数字信号处理及应用第2章时域离散信号和系统的频域分析

1、第2章 时域离散信号和系统的 频域分析 通信与信息工程学院通信与信息工程学院 数字信号处理教学团队数字信号处理教学团队 Jean Baptiste Joseph Fourier生 于1768年3月21日法国奥克斯雷 （Allxerre）。 Jean Baptiste Joseph Fourier 与傅立叶变换与傅立叶变换 傅立叶级数的提出和完善 1807年 1829年 傅立叶级数到傅立叶积分的推广 周期信号表示傅立叶级数 非周期信号表示傅立叶积分 应用广泛：数学、物理学 内容提要 2.1 2.1 傅立叶变换的复习傅立叶变换的复习 2.2 2.2 时域离散信号的傅立叶变换与性质时域离散信号的傅立

2、叶变换与性质 2.3 2.3 序列的序列的Z Z变换变换 2.4 2.4 时域离散系统的频域分析时域离散系统的频域分析 2.1 傅立叶变换的复习 rad0Hz,10 ),2cos()( 0 0 c c f tftx 010203040 0 20 40 60 80 100 absfftx(n) f(Hz) 050100150200250 0 20 40 60 phasefftx(n) f(Hz)00.10.20.3 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x(n) t(s) rad3/Hz,15 ;rad0Hz,10 ),2cos(5 . 2)2cos()( 22 11 2211 f

3、f tftfty 00.10.20.30.4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y(n) t(s) 0102030405060 0 50 100 150 200 250 absffty(n) f(Hz) 050100150200250 0 10 20 30 40 50 60 phaseffty(n) f(Hz) -50050 0 500 1000 1500 absfty(t) f (Hz) -50050 -40 -20 0 20 40 60 phasefty(t) f (Hz) rad3/Hz,15;rad0Hz,10 ),()2cos(5 . 2)2cos()()()( 2211

4、2211 ff tntftftntxty Hz10),2cos( 111 ftf Hz15),2cos( 222 ftf x与y比较： 80)()( n nynx x与z比较： 56)()( n nznx 傅立叶基傅立叶基 信号信号x(t)(或或x(n)在某个傅立叶基上的分量在某个傅立叶基上的分量 ( 或或 ） 该量表征了信号与该傅立叶基的相似程度该量表征了信号与该傅立叶基的相似程度 信号的傅立叶变换为信号的傅立叶变换为 从数学角度来看：积分与求和从数学角度来看：积分与求和 tj e dtetx tj )( n nj enx )( dtetxjX tj )()( n njj enxeX )()

5、(或 dttx )( )(nx或 2.1 傅立叶变换的复习 2.2 序列的傅立叶变换 序列的傅立叶变换：序列的傅立叶变换： 反变换：反变换： 示例：示例： n njj enxeX )()( 4),()( 1 NnRnx N 02468101214161820 0 0.5 1 x(n) -3-2-10123 0 2 4 absfftx(n) -3-2-10123 -5 0 5 phasefftx(n) deeXnx jj )( 2 1 )( 序列的傅立叶变换性质：序列的傅立叶变换性质： 1.序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换 是数字频率是数字频率 的连续函数的连续函数 2. 是频率是频率 的周期函

6、数，周期的周期函数，周期 为为 ；或者说，；或者说， 是其主值是其主值 函数的周期延拓；（周期性）函数的周期延拓；（周期性） 3.线性线性 4.时移时移 频移频移 )( j eX )( j eX 2 )( j eX n nMjMjj enxeXeX )2()2( )()()( 0 00 0 ( ()() ( )() j nj jnj FT x nneX e FT ex nX e )()()()( 2121 jj ebXeaXnbxnaxFT 1. 共轭对称序列共轭对称序列 )()( * nxnx ee )()( * nxnx ee 或 l某些特殊序列：某些特殊序列： )()()( )()()(

7、 * njxnxnx njxnxnx eiere eiere )()()()(nxnxnxnx eieierer 实部是偶函数，而虚部是奇函数实部是偶函数，而虚部是奇函数 2. 共轭反对称序列共轭反对称序列 )()( * nxnx oo )()( * nxnx oo 或 )()()( )()()( * njxnxnx njxnxnx oioro oioro )()()()(nxnxnxnx oioioror 实部是奇函数，而虚部是偶函数实部是奇函数，而虚部是偶函数 p 对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即 )()()(nxnx

8、nx oe )()()( * nxnxnx oe )()(nxnx oe )()( 2 1 )( )()( 2 1 )( * * nxnxnx nxnxnx o e 2.2 序列的傅立叶变换 )()( 2 1 )( )()( 2 1 )( * * nxnxnx nxnxnx o e )()()(nxnxnx oe n nj enxnxFT )()( * * )( n nj enx * )( m mj emx )( *j eX )()( 2 1 ? * 1 jj eXeX )()( 2 1 ? * 2 jj eXeX )( j R eX )( j I ejX )( j eX 21 ? )()()

9、(nxnxnx oe )()()( j I j R j ejXeXeX 2.2 序列的傅立叶变换 )()()( j o j e j eXeXeX )(nx 43 ? * * )()( m mjj emxeX * * )()( m mjj emxeX m mj emx )( * )( * nxFT )()( 2 1 )( *jjj e eXeXeX )()( 2 1 )( *jjj o eXeXeX 3 ?)()( 2 1 * nxnx )(nxr )(njxi 4 ? )()( 2 1 * nxnx )()()(njxnxnx ir )()()( j o j e j eXeXeX 2.2 序列

10、的傅立叶变换 序列的傅立叶变换性质： 5. 共轭对称性 )()()(njxnxnx ir )()()( j o j e j eXeXeX )()()(nxnxnx oe )()()( j I j R j ejXeXeX l实因果序列实因果序列: : 0)(; 0)(, 0nhnhn i )()()( *jj e j eHeHeH 奇函数 偶函数； )()( )()( II jj j R j R eHeH eHeH )()( 2 1 )( )()( 2 1 )( * * nxnxnx nxnxnx o e 0, 2/ )( 0, 2/ )( 0, 0 )( 0, 2/ )( 0, 2/ )( 0

11、),0( )( nnh nnh n nh nnh nnh nh nh o e 0, 0 0),0( 0),(2 0, 0 0),0( 0),(2 )( n nh nnh n nh nnh nh o e e 例例2.2.3 2.2 序列的傅立叶变换 序列的傅立叶变换性质：序列的傅立叶变换性质： 6. 频域卷积定理频域卷积定理 )()()(nhnxny deHeX eHeXeY jj jjj )()( 2 1 )( 2 1 )( )( 8. 帕斯维尔（帕斯维尔（Parseval）定理）定理 deXnx j 2 2 )( 2 1 )( 7.时域卷积定理时域卷积定理 )(*)()(nhnxny jjj

12、 eHeXeY)()( 2.2.1 周期序列的傅立叶变换 成谐波关系的复指数信号的线性组合 , )4 2 ()3 2 ()2 2 ( 2 )0 2 (n N jn N jn N jn N jn N j eeeee )( 0 nx)( 1 nx)( 2 nx 一组复正弦序列：一组复正弦序列： , 2, 1, 0,)( ) 2 ( kenx nk N j k k N k N ) 2 2 2 /( nrNk N j krN enx )( 2 ( )( nrN N jnk N j ee ) 2 () 2 ( nk N j e ) 2 ( )(nxk 周期均为周期均为N nN N jn N jn N j

13、n N jn N j eeeee )1( 2 )2 2 ()2 2 ( 2 )0 2 ( , )( 0 nx)( 1 nx)( 2 nx )(nxk)( 1 nxN 基波基波 N 2 0 1. 各次谐波周期均为各次谐波周期均为N； 2. 各次谐波的角频率均为基各次谐波的角频率均为基 波频率的整数倍。波频率的整数倍。 K次谐波次谐波 比较该组复正弦序列中的任意两个谐波比较该组复正弦序列中的任意两个谐波 与与 ： )(nxk)(nx m 谐波序列组：谐波序列组： 1 0 )( 2 1 0 )()( N n nmk N j N n mk enxnx , 3, 2, 1, 0mk 1 0 1 0 )(

14、 2 sin)( 2 cos N n N n nmk N jnmk N k-m非零时，上式的三角函数的周期均为非零时，上式的三角函数的周期均为N即，求和始终在周期函数的一个周期内进行即，求和始终在周期函数的一个周期内进行 k-m非零时非零时,求和为零求和为零 k-m=0,求和的每一项均为求和的每一项均为1，故和式为，故和式为N mk mkN , 0 , 0)()( n nynx 序列序列x(n)与与y(n)正交正交 nm N j nk N j eny enx 2 2 )( )( 0 )()( 1 0 )( 2 1 0 N n nmk N j N n enynx x(n)与与y(n)具有相同的周

15、期具有相同的周期N 0)()( n nynx 该组序列中任意两个谐波序列均为正交关系该组序列中任意两个谐波序列均为正交关系 加权系数，序列加权系数，序列 的频谱系数的频谱系数 ) (nx )( nx 1 0 2 )( N k kn N j k eanx )()()()()( 11221100 1 0 nxanxanxanxanxa NN N k kk 利用谐波序列的线性叠加来表示一个周期为利用谐波序列的线性叠加来表示一个周期为N的周期序列：的周期序列： 2 1 0 1 ( ) N jkm N k n ax n e N k a为周期序列为周期序列 为求系数为求系数 ， 将上式两边乘以将上式两边乘

16、以 ， 并对并对n在一个周期在一个周期N中求和：中求和： k a mn N j e 2 1 0 1 0 )( 2 )( N k N n k nmk N j ae mk mkN e N n nmk N j , 0 , 1 0 )( 2 mn N j N n N k kn N j k mn N j N n eeaenx 2 1 0 1 0 22 1 0 )( nmk N j N n N k k ea )( 2 1 0 1 0 2.2.1 周期序列的傅立叶变换 成谐波关系的复指数信号的线性组合 令令 ，则周期序列的傅里叶级数展开及其系数可表示成：，则周期序列的傅里叶级数展开及其系数可表示成： 2.2

17、.1 周期序列的傅立叶变换 k NakX)( kn N j N k N k kn N j enxkXekX N nx 2 1 0 1 0 2 )( )( )( 1 )( 1, 1 , 0, 2 Nke kn N j N次谐波次谐波 周期序列可分解为周期序列可分解为N次谐波，次谐波， 或者说，或者说，N次谐波可叠加成周期序列次谐波可叠加成周期序列 )( jX a )( j eX 0 0 2 0 4 0 6 0 l序列序列 的的FT： nj e 0 0 ( ) jt a x te 0 0 ()2(2) jnj r X eFT er nj e 0 2.2.1 周期序列的傅立叶变换 1 0 2 )(

18、1 )( N k kn N j ekX N nx 1 0 )2 2 ( )( 2 )( N kr j rk NN kX eX k k N kX N ) 2 ()( 2 l一般周期序列一般周期序列: kn N j N k enxkX 21 0 )( )( 1 0 2 )( 1 N k kn N j ekX N 2.2.1 周期序列的傅立叶变换 nN N j N n N jn N j N k kn N j eaeaeaaekX N nx )1)( 2 ( 1 2) 2 ( 2 2 10 1 0 2 )( 1 )( )( j eX k k N kX N ) 2 ()( 2 l一般周期序列一般周期序列

19、: 周期序列的傅立叶变换是一组离散谱线，谱线间隔为周期序列的傅立叶变换是一组离散谱线，谱线间隔为N/2 1 0 2 )( 1 )( N k kn N j ekX N nx 1 0 )2 2 ( )( 2 )( N kr j rk NN kX eX kn N j N k enxkX 21 0 )( )( 1 0 2 )( 1 N k kn N j ekX N 2.2.1 周期序列的傅立叶变换 -60-40-200204060 -1 0 1 2 )(nx -0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5 0 50 100 150 200 f (Hz) absfftx 例例2

20、.2.2 2.2.2 时域离散信号的傅立叶变换与模拟信号 傅立叶变换之间的关系 模拟信号模拟信号xa(t)： ( )() () a a n x tx nTtnT l 采样信号：采样信号： l采样定理：对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样定理：对连续信号进行等间隔采样形成采样信号， 采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进 行周期性的延拓形成的。行周期性的延拓形成的。 k saa jkjX T jX)( 1 )( 如果时域离散序列如果时域离散序列x(n) 是由对模拟信号是由对模拟信号 xa(t)采样产生的，即在数值上有下面关采样产

21、生的，即在数值上有下面关 系式成立：系式成立： x(n)=xa(nT) 1 ()() 2 jnT aa xnTXjed lX(e j) 和和 Xa(j) 之间有什么关系？数字频率之间有什么关系？数字频率与模拟频率与模拟频率(f)之间有什之间有什 么关系？么关系？ t=nT (21)/ (21)/ 1 ()() 2 rT jnT aa rT r xnTXjed 2 r T 2.2.2 时域离散信号的傅立叶变换与模拟信号 傅立叶变换之间的关系 e-j2r n=1 =T 序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换X(ej)是模拟是模拟 信号的傅里叶变换信号的傅里叶变换Xa(j)的周期的周期 延拓，延拓周期为延

22、拓，延拓周期为s=2/T 2.2.2 时域离散信号的傅立叶变换与模拟信号傅立 叶变换之间的关系 0.5 100.51 0.5 100.51 0.5 100.51 fs 2 s f fs f f 2 s 2 s f 2 s s s 0 0 02 2 l模拟与数字频率轴上取值的对应关系：模拟与数字频率轴上取值的对应关系： s fT/ 模拟频率模拟频率 f2 数字频率数字频率 s s s fff / / / 2.2.2 时域离散信号的傅立叶变换与模拟信号 傅立叶变换之间的关系 Xa(j ) 0 0 s 2 s 2 s s T Xa(j ) 0 2 2 （ a ） （ b ） （ c ） X(ej)

23、0 2f 0 2f 0 2f 0 2f 22 例例 2.4.1设设xa(t)=cos(2f0t) ， f0=50 Hz以采样频率以采样频率 fs=200Hz 对对xa(t)进行采样，得到采进行采样，得到采 样信号样信号 和时域离散信号和时域离散信号x(n) ，求，求xa(t)和和 的傅里叶变换以及的傅里叶变换以及x(n)的的FT。 ( )axt ( )axt 2.2.2 时域离散信号的傅立叶变换与模拟信号 傅立叶变换之间的关系 Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要求级数绝对可和，要求级数绝对可和， 即即 2.3序列的Z变换 ( )( ) n n X zx

24、n z l Z变换的定义变换的定义 序列序列x(n)的的Z变换定义为：变换定义为： 式中式中z是一个复变量，即为任意复数。是一个复变量，即为任意复数。 信号信号 与与 复指数信复指数信 号的比较号的比较 )(nx n z j erz 1r j ez 傅立叶变换是傅立叶变换是Z变换的特例变换的特例 Z变换是傅立叶变换的推广变换是傅立叶变换的推广 傅立叶变换是单位圆上的傅立叶变换是单位圆上的Z变换变换 ()( ) j j z e X eX z 收敛问题收敛问题 Z变换的收敛域：变换的收敛域： 常用的常用的Z变换是一个有理函数，变换是一个有理函数， 用两个多项式之比表示：用两个多项式之比表示： (

25、) ( ) ( ) P z X z Q z 序列序列x(n)的的Z变换存在时，仅当变换存在时，仅当Z变换收敛域变换收敛域 包含单位圆时，其傅立叶变换才同时存在包含单位圆时，其傅立叶变换才同时存在 2.3序列的序列的Z Z变换变换 0)( 21 nxnnn 2 1 ( )( ) n n n n X zx n z 序列特性对收敛域的影响序列特性对收敛域的影响 1. 有限长序列：有限长序列： -20246810 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 n x(n) 0, 0 21 nn )(zX 仅包含仅包含z的正幂次项的正幂次项 z0 0, 0 21 nn )(zX仅包含仅

26、包含z的负幂次项的负幂次项 z0 0, 0 21 nn )(zX包含包含z的正负幂次项的正负幂次项 z0 2.3序列的Z变换 2 1 ( )( ) n n n n X zx n z 2 n 2. 右序列：右序列： u(n) 0123 1 n 0 1 n 0 1 )()()( 1 n n nn n znxznxzX 包含包含z的正负幂次项的正负幂次项 z0 1 )()( nn n znxzX 仅包含仅包含z的负幂次项的负幂次项 z0 0 1 n 因果序列因果序列 2.3序列的Z变换 3. 左序列：左序列： 2 1 ( )( ) n n n n X zx n z 1 n 0 2 n 2 )()( n n n znxzX 仅包含仅包含z的正幂次项的正幂次项 z0 2 0 1 )()()( n n n n n znxznxzX 包含包含z的正负幂次项的正负幂次项 z0 0 2 n 2.3序列的Z变换 2 1 ( )( ) n n n n X zx n z 1 n 2 n 4. 双边序列：双边序列： 0 1 )()()()( n n n n n n znx