弹性理论基础答案

1、弹性理论基础答案 【篇一：弹性力学基础习题答案 nnnn1 】/p 2.1 计算： (1)?pi?iq?qj?jk ，(2)epqieijkajk ，(3)eijpeklpbkiblj 。解：(1)?pi?iq?qj?jk(2)epqieijkajk2.2 证明：若 aij (3)eijpeklpbkiblj ?pq?qj?jk?pj?jk?pk; ?(?ik?jl?il?jk)bkiblj?biibjj?bjibij 。?(?pj?qk?pk?qj)ajk?apq?aqp;?aji ，则 eijkajk?0 。 证 ： 2eijkajk?eijkajk?eikjakj?eijkajk?eij

2、kakj?eijkajk?eijkajk?0 。 2.3 设 a、b 和 c 是三个矢量，试证明：a?aa?ba?cb?ab?bb?c?a,b,c2 c?ac?bc?c a?aa?ba?caiaiaibiaicia1a2a3a1b1c12证：b?ab?bb?c?biaibibibici?b1b2b3a2b2c2?a,b,c 。 c?ac?bc?cciaicibicicic1c2c3a3b3c32.4 设 a、b、c 和 d 是四个矢量，证明： (a?b)?(c?d)?(a?c)(b?d)?(a?d)(b?c)证：(a?b)?(c?d)?aibjeijkek?cldmelmnen?aibjcld

3、meijkelmk ?aibjcld m(?il?jm?im?jl)?(aici)(bjdj)?(aidi)(bjcj) ?(a?c)(b?d)?(a?d)(b?c)。 2.5 设有矢量 u?uiei 。原坐标系绕 z 轴转动 ?系，如图 2.4 所示。试求矢量 u 在新坐标系中的分量。解：?1?1?cos? ，?1?2?sin? ，?1?3?0 ，?2?1?sin? ，?2?2?cos?，?2?3?0 ，?3?1?0 ，?3?2?0 ，?3?3?1 。u1?1?iui?u1cos?u2sin? ，图 2.4 1u2?2?iui?u1sin?u2cos? ，u3?3?iui?u3 。 2.6

4、设有二阶张量 t?tijei?ej 。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量 t 在新坐标系中的分量 t1?1? 、t1?2? 、t1?3? 和 t3?3? 。 解：变换系数同上题。 t1?1?1?i?1?jtij? t11?t222?t11?t222cos2?t12?t212sin2? ， t1?2?t12?t21?t12?t21t?t 22cos2?22112sin2? ，t1?3?t13cos?t23sin? ， t3?3?t33 。2.7 设有 3n 个数 ai1i2?in，对任意 m 阶张量 bj1j2?jm，定义 ci1i2?inj1j2?jm?ai1i2 ?in bj1j2 ?jm

5、若 ci1i2?inj1j2?jm 为 n?m 阶张量，试证明 ai1i2?in是 n 阶张量。证：为书写简单起见，取 n?2 ，m?2 ，则 cijkl?aijbkl ，在新坐标系中，有 ci?j?k?l?ai?j?bk?l?(a)因为 cijkl 和 bkl 是张量，所以有ci?j?k?l?i?i?j?j?k?k?l?lcijkl?i?i?j?jaij?k?k?l?lbkl?i?i?j?jaijbk?l?比较上式和式 (a)，得 (ai?j?i?i?j?jaij)bk?l?0由于 b 是任意张量，故上式成立的充要条件是 ai?j?i?i?j?jaij即 aij 是张量。 2.8 设a 为二

6、阶张量，试证明 i?a?tra 。证：i?a?ei?ei?ajkej?ek=ajk(ei?ej)(ei?ek)=ajk?ij?ik=aii=tra 。2.9 设 a 为矢量， a 为二阶张量，试证明：2(1)a?a?(at?a)t ，(2)a?a?(a?at)t 证：(1) ?(at?a)t ?(ajiei?ej?akek)t?(ajiei?akejknen)t ?ajnakejkiei?en?(ajiakejknei?en)t (2) ?(a?at)t ?akek?ajnej?en?a?a 。?(aiei?akjej?ek)t?(akjaieijnen?ek)t?(anjaieijken?e

7、k)?anjen?aiejikek?anjen?ej?aiei?a?a2.10 已知张量 t 具有矩阵 ?123?t?456? ?789?求 t 的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。解：t 的对称部分具有矩阵 ?135?1 (t?tt)?357? ， 2?579? ?t 的反对称部分具有矩阵 ?0?1?2?1 (t?tt)?10?1? 。 2?210? ?2.11 已知二阶张量 t 的矩阵为 ?3?10?t?130?001? 求 t 的特征值和特征矢量。3?10 解：?13?0?(1?)(3?)2?1?0001? 由上式解得三个特征值为 ?1?4 ，?2?2 ，?3?1 。 将求出的特征

8、值代入书中的式 (2.44), 并利用式 (2.45) ，可以求出三个特征矢量为3 a11?e2)，ae1+e2) ，a3?e3 。2.12 求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：a?i?m?m ，b?m?n?n?m其中， ?和?是实数， m 和 n 是两个相互垂直的单位矢量。 解：因为a?m?(?i?m?m)?m?(?)m ，所以 m 是 a 的特征矢量， ? 是和其对应的特征值。设 a 是和 m垂直的任意单位矢量，则有 a?a?(?i?m?m)?a?a所以和 m 垂直的任意单位矢量都是征方程的重根。 令 e2 则有a 的特征矢量，相应的特征值为 ?，显然 ?是特 m?n) ，e3m?n)

9、，e1=e2?e3 e2+e3)，n?e2+e3) 上面定义的 ei 是相互垂直的单位矢量。张量 b 可以表示成 b?0e1?e1?e2?e2+e3?e3所以，三个特征值是 1、0 和1，对应的特征矢量是 e3、e1 和 e2。 m2.13 设 a 和 b 是矢量，证明： (1)?(?a)?(?a)?2a (2)?(a?b)?b?(?a)?a?(?b)?a(?b)?b(?a) 证：(1) 这一等式的证明过程和书中证明式 (2.14) 的过程相同，在此略。 (2) ?(a?b)?ei?(ajej?bkek)?ei?(ajbkejkmem) ?xi?xi ?(aj,ibk?ajbk,i)ejkme

10、imnen?(aj,ibk?ajbk,i)(?jn?ki?ji?kn)en?aj,ibiej?ajbi,iej?aj,jbkek?aibk,iek?b?(?a)?a?(?b)?a(?b)?b(?a) 2.14 设 a?x2yze1?2xz3e2?xz2e3 ，求 w?1(a?a) 及其轴向矢量。 2 4解：w?1(a?a) 2 ?1(x2z?2z3)e1?e2?(x2y?z2)e1?e3?(2z3?x2z)e2?e1 22.15 设 s 是一闭曲面， r 是从原点 o 到任意一点的矢径，试证明：(1)若原点 o 在 s 的外面，积分 (2)若原点 o 在 s 的内部，积分证： (1) 当 r?

11、0 时，有 ?(n?r?r3?0 ； s n?r?r3?4? 。 sr?xi)?()?0 (b) r3?xir3 因为原点在 s 的外面，上式在 s 所围的区域 v 中处处成立，所以由高斯公式得 n?rr?r3?(r3)dv?0 。 sv(2)因为原点在 s 的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为a 的球面 s? 完全在 s 的内部。用 v 表示由 s 和 s? 所围的区域，在 v中式(b) 成立，所以n?rn?rn?rr ?ds?(?r3?r3?r3?r3)dv?0s?sssvn?rn?r ?r3?r3ds ss即在 s? 上，r?a ，n?r/a ，于是 2.16 设 ?r s n?

12、r3? n?r11?2ds?2?ds?4? 。 3raas?s?s?f?ye1?(x?2xz)e2?xye3 ，试计算积分 ?(?f)?nds 。式中 s 是球面 s在 xy 平面的上面部分 . x2?y2?z2?a2解：用 c 表示圆 x2?y2?a2 ，即球面 x2?y2?z2?a2 和 xy 平面的交线。由 stokes公式得 5【篇二：弹性力学基础 (程尧舜 同济大学出版社 )课后习题解答】/p 2.1 计算： (1)?pi?iq?qj?jk ，(2)epqieijkajk ，(3)eijpeklpbkiblj 。解：(1)?pi?iq?qj?jk(2)epqieijkajk2.2 证

13、明：若 aij (3)eijpeklpbkiblj?pq?qj?jk?pj?jk?pk;?(?ik?jl?il?jk)bkiblj?biibjj?bjibij 。?(?pj?qk?pk?qj)ajk?apq?aqp; ?aji ，则 eijkajk?0 。证 ： 2eijkajk?eijkajk?eikjakj?eijkajk?eijkakj?eijkajk?eijkajk?0 。2.3 设 a、b 和 c 是三个矢量，试证明： a?aa?ba?cb?ab?bb?c?a,b,c2 c?ac?bc?c a?aa?ba?caiaiaibiaicia1a2a3a1b1c12证：b?ab?bb?c?b

14、iaibibibici?b1b2b3a2b2c2?a,b,c 。 c?ac?bc?cciaicibicicic1c2c3a3b3c32.4 设 a、b、c 和 d 是四个矢量，证明： (a?b)?(c?d)?(a?c)(b?d)?(a?d)(b?c)证：(a?b)?(c?d)?aibjeijkek?cldmelmnen?aibjcldmeijkelmk ?aibjcld m(?il?jm?im?jl)?(aici)(bjdj)?(aidi)(bjcj) ?(a?c)(b?d)?(a?d)(b?c)。 2.5 设有矢量 u?uiei 。原坐标系绕 z 轴转动 ?系，如图 2.4 所示。试求矢量

15、u 在新坐标系中的分量。解：?1?1?cos? ，?1?2?sin? ，?1?3?0 ，?2?1?sin? ，?2?2?cos?，?2?3?0 ，?3?1?0 ，?3?2?0 ，?3?3?1 。u1?1?iui?u1cos?u2sin? ，图 2.4 1u2?2?iui?u1sin?u2cos? ， u3?3?iui?u3 。 2.6 设有二阶张量 t?tijei?ej 。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量 t 在新坐标系中的分量 t1?1? 、t1?2? 、t1?3? 和 t3?3? 。 解：变换系数同上题。t1?1?1?i?1?jtij?t11?t222?t11?t222cos2?t12

16、?t212sin2? ， t1?2?t12?t21?t12?t21t?t 22cos2?22112sin2? ，t1?3?t13cos?t23sin? ， t3?3?t33 。2.7 设有 3n个数 ai1i2?in，对任意 m 阶张量 bj1j2?jm，定义 ci1i2?inj1j2?jm?ai1i2 ?in bj1j2 ?jm若 ci1i2?inj1j2?jm 为 n?m 阶张量，试证明 ai1i2 ?in是 n 阶张量。证：为书写简单起见，取 n?2 ，m?2 ，则 cijkl?aijbkl ，在新坐标系中，有 ci?j?k?l?ai?j?bk?l?(a)因为 cijkl 和 bkl 是

17、张量，所以有ci?j?k?l?i?i?j?j?k?k?l?lcijkl?i?i?j?jaij?k?k?l?lbkl?i?i?j?jaijbk?l?比较上式和式 (a)，得 (ai?j?i?i?j?jaij)bk?l?0由于 b 是任意张量，故上式成立的充要条件是 ai?j?i?i?j?jaij即 aij 是张量。 2.8 设a 为二阶张量，试证明 i?a?tra 。证：i?a?ei?ei?ajkej?ek=ajk(ei?ej)(ei?ek)=ajk?ij?ik=aii=tra 。2.9 设 a 为矢量， a 为二阶张量，试证明： 2(1)a?a?(at?a)t ，(2)a?a?(a?at)t

18、证：(1) ?(at?a)t ?(ajiei?ej?akek)t?(ajiei?akejknen)t ?ajnakejkiei?en?(ajiakejknei?en)t (2) ?(a?at)t ?akek?ajnej?en?a?a 。 ?(aiei?akjej?ek)t?(akjaieijnen?ek)t?(anjaieijken?ek)?anjen?aiejikek?anjen?ej?aiei?a?a2.10 已知张量 t 具有矩阵 ?123?t?456?789?求 t 的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。解：t 的对称部分具有矩阵 ?135?1 (t?tt)?357? ， 2?57

19、9? ?t 的反对称部分具有矩阵 ?0?1?2?1 (t?tt)?10?1? 。 2?210? ? 2.11 已知二阶张量 t 的矩阵为?3?10?t?130?001?求 t 的特征值和特征矢量。3?10 解：?13?0?(1?)(3?)2?1?0 001?由上式解得三个特征值为 ?1?4 ，?2?2 ，?3?1 。将求出的特征值代入书中的式 (2.44), 并利用式 (2.45) ，可以求出三个特征矢量为3 a11?e2)，ae1+e2) ，a3?e3 。2.12 求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：a?i?m?m ，b?m?n?n?m其中， ?和?是实数， m 和 n 是两个相互垂直的单

20、位矢量。 解：因为a?m?(?i?m?m)?m?(?)m ，所以 m 是 a 的特征矢量， ? 是和其对应的特征值。设 a 是和 m垂直的任意单位矢量，则有 a?a?(?i?m?m)?a?a所以和 m 垂直的任意单位矢量都是征方程的重根。 令 e2 则有a 的特征矢量，相应的特征值为 ?，显然 ?是特m?n) ，e3m?n) ，e1=e2?e3 e2+e3)，n?e2+e3) 上面定义的 ei 是相互垂直的单位矢量。张量 b 可以表示成 b?0e1?e1?e2?e2+e3?e3所以，三个特征值是 1、0 和1，对应的特征矢量是 e3、e1 和 e2。 m2.13 设 a 和 b 是矢量，证明：

21、 (1)?(?a)?(?a)?2a (2)?(a?b)?b?(?a)?a?(?b)?a(?b)?b(?a) 证：(1) 这一等式的证明过程和书中证明式 (2.14) 的过程相同，在此略。 (2) ?(a?b)?ei?(ajej?bkek)?ei?(ajbkejkmem) ?xi?xi ?(aj,ibk?ajbk,i)ejkmeimnen?(aj,ibk?ajbk,i)(?jn?ki?ji?kn)en?aj,ibiej?ajbi,iej?aj,jbkek?aibk,iek?b?(?a)?a?(?b)?a(?b)?b(?a) 2.14 设 a?x2yze1?2xz3e2?xz2e3 ，求 w? 1

22、(a?a) 及其轴向矢量。 2 4解：w?1(a?a) 2 ?1(x2z?2z3)e1?e2?(x2y?z2)e1?e3?(2z3?x2z)e2?e1 22.15 设 s 是一闭曲面， r 是从原点 o 到任意一点的矢径，试证明：(1)若原点 o 在 s 的外面，积分 (2)若原点 o 在 s 的内部，积分证： (1)当 r?0 时，有 ?(n?r?r3?0 ； s n?r?r3?4? 。 s r?xi)?()?0 (b) r3?xir3 因为原点在 s 的外面，上式在 s 所围的区域 v 中处处成立，所以由高斯公式得 n?rr?r3?(r3)dv?0 。 sv(2)因为原点在 s 的内部，所

23、以必定存在一个以原点为球心、半径为a 的球面 s? 完全在 s 的内部。用 v 表示由 s 和 s? 所围的区域，在 v中式(b) 成立，所以n?rn?rn?rr ?ds?(?r3?r3?r3?r3)dv?0s?sssvn?rn?r ?r3?r3ds ss即在 s? 上，r?a ，n?r/a ，于是 2.16 设 ?r sn?r 3 ? n?r11?2ds?2?ds?4? 。 3raas?s?s?f?ye1?(x?2xz)e2?xye3 ，试计算积分 ?(?f)?nds 。式中 s 是球面 s在 xy 平面的上面部分 . x2?y2?z2?a2 解：用 c 表示圆 x2?y2?a2 ，即球面

24、x2?y2?z2?a2 和 xy 平面的交线。由 stokes公式得 5【篇三：有限元法课后习题答案】2、有限元法将连续的求解域离散为若干个子域 ,得到有限个单元 ,单元和单元之间用节点连接3、直梁在外力的作用下 ,横截面的内力有 剪力和弯矩 两个. 4、平面刚架结构在外力的作用下 ,横截面上的内力有 轴力、剪力、弯矩 .5、进行直梁有限元分析 ,平面刚架单元上每个节点的节点位移为 挠度和转角6、平面刚架有限元分析，节点位移有 轴向位移、横向位移、转角。7、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是 线性关系。8、弹性力学问题的方程个数有 15 个，未知量个数有 15 个。9、弹性力学平面问题方

25、程个数有 8，未知数 8 个。10、几何方程是研究 应变 和 位移 之间关系的方程11、物理方程是描述 应力 和 应变 关系的方程12、平衡方程反映了 应力 和 体力 之间关系的13、把经过物体内任意一点各个 截面 上的应力状况叫做 一点 的应力状态14、9 形函数在单元上节点上的值 ,具有本点为 _1_. 它点为零的性质 ,并且在三角形单元的任一节点上 ,三个行函数之和为 _1_ 15、 形函数是 _三角形 _单元内部坐标的 _线性_函数,他反映了单元的_位移_状态16、在进行节点编号时 ,同一单元的相邻节点的 号码差 尽量小 .17、三角形单元的位移模式为 _线性位移模式 _-18、矩形单

26、元的位移模式为 _双线性位移模式 _ 19、在选择多项式位移模式的阶次时 ,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何 _各向同性20、单元刚度矩阵描述了 _节点力 _和_节点位移之间的关系21、矩形单元边界上位移是 连续 变化的1. 诉述有限元法的定义答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2. 有限元法的基本思想是什么答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单

27、元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。4. 有限元法有哪些优缺点答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他cad 软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。对无限求解域问题没有较好的处理办法。尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。5. 梁单元和平面钢架

28、结构单元的自由度由什么确定答：由每个节点位移分量的总和确定6. 简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵 单元刚度矩阵中元素 aml 的物理意义为单元第 l 个节点位移分量等于 1，其他节点位移分量等于 0 时，对应的第 m 个节点力分量。7. 有限元法基本方程中的每一项的意义是什么 p14答：q 整个结构的节点载荷列阵（外载荷、约束力）；整个结构的节点位移列阵；结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。8. 位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，引入边界条件，使整体刚度矩阵求的唯一解。9. 简述整体刚

29、度矩阵的性质和特点 p14答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正。10 简述整体坐标的概念 p25答：在整体结构上建立的坐标系叫做整体坐标，又叫做统一坐标系。11. 简述平面钢架问题有限元法的基本过程 答：1）力学模型的确定， 2）结构的离散化， 3）计算载荷的等效节点力，4）计算各单元的刚度矩阵， 5）组集整体刚度矩阵， 6）施加 边界约束条件， 7）求解降价的有限元基本方程，8）求解单元应力， 9）计算结果的输出。12. 弹性力学的基本假设是什么。答：连续性假定，弹性假定，均匀性和各向同性假定，小变形假定，无初应力假定。13.弹性力学和材料力学相比，其研究方法和对象有什么不同。答

30、：研究对象：材料力学主要研究杆件，如柱体、梁和轴，在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、空间体，板和壳等。因此，弹性力学的研究对象要广泛得多。研究方法：弹性力学和材料力学既有相似之外，又有一定区别。弹性力学研究问题，在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解，得出较精确的解答。而材料力学虽然也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的，材料力学只研究和适用于杆件问题。14. 简述圣维南原理。答；把物体一小部分上的面力变换为分布不同但静力等效的面力

31、，但影响近处的应力分量，而不影响远处的应力。 “局部影响原理 ”15.平面应力问题和平面应变问题的特点和区别各是什么？试各举出一个典型平面应力和平面应变的问题的实例。答：平面应力问题的特点：长、宽尺寸远大于厚度，沿板面受有平行板的面力，且沿厚度均匀分布，体力平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上无外力作用平面应变问题的特点： z 向尺寸远大于 x、y 向尺寸，且与 z 轴垂直的各个横截面尺寸都相同，受有平行于横截面且不沿 z 向变化的外载荷，约束条件沿 z 向也不变，即所有内在因素的外来作用都不沿长度变化。区别：平面应力问题中 z方向上应力为零，平面应变问题中 z 方向上应变为零、应力不

32、为零。举例：平面应力问题等厚度薄板状弹性体，受力方向沿板面方向，荷载不沿板的厚度方向变化，且板的表面无荷载作用。 平面应变问题 水坝用于很长的等截面四柱体，其上作用的载荷均平行于横截面，且沿柱长方向不变法。16. 三角形常应变单元的特点是什么？矩形单元的特点是什么？写出它们的位移模式。 答：三角形单元具有适应性强的优点，较容易进行网络划分和逼近边界形状，应用比较灵活。其缺点是它的位移模式是线性函数，单元应力和应变都是常数，精度不够理想。矩形单元的位移模式是双线性函数，单元的应力、应变式线性变化的，具有精度较高，形状规整，便于实现计算机自动划分等优点，缺点是单元不能适应曲线边界和斜边界，也不能随

33、意改变大小，适用性非常有限。17. 写出单元刚度矩阵表达式、并说明单元刚度与哪些因素有关。答：单元刚度矩阵与 节点力坐标变换矩阵， 局部坐标系下的单元刚度矩阵， 节点位移有关的坐标变换矩阵。18. 如何由单元刚度矩阵组建整体刚度矩阵（叠加法）？答：（ 1）把单元刚度矩阵 扩展成单元贡献矩阵 ,把单元刚度矩阵中的子块按其在整体刚度矩阵中的位置排列，空白处用零子块填充。（2）把单元的贡献矩阵 的对应列的子块相叠加，即可得出整体刚度矩阵 。19. 整体刚度矩阵的性质。答：（ 1）整体刚度矩阵 中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一节点沿坐标方形发生单位为移，而其他节点都保持为零的变形状态，在各节

34、点上所需要施加的节点力；（ 2）整体刚度矩阵中的主对角元素总是正的；（ 3）整体刚度矩阵是一个对称阵；（ 4）整体刚度矩阵式一个呈带状分布的稀疏性矩阵。（ 5）整体刚度矩阵式一个奇异阵，在排除刚体位移后，他是正定阵。20. 简述形函数的概念和性质。 答：形函数的性质有： (1)形函数单元节点上的值，具有 “本点为一、他点为零 ”的性质；（ 2）在单元的任一节点上，三角函数之和等于 1； （3）三角形单元任一一条边上的形函数，仅与该端点节点坐标有关， 而与另外一个节点坐标无关；（ 4）型函数的值在 01 之间变换。21. 结构的网格划分应注意哪些问题 .如何对其进行节点编号。才能使半带宽最小。

35、p50 ，p8 相邻节点的号码差最小答：一般首选三角形单元或等参元。对平直边界可选用矩形单元，也可以同时选用两种或两种以上的单元。一般来说，集中力，集中力偶，分布在和强度的突变点，分布载荷与自由边界的分界点，支撑点都应该取为节点，相邻节点的号码差尽可能最小才能使半带宽最小22. 为了保证解答的收敛性，单元位数模式必须满足什么条件？ 答：（ 1）位移模式必须包含单元刚体位移；（ 2）位移模式必须包含单元的常应变；（ 3）位移模式在单元内要连续，且唯一在相邻单 元之间要协调。在有限单元法中，把能够满足条件 1 和条件 2 的单元称为完备单元，把满足条件 3 的单元叫做协调单元或保续单元。23 有限

36、元分析求得的位移解收敛于真实解得下界的条件。 答：1.位移模式必须包含单元的刚体位移， 2.位移模式必须包含单元的常应变， 3.位移模式在单元内要连续，且位移在相邻单元之间要协 调。24. 简述等参数单元的概念。答：坐标变换中采用节点参数的个数等于位移模式中节点参数的个数，这种单元称为等参单元。25. 有限元法中等参数单元的主要优点是什么？答：1）应用范围广。在平面或空间连续体，杆系结构和板壳问题中都可应用。2）将不规则的单元变化为规则的单元后，易于构造位移模式。3）在原结构中可以采用不规则单元，易于适用边界的形状和改变单元的大小。4）可以灵活的增减节点，容易构造各种过度单元。5）推导过程具有通用性。一维，二维三维的推导过程基本相同。26. 简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。 答：（ 1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式；（ 2）通过坐标变换 和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参数单元的应力矩阵（ 4）用虚功原理球的单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。27. 为什么等参数单元要采用自然坐标来表示形函数？为什么要