上轴上 的投影的投影 使解析式有意义的自使解析式有意义的自 变量变量x x的取值范围的取值范围 值域值域 表格中表格中, ,相应相应y y的取值的取值 集合集合 图象在图象在y y轴上的投影轴上的投影 因 变 量因 变 量 y y 的 取 值的 取 值 范围范围 优点优点 不需要计算就可以直接不需要计算就可以直接 看出与自变量的值相对看出与自变量的值相对 应的函数值应的函数值 能直观、形象地表示能直观、形象地表示 自变量的变化情况及自变量的变

7、化情况及 相应的函数值的变化相应的函数值的变化 趋势趋势; ;可以直接应用图可以直接应用图 象来研究函数的某些象来研究函数的某些 性质性质 一是简明、全面地一是简明、全面地 概括了变量间的关概括了变量间的关 系系; ;二是可以通过二是可以通过 解析式求出在定义解析式求出在定义 域内任意自变量所域内任意自变量所 对应的函数值对应的函数值 缺点缺点 不够全面不够全面, ,只能表示有只能表示有 限个元素间的函数关限个元素间的函数关 系系, ,对于自变量中元素对于自变量中元素 很多的函数很多的函数, ,很难用列很难用列 表法表示其关系表法表示其关系, ,另外另外, , 不能明显地展示出因变不能明显地展

8、示出因变 量随自变量变化的规律量随自变量变化的规律 不能精确地求出与自不能精确地求出与自 变量对应的函数值变量对应的函数值 并不是所有的函数并不是所有的函数 都有解析式都有解析式, ,而且而且 通过它不能直观地通过它不能直观地 观察到函数的变化观察到函数的变化 规律规律 (3)(3)常用的图象变换常用的图象变换 平移变换平移变换 a.a.把函数把函数y=f(x)y=f(x)的图象沿的图象沿x x轴向左轴向左(a0)(a0)或向右或向右(a0)(a0)(a0)或向下或向下(a0)(a0 x0时时f(x)f(x)的图象的图象, ,然后将函数然后将函数y=f(x)y=f(x) 的图象的图象y y轴右

9、边的部分翻折到轴右边的部分翻折到y y轴左边轴左边,y,y轴右边的图象不变轴右边的图象不变, ,从而得从而得 到函数到函数y=f(|x|)y=f(|x|)的图象的图象. . 课堂探究课堂探究素养提升素养提升 题型一函数图象的作法及应用题型一函数图象的作法及应用 例例11 作下列函数图象并由图象求值域作下列函数图象并由图象求值域. . (1)y=1-x(x(1)y=1-x(xZ Z且且|x|2);|x|2); 解解: :(1)(1)函数函数y=1-x(xy=1-x(xZ Z且且|x|2)|x|2)的定义域为的定义域为-2,-1,0,1,2,-2,-1,0,1,2, 图象为五个点图象为五个点, ,

10、这些点在直线这些点在直线y=1-xy=1-x上上. . 列表列表 x x-2-2-1-10 01 12 2 y y3 32 21 10 0-1-1 所画函数图象如图所示所画函数图象如图所示, ,由图象可知函数值域为由图象可知函数值域为-1,0,1,2,3.-1,0,1,2,3. (2)y=x(2)y=x2 2-2x-3(x-2x-3(xR R);); 解解: :(2)(2)函数函数y=xy=x2 2-2x-3=(x-1)-2x-3=(x-1)2 2-4,-4, 列表列表 x x-1-10 01 12 23 3 y y0 0-3-3-4-4-3-30 0 所画函数图象如图所示所画函数图象如图所示

11、, ,由图象可知函数值域为由图象可知函数值域为y|y-4.y|y-4. 一题多变一题多变1:1:本题本题(2)(2)中中, ,将将xxR R改为改为x-2,3,x-2,3,则函数图象有何变化则函数图象有何变化, ,其其 值域是什么值域是什么? ? 解解: :当当x-2,3x-2,3时时, ,函数的图象为函数的图象为y=xy=x2 2-2x-3-2x-3在在 -2,3 -2,3 上的一段上的一段( (图图 略略),),且由于且由于f(-2)=5,f(3)=0,f(-2)=5,f(3)=0,因此函数值域为因此函数值域为-4,5.-4,5. 一题多变一题多变2:2:本题本题(2)(2)中的函数中的函

12、数y=xy=x2 2-2x-3-2x-3的图象可由的图象可由 y=x y=x2 2的图象怎样变的图象怎样变 化而得到化而得到? ? 解解: :由于由于y=xy=x2 2-2x-3=(x-1)-2x-3=(x-1)2 2-4,-4,因此该函数图象可由因此该函数图象可由y=xy=x2 2的图象先沿的图象先沿x x 轴向右平移轴向右平移1 1个单位得到个单位得到y=(x-1)y=(x-1)2 2 的图象后的图象后, ,再沿再沿y y轴向下平移轴向下平移4 4个单个单 位而得到位而得到. . 误区警示误区警示 作函数图象的步骤及注意点作函数图象的步骤及注意点 (1)(1)作函数图象主要有三步作函数图象

13、主要有三步: :列表、描点、连线列表、描点、连线. .作图象时一般应先确作图象时一般应先确 定函数的定义域定函数的定义域, ,再在定义域内化简函数解析式再在定义域内化简函数解析式, ,再列表画出图象再列表画出图象. . (2)(2)函数的图象可能是平滑的曲线函数的图象可能是平滑的曲线, ,也可能是一群孤立的点也可能是一群孤立的点, ,画图时要画图时要 注意关键点注意关键点, ,如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等 等等, ,还要分清这些关键点是实心点还是空心点还要分清这些关键点是实心点还是空心点. . 备用例备用例11 (1) (1)

14、某学生离家去学校某学生离家去学校, ,由于怕迟到由于怕迟到, ,所以一开始就跑步所以一开始就跑步, ,等等 跑累了再走余下的路程跑累了再走余下的路程. .在图中在图中, ,纵轴表示离学校的距离纵轴表示离学校的距离, ,横轴表示出发横轴表示出发 后的时间后的时间, ,则四个图形中较符合该学生走法的是则四个图形中较符合该学生走法的是( () ) (1)(1)解析解析: :d d0 0随随t t的增加而减小的增加而减小, ,故排除选项故排除选项A,C;A,C;又开始一段跑步比走路速又开始一段跑步比走路速 度快度快, ,排除排除B.B.故选故选D.D. 答案答案: :(1)D(1)D (2)(2)如图

15、如图, ,函数函数f(x)f(x)的图象是折线段的图象是折线段ABC,ABC,其中其中A,B,CA,B,C的坐标分别为的坐标分别为(0,4),(0,4), (2,0),(6,4),(2,0),(6,4),则则ff(0)=ff(0)=. . (2)(2)解析解析: :由图象可知由图象可知f(0)=4,f(4)=2,ff(0)=2.f(0)=4,f(4)=2,ff(0)=2. 答案答案: :(2)2(2)2 y=xy=x2 2-2x+2,x(-1,2.-2x+2,x(-1,2. (3)(3)解解: :y=xy=x2 2-2x+2=(x-1)-2x+2=(x-1)2 2+1,x(-1,2,+1,x(

16、-1,2,图象如图所示图象如图所示. . 题型二函数解析式的求法题型二函数解析式的求法 例例2 2 根据条件求函数解析式根据条件求函数解析式: : (1)(1)已知已知f(x+1)=5x-3,f(x+1)=5x-3,求求f(x)f(x)的解析式的解析式; ; 解解: :(1)(1)法一法一因为因为5x-3=5(x+1)-8,5x-3=5(x+1)-8, 所以所以f(x+1)=5(x+1)-8,f(x+1)=5(x+1)-8, 所以所以f(x)=5x-8.f(x)=5x-8. 法二法二设设t=x+1,t=x+1,则则x=t-1,x=t-1, 故故f(t)=5(t-1)-3=5t-8,f(t)=5

17、(t-1)-3=5t-8, 所以所以f(x)=5x-8.f(x)=5x-8. (2)(2)已知已知f(x)f(x)是关于是关于x x的二次函数的二次函数, ,且满足且满足f(0)=1,f(x+1)=f(x)+2x,f(0)=1,f(x+1)=f(x)+2x, 求函数求函数f(x)f(x)的解析式的解析式; ; (3)(3)已知已知f(x)+3f(-x)=xf(x)+3f(-x)=x2 2+2x,+2x,求求f(x)f(x)的解析式的解析式. . 方法技巧方法技巧 求函数解析式的四种常用求法求函数解析式的四种常用求法 (1)(1)配凑法配凑法: :由已知条件由已知条件f(g(x)=F(x),f(

18、g(x)=F(x),可将可将F(x)F(x)改写成关于改写成关于g(x)g(x)的表的表 达式达式, ,然后以然后以x x替代替代g(x),g(x),便得便得 f(x)f(x)的表达式的表达式; ; (2)(2)待定系数法待定系数法: :若已知函数的类型若已知函数的类型( (如一次函数、二次函数如一次函数、二次函数) )可用待定可用待定 系数法系数法; ; (3)(3)换元法换元法: :已知复合函数已知复合函数f(g(x)f(g(x)的解析式的解析式, ,可用换元法可用换元法, ,此时要注意此时要注意 新元的取值范围新元的取值范围; ; (3)(3)已知已知f(x)f(x)是一次函数是一次函数

19、, ,且且f(x+1)+3f(1-x)=20-4x,f(x+1)+3f(1-x)=20-4x,求求f(x)f(x)的解析式的解析式. . 备用例备用例2 2 (1)(1)已知二次函数已知二次函数f(x)f(x)的二次项系数为的二次项系数为a(a0),a(a0),且方程且方程 f(x)=-2xf(x)=-2x的两个实数根分别为的两个实数根分别为1 1和和3.3.若方程若方程f(x)+6a=0f(x)+6a=0有两个相等的实有两个相等的实 数根数根, ,求求f(x)f(x)的解析式的解析式; ; (2)(2)设设f(x)f(x)是是R R上的函数上的函数, ,且满足且满足f(0)=1,f(0)=1

20、,并且对任意实数并且对任意实数x,yx,y都有都有f(x-y)f(x-y) =f(x)-y(2x-y+1),=f(x)-y(2x-y+1),求函数求函数f(x)f(x)的解析式的解析式; ; 解解: :(2)(2)法一法一因为因为f(0)=1,f(0)=1, f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1), 所以令所以令x=y,x=y,得得f(0)=f(x)-x(2x-x+1),f(0)=f(x)-x(2x-x+1), 所以所以f(x)=xf(x)=x2 2+x+1.+x+1. 法二法二令令x=0,x=0,得得f(-y)=f(0)-y(-y+1),f(-

21、y)=f(0)-y(-y+1), 即即f(-y)=1-y(-y+1).f(-y)=1-y(-y+1). 又令又令t=-y,t=-y,代入上式代入上式, ,得得 f(t)=1-(-t)(t+1)=1+t(t+1),f(t)=1-(-t)(t+1)=1+t(t+1), 所以所以f(x)=xf(x)=x2 2+x+1.+x+1. (3)(3)已知函数已知函数f(x)f(x)为二次函数为二次函数, ,顶点坐标为顶点坐标为(-1,2),(-1,2),且且f(0)=3,f(0)=3,若若g(x)g(x)是是 一次函数一次函数, ,当当fg(x)=xfg(x)=x2 2+6x+11+6x+11时时, ,求求g(x)g(x)的解析式的解析式. . 正解正解: :( (1)f(x)=x1)f(x)=x2 2-x(x2).-x(x2). 课堂达标课堂达标 1.1.购买某种饮料购买某种饮料x x听听, ,所需钱数为所需钱数为y y元元, ,若每听若每听2 2元元, ,用解析法将用解析法将y y表示成表示成 x(x1,2,3,4)x(x1,2,3,4)的函数