高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）课件1 新人教A版必修4

1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二） 1.1.请回答：什么叫做周期函数？请回答：什么叫做周期函数？ 2.2.正弦函数、余弦函数是否是周期函数？周期是正弦函数、余弦函数是否是周期函数？周期是 多少？最小正周期是多少？多少？最小正周期是多少？ 对于函数对于函数f(xf(x) )，如果存在一个非零常数，如果存在一个非零常数T T，使得当，使得当x x 取定义域内的每一个值时，都有取定义域内的每一个值时，都有f(x+Tf(x+T)=)=f(xf(x) )，那，那 么函数么函数f(xf(x) )就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数T T叫做这个叫做这个 函数的周期函数的周期. . 正弦

2、函数、正弦函数、 余弦函数都是周期函数，余弦函数都是周期函数， 都是它们的周期，最小正周期均是都是它们的周期，最小正周期均是 . 2k (kk0)Z且 2 3.3.函数的周期性对于研究函数有什么意义？函数的周期性对于研究函数有什么意义？ 对于周期函数，如果我们能把握它在一个周期对于周期函数，如果我们能把握它在一个周期 内的情况，那么整个周期内的情况也就把握了内的情况，那么整个周期内的情况也就把握了. .这这 是研究周期函数的一个重要方法，即由一个周期是研究周期函数的一个重要方法，即由一个周期 的情况，扩展到整个函数的情况的情况，扩展到整个函数的情况. . 1.1.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性

3、、单调性掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性. . ( (重点）重点） 2.2.会利用三角函数的单调性判断一组数的大小，会利用三角函数的单调性判断一组数的大小， 会求给出的三角函数的单调区间会求给出的三角函数的单调区间. .( (重点、难点）重点、难点） 探究一、奇偶性探究一、奇偶性 1.1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？ x y O - -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 正弦曲线关于原点正弦曲线关于原点O O对称对称 y x O - -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2

4、 7 2 2 3 2 5 余弦曲线关于余弦曲线关于y y轴对称轴对称 提示提示: 2.2.根据图象的特点，猜想正余弦函数分别有什么性根据图象的特点，猜想正余弦函数分别有什么性 质？如何从理论上验证？质？如何从理论上验证？ sin(-x)=-sin(-x)=-sinx(xsinx(x R) ) y=y=sinx(xsinx(x R) )是奇函数是奇函数 cos(-xcos(-x)=)=cosx(xcosx(x R) ) y=y=cosx(xcosx(x R) )是偶函数是偶函数 定义域关于原点对称定义域关于原点对称 提示提示: 【即时训练即时训练】 探究二、单调性探究二、单调性 1.1.当当 时

5、，正弦函数在哪些区间上是增时，正弦函数在哪些区间上是增 函数？在哪些区间上是减函数？函数？在哪些区间上是减函数？ x y o - -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 y=sinx 3 x, 22 提示提示: 0 2 2 3 2 y=y=sinxsinx ( (x x R) ) 增区间为增区间为 ， 其值从其值从-1-1增至增至1 1 2 2 x x sinxsinx-1 0 1 0 -1 减区间为减区间为 ， 其值从其值从1 1减至减至-1-1 2 2 3 还有其他单调区间吗还有其他单调区间吗? 5335 , 222 222 2,2, 22 kkkZ

6、x y o- -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 y=sinx 2.2.由上面的正弦曲线你能得到哪些正弦函数的增区间由上面的正弦曲线你能得到哪些正弦函数的增区间 和减区间？怎样把它们整合在一起？和减区间？怎样把它们整合在一起？ 增区间：增区间： 减区间：减区间： 3357 , 222222 3 2,2, 22 kkkZ 周期性周期性 提示提示: x y o- -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 y=sinx 3.3.正弦函数有多少个增区间和减区间？观察正弦函数正弦函数有多少个增区间和减区间？观察正弦函数 的各个

7、增区间和减区间，函数值的变化有什么规律？的各个增区间和减区间，函数值的变化有什么规律？ 正弦函数有无数多个增区间和减区间正弦函数有无数多个增区间和减区间. . 在每个增区间上，函数值从在每个增区间上，函数值从 增大到增大到 ，11 在每个减区间上，函数值从在每个减区间上，函数值从 减小到减小到 . .11 提示提示: 正弦函数在每一个闭区间正弦函数在每一个闭区间 上都是上都是增增函数，其值从函数，其值从-1-1增大到增大到1 1； 在每一个闭区间在每一个闭区间 上都是上都是减减函数，函数， 其值从其值从1 1减小到减小到-1. -1. 2k ,2k (k) 22 Z 3 2k ,2k (k)

8、22 Z 4.4.余弦函数可以得到怎样相似的结论呢？余弦函数可以得到怎样相似的结论呢？ 2k ,2k,k Z 2k ,2k,kZ 在每个闭区间在每个闭区间_上都是减函数，上都是减函数， y x o- -1 2 3 4 -2 -3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 cosyx 余弦函数在每个闭区间余弦函数在每个闭区间_上都是增函数，上都是增函数， 其值从其值从_增大到增大到_； 11 其值从其值从_减小到减小到_._.11 提示提示: 求函数求函数 的单调递减区间的单调递减区间. .y3sin(2x),x0, 4 ， ， 数单调递减区间为 33 +2k+2k 2x+2k2x+2

9、k 242242 55 +k+k x+kx+k 8888 55 所所以以函函在在 0，0， 上上的的,.,. 8888 解解： 【即时训练即时训练】 正弦函数当且仅当正弦函数当且仅当x=_x=_时取得最大值时取得最大值 _；当且仅当；当且仅当x=_x=_时取得最小值时取得最小值_._. 探究三、最大值和最小值探究三、最大值和最小值 x y o- -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 sinyx 2k ,k 2 Z 1 2k ,k 2 Z 1 提示提示: 余弦函数当且仅当余弦函数当且仅当x=_x=_时取得最大值时取得最大值_； 当且仅当当且仅当x=_x=_

10、时取得最小值时取得最小值_._. 2k ,kZ 1 2k ,kZ 1 y x o- -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 cosyx 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合， 并写出最大值、最小值各是多少并写出最大值、最小值各是多少. . y2sinx,xR x x2k ,k 2 Z最大值为最大值为2 2 最小值为最小值为-2-2 答案：答案： x x2k ,k 2 Z 【即时训练即时训练】 例例1.1.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写 出取最大值、最小值

11、时的自变量出取最大值、最小值时的自变量x x的集合，并说出的集合，并说出 最大值、最小值分别是什么最大值、最小值分别是什么. . (1)ycosx1,xR.(2)y3sin2x,x R. 解：解：这两个函数都有最大值、最小值这两个函数都有最大值、最小值. (1)(1)使函数使函数 取得最大值的取得最大值的 的集合为的集合为ycosx1,xRx x x2k ,k,Z 使函数使函数 取得最小值的取得最小值的 的集合为的集合为ycosx1,xRx x x2k ,k, Z 最大值为最大值为1 12. 最小值为最小值为1 10. 使函数使函数 取得最大值的取得最大值的 的集合是的集合是 （2 2）令）令

12、 ，2zx z z2k ,k, 2 Z 由由 ，得，得2xz2k 2 xk . 4 y3sinz,z R z 因此使函数因此使函数 取得最大值的取得最大值的 的集合为的集合为xy3sin2x,x R x xk ,k. 4 Z 最大值为最大值为3.3. 同理使函数同理使函数 取得最小值的取得最小值的 的集合为的集合为xy3sin2x,x R x xk ,k. 4 Z最小值为最小值为-3.-3. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合， 并写出最大值、最小值各是多少并写出最大值、最小值各是多少. . x y2cos,x 3 R 答案：答案： x

13、x36k ,k Z最大值为最大值为3 3 x x6k ,kZ最小值为最小值为1 1 【变式练习变式练习】 例例2.2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的利用三角函数的单调性，比较下列各组数的 大小：大小： (1) sin( ) 与与 sin( ). 18 10 (2) cos( ) 与与cos( ). 23 5 17 4 解：解：（1 1）因为）因为0 21018 ， 又又y=y=sinxsinx 在在 上是增函数上是增函数, ,0 2 所以所以sin( ) sin( ).sin( ) sin( ). 18 10 想一想：想一想：用正弦函数用正弦函数 的哪个单调区间进行的哪个单调区间进行

14、比较？比较？ (2)(2)coscos( )=( )=coscos = = coscos , , 23 5 23 5 3 5 coscos( )=( )=coscos = =coscos . . 17 4 17 4 4 因为因为 3 0, 45 所以所以coscos coscos , , 4 3 5 又又 y=y=cosxcosx 在在 上是减函数上是减函数, ,0, 即即coscos( ) ( ) coscos( ).( ). 23 5 17 4 比较下列各组中两个三角函数值的大小：比较下列各组中两个三角函数值的大小： (1)sin250 _sin260 1514 (2)cos_cos 89

15、 【变式练习变式练习】 例例3.3.求函数求函数 的单调递增区间的单调递增区间. . 1 ysin(x),x2 ,2 23 解：解：令令 1 , 23 zx 函数函数 的单调递增区间是的单调递增区间是sinyz 2k ,2k. 22 由由 1 2kx2k , 2232 得得 5 4kx4k ,k. 33 Z 设设2 ,2, A 5 Bx|4kx4k ,k, 33 Z 可得可得 5 AB,. 33 所以原函数的单调递增区间为所以原函数的单调递增区间为 5 ,. 33 【变式练习变式练习】 C B A 4 4、比较下列各组中两个三角函数值的大小：、比较下列各组中两个三角函数值的大小： (1)cos515 _cos530 5463 (2)sin()_sin() 78 5 5、观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件、观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件 的区间的区间: : (1)sin0 x (2)sin0 x (3)cos0 x (4)cos0 x 2k ,2k,k Z2k ,22k,kZ (2k ,2k ),k 22 Z 3 (2k ,2k )