2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.3指数函数与对数函数的关系课件新人教B版必修第二册20210315266

1、4.3指数函数与对数函数的关系 必备知识必备知识自主学习自主学习 导导 思思 1.1.怎么说明函数的反函数不存在怎么说明函数的反函数不存在? ? 2.2.互为反函数的图像之间具有怎样的关系互为反函数的图像之间具有怎样的关系? ? 1.1.反函数的定义反函数的定义 (1)(1)定义定义: :如果在函数如果在函数y=f(xy=f(x) )中中, ,给定值域中给定值域中_,_,只有只有_与之与之 对应对应, ,那么那么x x是是y y的函数的函数, ,这个函数称为这个函数称为y=f(xy=f(x) )的反函数的反函数. . (2)(2)记法记法:y=f:y=f-1 -1(x). (x). 任意一个任

2、意一个y y的值的值唯一的唯一的x x 【思考【思考】 函数函数f(xf(x)=x)=x2 2有反函数吗有反函数吗? ?为什么为什么? ? 提示提示: :没有没有. .若令若令y=f(xy=f(x)=1,)=1,则则x=x=1,1,即即x x值不唯一值不唯一, ,不符合反函数的定义不符合反函数的定义. . 2.2.反函数的求法反函数的求法 对调对调y=f(xy=f(x) )中的中的x x与与y,y,然后从然后从x=f(yx=f(y) )中求出中求出y y得到得到. . 【思考【思考】 什么样的函数一定有反函数什么样的函数一定有反函数? ? 提示提示: :单调函数单调函数. . 3.3.函数与其

3、反函数的性质的关系函数与其反函数的性质的关系 (1)(1)图像图像: :关于直线关于直线y=xy=x对称对称; ; (2)(2)定义域、值域定义域、值域: :原函数的原函数的_与其反函数的与其反函数的_相同相同; ;原函数的原函数的_与与 其反函数的其反函数的_相同相同. . (3)(3)单调性单调性: :原函数与其反函数的单调性原函数与其反函数的单调性_._. 注意注意: :同底的指数函数与对数函数的关系同底的指数函数与对数函数的关系 定义域定义域值域值域值域值域 定义域定义域 相同相同 同底的指数函数与对数函数互为反函数同底的指数函数与对数函数互为反函数, ,图像关于直线图像关于直线y=x

4、y=x对称对称. . 指数函数与对数函数的关系如表指数函数与对数函数的关系如表: : 指数函数指数函数对数函数对数函数 一般一般 形式形式 y=ay=ax x(a(a0,0,且且a1)a1) y=logy=loga ax(a0,x(a0,且且 a1)a1) 图像图像 定义域定义域R R(0,+) (0,+) 值域值域(0,+)(0,+)R R 指数函数指数函数对数函数对数函数 奇偶性奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数 单调性单调性 当当a1a1时时, ,是增函数是增函数; ;当当 0a10a1a1时时, ,是增函数是增函数; ;当当 0a10a1a1时时, ,若若x0,x0

5、,则则y1;y1;若若 x0,x0,则则0y1.0y1.当当0a10a0,x0,则则0y1;0y1;若若x0,x1y1 当当a1a1时时, ,若若x1,x1,则则y0;y0;若若 0 x1,0 x1,则则y0.y0.当当0a10a1,x1,则则y0;y0;若若0 x1,0 x0y0 【基础小测【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)一次函数一次函数y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)一定有反函数一定有反函数. .( () ) (2)(2)反比例函数反比例函数y=y= (x0)(x0)一定有反函数一定有反函数. .( () ) (

6、3)(3)点点(1,0)(1,0)一定在指数函数一定在指数函数y=ay=ax x反函数的图像上反函数的图像上. .( () ) 提示提示: :(1).(1).一次函数一次函数y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)一定是单调函数一定是单调函数, ,因此一定有反函数因此一定有反函数. . (2).(2).对应值域中的任意一个对应值域中的任意一个y,xy,x= = 是唯一的是唯一的, ,符合反函数的定义符合反函数的定义. . (3). (3). 指数函数指数函数y=ay=ax x的反函数是对数函数的反函数是对数函数, ,对数函数一定过点对数函数一定过点(1,0).(1,0). 1 x 1 y 2.

7、2.函数函数y=logy=log3 3x x的反函数是的反函数是( () ) A.yA.y=-log=-log3 3x xB.yB.y=3=3-x -x C.yC.y=3=3x xD.yD.y=-3=-3x x 【解析【解析】选选C.C.因为函数因为函数y=logy=log3 3x,x0,x,x0,所以所以x=3x=3y y; ; 交换交换x,yx,y的位置的位置, ,得得y=3y=3x x, , 所以函数所以函数y=logy=log3 3x x的反函数是的反函数是y=3y=3x x. . 3.3.若函数若函数f(xf(x)=2)=2x x的反函数为的反函数为f f-1 -1(x), (x),

8、则则f f-1 -1(1)=_. (1)=_. 【解析【解析】令令2 2x x=1,=1,则则x=0,x=0,所以所以f f-1 -1(1)=0. (1)=0. 答案答案: :0 0 4.(4.(教材二次开发教材二次开发: :例题改编例题改编) )已知函数已知函数f(xf(x)=x)=x2 2+1(x1)+1(x1)的反函数是的反函数是f f-1 -1(x), (x),则则 f f-1 -1 =_.=_. 【解析【解析】令令y=xy=x2 2+1(y2),+1(y2), 交换交换x,yx,y的位置的位置, ,得得x=yx=y2 2+1,+1,解得解得y= ,y= , 所以所以f f-1 -1(

9、x)= (x2), (x)= (x2), 所以所以f f-1 -1 = =3. = =3. 答案答案: :3 3 x1 x1 10 1(10) 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一判断函数是否有反函数类型一判断函数是否有反函数( (逻辑推理逻辑推理) ) 【题组训练【题组训练】 1.1.下列函数中下列函数中, ,存在反函数的是存在反函数的是( () ) 2.2.判断下列函数是否有反函数判断下列函数是否有反函数. . (1)f(x)=(1)f(x)= ;(2)g(x)=x;(2)g(x)=x2 2-2x.-2x. x1 x1 【解析【解析】1.1.选选D.D.对对A,A,因为因为f(xf(x

10、)=1)=1时时,x,x为任意的正实数为任意的正实数, ,即对应的即对应的x x不唯一不唯一, ,因此因此 f(xf(x) )的反函数不存在的反函数不存在; ; 对对B,B,因为因为g(xg(x)=1)=1时时,x,x为任意的有理数为任意的有理数, ,即对应的即对应的x x不唯一不唯一, ,因此因此g(xg(x) )的反函数不的反函数不 存在存在; ; 对对C,C,因为因为h(xh(x)=2)=2时时,x=2,x=2或或x=5,x=5,即对应的即对应的x x不唯一不唯一, ,因此因此h(xh(x) )的反函数不存在的反函数不存在; ; 对对D,D,因为因为l(x(x) )的值域的值域 中任意一

11、个值中任意一个值, ,都只有唯一的都只有唯一的x x与之对应与之对应, ,因此因此 l(x(x) )的反函数存在的反函数存在. . 2, 1,0,3,4 2.(1)2.(1)令令y=f(xy=f(x),),因为因为y= ,y= ,是由反比例函数是由反比例函数y= y= 向右平移一个单位向右平移一个单位, , 向上平移一个单位得到向上平移一个单位得到, ,在在(-(-,1),(1,+,1),(1,+) )上都是减函数上都是减函数, ,因此任意给定值域中因此任意给定值域中 的一个值的一个值, ,只有唯一的只有唯一的x x与之对应与之对应, ,所以所以f(xf(x) )存在反函数存在反函数. . (

12、2)(2)令令g(xg(x)=3,)=3,即即x x2 2-2x-3=0,-2x-3=0,解得解得x=-1x=-1或或x=3,x=3, 即对应的即对应的x x不唯一不唯一, ,因此因此g(xg(x) )的反函数不存在的反函数不存在. . x12 1 x1x1 2 x 【解题策略【解题策略】 判定函数存在反函数的方法判定函数存在反函数的方法 (1)(1)逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值, ,如果都是唯一的如果都是唯一的, ,则函数的反则函数的反 函数存在函数存在. . (2)(2)确定函数在定义域上的单调性确定函数在定义域上的单调性, ,如果函数是单调

13、函数如果函数是单调函数, ,则函数的反函数存在则函数的反函数存在. . (3)(3)利用原函数的解析式利用原函数的解析式, ,解出自变量解出自变量x,x,如果如果x x是唯一的是唯一的, ,则函数的反函数存在则函数的反函数存在. . 【补偿训练【补偿训练】 判断下列函数是否存在反函数判断下列函数是否存在反函数. . (1)y=(1)y= -2.(2)y=-2x-2.(2)y=-2x2 2+4x,x(1,+).+4x,x(1,+). 【解析【解析】(1)y= -2(1)y= -2是由函数是由函数y= y= 向左平移向左平移1 1个单位个单位, ,向下平移向下平移2 2个单位得到个单位得到, ,

14、在在(-,-1),(-1,+)(-,-1),(-1,+)上是减函数上是减函数, ,因此任意给定值域中的一个值因此任意给定值域中的一个值, ,只有唯一的只有唯一的x x 值与之对应值与之对应, ,所以函数存在反函数所以函数存在反函数. . (2)y=-2x(2)y=-2x2 2+4x=-2(x-1)+4x=-2(x-1)2 2+2,+2,对称轴为对称轴为x=1,x=1,在在(1,+)(1,+)上是减函数上是减函数, ,因此任意给定因此任意给定 值域中值域中的一个值的一个值, ,只有唯一的只有唯一的x x值与之对应值与之对应, ,所以函数存在反函数所以函数存在反函数. . 1 x1 1 x1 1

15、x 类型二求函数的反函数类型二求函数的反函数( (数学抽象、数学运算数学抽象、数学运算) ) 【典例【典例】求下列函数的反函数求下列函数的反函数. . (1)y=(1)y= ;(2)y=5x+1.;(2)y=5x+1. 【思路导引【思路导引】按照求反函数的基本步骤求解即可按照求反函数的基本步骤求解即可. . x 1 ( ) 3 【解析【解析】(1)(1)由由y= y= 得得y0,y0,对调其中的对调其中的x x和和y,y,得得x= ,x= ,解得解得y=y=lolo x, x, 所以所以f f-1 -1(x)= (x)=lolo x(x x(x0).0). (2)(2)对调对调x x与与y y

16、得得x=5y+1(xR),x=5y+1(xR),化简得化简得y= ,y= , 所以所以f f-1 -1(x)= (xR (x)= (xR).). x 1 ( ) 3 y 1 ( ) 3 1 3 g 1 3 g x1 5 x1 5 【解题策略【解题策略】 反函数的求法反函数的求法 (1)(1)先确定原函数的值域先确定原函数的值域, ,即反函数的定义域即反函数的定义域. . (2)(2)对调原函数解析式中的对调原函数解析式中的x x和和y,y,解出解出y.y. (3)(3)写出反函数写出反函数. . 【跟踪训练【跟踪训练】 函数函数f(xf(x)=)= 的反函数的反函数f f-1 -1(x)=_.

17、 (x)=_. 【解析【解析】令令y= ,y= ,对调其中的对调其中的x x和和y,y, 得得x= ,x= ,解得解得y=xy=x3 3+1,+1, 函数函数f(xf(x) )的反函数为的反函数为f f-1 -1(x)=x (x)=x3 3+1.+1. 答案答案: :x x3 3+1+1 3 x1 3 x1 3 y 1 类型三原函数与其反函数性质的应用类型三原函数与其反函数性质的应用( (逻辑推理、数学抽象逻辑推理、数学抽象) ) 角度角度1 1求值求值 【典例【典例】若函数若函数f(xf(x)=)= , ,则则f f-1 -1(2) (2)的值为的值为( () ) A.5A.5B.-5B.-

18、5C.C. D. 4D. 4 【思路导引【思路导引】反函数的自变量值即原函数的函数值反函数的自变量值即原函数的函数值. . 【解析【解析】选选B.B.令令 =2,=2,所以所以x=-5,x=-5, 所以所以f f-1 -1(2)=-5. (2)=-5. x1 x2 1 4 x1 x2 【变式探究【变式探究】 本例的条件不变本例的条件不变, ,试求试求f(ff(f-1 -1(2), (2),你能得出一个一般的结论吗你能得出一个一般的结论吗? ?类比过程类比过程, ,你能你能 直接求出直接求出f f-1 -1(f(2) (f(2)吗吗? ? 【解析【解析】f(ff(f-1 -1(2)=f(-5)=

19、 =2, (2)=f(-5)= =2, 因为因为f(xf(x)=1- 1,)=1- 1, 可以得出可以得出f(ff(f-1 -1(x)=x,x1. (x)=x,x1. 类比过程类比过程,f,f-1 -1(f(2)=2. (f(2)=2. 5 1 52 3 x2 角度角度2 2求点求点 【典例【典例】函数函数f(xf(x)=log)=loga a(x-1)(a0,a1)(x-1)(a0,a1)的反函数的图像过定点的反函数的图像过定点 ( () ) A.(0,2)A.(0,2)B.(2,0)B.(2,0) C.(0,3)C.(0,3)D.(3,0)D.(3,0) 【思路导引【思路导引】利用原函数与

20、反函数的图像关于利用原函数与反函数的图像关于y=xy=x对称求点对称求点. . 【解析【解析】选选A.A.函数函数f(xf(x)=log)=loga a(x-1)(x-1)恒过恒过(2,0),(2,0),函数和它的反函数关于函数和它的反函数关于y=xy=x对称对称, , 那么那么(2,0)(2,0)关于关于y=xy=x的对称点是的对称点是(0,2),(0,2), 即即(0,2)(0,2)为反函数图像上的定点为反函数图像上的定点. . 【解题策略【解题策略】 1.1.定义域、值域关系的应用定义域、值域关系的应用 原函数的定义域是反函数的值域原函数的定义域是反函数的值域, ,值域是反函数的定义域值

21、域是反函数的定义域, ,在求值的过程中在求值的过程中, ,可可 以利用这一关系以利用这一关系, ,转化已知函数的求值转化已知函数的求值, ,不必求出反函数或原函数不必求出反函数或原函数. . 2.2.图像的应用图像的应用 原函数的图像与反函数的图像关于直线原函数的图像与反函数的图像关于直线y=xy=x对称对称, ,点点P(x,yP(x,y) )关于关于y=xy=x的对称点是的对称点是 P P1 1(y,x),(y,x),利用这一关系可以将已知一条曲线上的点转化到另一条曲线上利用这一关系可以将已知一条曲线上的点转化到另一条曲线上, ,直接直接 求点或求值求点或求值. . 【题组训练【题组训练】

22、1.1.设函数设函数f(xf(x)=2lg(2x-1),)=2lg(2x-1),则则f f-1 -1(0) (0)的值为的值为( () ) A.0A.0B.1B.1 C.10C.10D.D.不存在不存在 【解析【解析】选选B.B.令令f(xf(x)=0)=0得得: : 2lg(2x-1)=02lg(2x-1)=0 x=1,x=1,所以所以f f-1 -1(0)=1. (0)=1. 2.2.设函数设函数f(x)=logf(x)=loga a(x+b)(a(x+b)(a0,a1)0,a1)的图像过点的图像过点(2,1),(2,1),其反函数的图像过点其反函数的图像过点 (2,8),(2,8),则则

23、a+ba+b等于等于( () ) A.6A.6B.5B.5C.4C.4D.3D.3 【解析【解析】选选C.C.函数函数f(x)=logf(x)=loga a(x+b)(a(x+b)(a0,a1)0,a1)的图像过点的图像过点(2,1),(2,1),其反函数的图其反函数的图 像过点像过点(2,8),(2,8), 则则 a=3a=3或或a=-2(a=-2(舍舍),b=1,),b=1,所以所以a+ba+b=4.=4. a 2 a 2balog 2b1 log 8b28ba ，（）， 所以 （）， 3.(20203.(2020上海高一检测上海高一检测) )设函数设函数f(xf(x)=)= ( (其中其

24、中a a为常数为常数) )的反函数为的反函数为f f-1 -1(x), (x), 若函数若函数f f-1 -1(x) (x)的图像经过点的图像经过点(0,1),(0,1),则方程则方程f f-1 -1(x)=2 (x)=2的解为的解为_._. 【解析【解析】因为因为f f-1 -1(x) (x)的图像过点的图像过点(0,1),(0,1), 所以所以f(xf(x) )的图像过点的图像过点(1,0),(1,0), 即即 =0,=0,得得a=1,a=1, 所以所以f(xf(x)= ,)= , 因为因为f f-1 -1(x)=2, (x)=2,所以所以f(2)= =1,f(2)= =1,即即x=1.x

25、=1. 答案答案: :x=1x=1 xa 1 a x1 2 1 【补偿训练【补偿训练】 设函数设函数f(xf(x) )的图像关于点的图像关于点(1,2)(1,2)对称对称, ,且存在反函数且存在反函数f f-1 -1(x), (x),若若f(4)=0,f(4)=0,则则 f f-1 -1(4)= (4)= ( () ) A.0A.0B.4B.4C.-2C.-2D.2D.2 【解析【解析】选选C.C.根据题意可知点根据题意可知点(4,0)(4,0)在函数在函数f(xf(x) )的图像上的图像上, ,结合图像的对称性结合图像的对称性, , 可知点可知点(-2,4)(-2,4)在函数的图像上在函数的

26、图像上, ,所以有所以有f(-2)=4,f(-2)=4,所以有所以有f f-1 -1(4)=-2. (4)=-2. 备选类型互为反函数图像的应用备选类型互为反函数图像的应用( (直观想象、数学抽象直观想象、数学抽象) ) 【典例【典例】已知已知x x1 1是方程是方程x+lgx+lg x=3 x=3的一个根的一个根,x,x2 2是方程是方程x+10 x+10 x x=3=3的一个根的一个根, ,则则x x1 1+x+x2 2 的值是的值是 ( () ) A.6A.6B.3B.3C.2C.2D.1D.1 【思路导引【思路导引】根据互为反函数的图像关于直线根据互为反函数的图像关于直线y=xy=x对

27、称的性质求解对称的性质求解. . 【解析【解析】选选B.B.将已知的两个方程变形得将已知的两个方程变形得 lg x=3-x,10lg x=3-x,10 x x=3-x.=3-x. 令令f(x)=lg x,g(x)=10f(x)=lg x,g(x)=10 x x, , h(xh(x)=3-x.)=3-x. 如图所示如图所示. . 记记g(xg(x) )与与h(xh(x) )的交点为的交点为A(xA(x1 1,y,y1 1),), f(xf(x) )与与h(xh(x) )的交点为的交点为B(xB(x2 2,y,y2 2),),利用函数的性质易知利用函数的性质易知A,BA,B两点关于直线两点关于直线

28、y=xy=x对称对称, , 便有便有x x1 1=y=y2 2,x,x2 2=y=y1 1的结论的结论. . 将将A A点坐标代入直线方程点坐标代入直线方程, ,得得y y1 1=3-x=3-x1 1, , 再将再将y y1 1=x=x2 2代入上式代入上式, ,得得x x2 2=3-x=3-x1 1, , 即即x x1 1+x+x2 2=3.=3. 【解题策略【解题策略】 解答此类问题可先根据两个方程的形式特点解答此类问题可先根据两个方程的形式特点, ,观察出从正面难以入手观察出从正面难以入手, ,可变换可变换 方程形式方程形式, ,用数形结合的方法解决用数形结合的方法解决. . 【跟踪训练

29、【跟踪训练】 已知已知与与分别是函数分别是函数f f（x x）=2=2x x+x-5+x-5与与g g（x x）=log=log8 8x x3 3+x-5+x-5的零点的零点, ,则则 2 2 +log +log2 2的值为的值为( () ) A.4+logA.4+log2 23 3B.2+logB.2+log2 23 3 C.4C.4D.5D.5 【解析【解析】选选D.D.由由 =log=log8 8x x3 3+x-5,+x-5, 化简得化简得 =log=log2 2x+x-5,x+x-5, 设设2 2x x=5-x,log=5-x,log2 2x=5-x,x=5-x, 由由y=2y=2x

30、 x,y=log,y=log2 2x x互为反函数互为反函数, ,其图像关于直线其图像关于直线y=xy=x对称对称, , 作直线作直线y=5-x,y=5-x,分别交分别交y=2y=2x x,y=log,y=log2 2x x的图像为的图像为A,BA,B两点两点,P ,P 点为点为A,BA,B的中点的中点, , g(x) g(x) (x,y) 联立联立 由中点坐标公式得由中点坐标公式得: :+ +=5,=5, 所以所以2 2 +log +log2 2= = yx 5 x y5x2 ， 得， ， (5)(5)10 ()5. 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.若函数若函数y=f(xy=f(x

31、) )的图像位于第一、二象限的图像位于第一、二象限, ,则它的反函数则它的反函数y=fy=f-1 -1(x) (x)的图像位于的图像位于 ( () ) A.A.第一、二象限第一、二象限B.B.第三、四象限第三、四象限 C.C.第二、三象限第二、三象限D.D.第一、四象限第一、四象限 【解析【解析】选选D.D.结合函数与反函数关于结合函数与反函数关于y=xy=x对称得出对称得出, ,即可得出反函数位于第一、即可得出反函数位于第一、 四象限四象限. . 2.2.若函数若函数y=f(xy=f(x) )是函数是函数y=ay=ax x(a(a00且且a1)a1)的反函数的反函数, ,且且f(2)=1,f(2)=1,则则f(8)=f(8)=( () ) A.3A.3B.B. C.-3C.-3D.-D.- 【解析【解析】选选A.A.由题意可知由题意可知f(xf(x)=)=logloga ax,f(2)=x,f(2)=logloga a2=1,a=2,2=1,a=