2019年北京市朝阳一模理科1答案

1、北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 2019. 3 、选择题：（本题满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C A A C D B 二、填空题：（本题满分30 分） 题号 9 10 11 12 13 14 答案 1 17 12 2廳 y=（X-1）（答案不唯一） 243 3402 3兀 三、解答题：（本题满分80 分） 15.（本小题满分 13分) 解：（I）由已知得 1S=1bcsi nA=, 2 (妬)2二b2 +c2 -2bccos120。 整理得 I bc=4, b2 +c2=17. 解得【；=4, 或 P=4, .c=1. 9 .8分 .13分 因为b cc

2、，所以b =1 . ab (n)由正弦定理二=上- sin A sin B 即 sin B = =. V2114 所以 cos2B=1 -2sin2 B =1 2(0)2 二13 1414 16. （本小题满分13分） 解：（I）设M表示事件“乘客 A乘车等待时间小于 20分钟”，N表示事件“乘客 B乘车等待时间小于 20分钟”，C表示事件“乘客 A,B乘车等待时间都小于 20分钟”. 由题意知，乘客 A乘车等待时间小于20分钟的频率为 (0.012 +0.040 +0.048)咒5 =0.5，故 P(M)的估计值为 0.5 . 乘客B乘车等待时间小于 20分钟的频率为 (0.016 +0.0

3、28 +0.036)x5 =0.4，故 P(N)的估计值为 0.4 . 又 P(C) =P(MN ) = P(M ) P(N)=丄咒2 =1 2 55 .6分 20分钟的频率为0.4 , 1 故事件C的概率为- 5 （n）由（I）可知，乙站乘客乘车等待时间小于 所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为 2 显然，X的可能取值为0,1,2,3且X B（3,2）. 5 所以 P(X =0) =c33) 5 22 P(X =2)=C3M 5 Q-7 ；p(x =1)=c3 3 5 故随机变量X的分布列为 2 (3)2 125 飞 5 363 2 3 芮 P(x=32c3(5) 54 125 8

4、一125 . X 0 1 2 3 P 27 54 36 8 125 125 125 125 .13分 17. （本小题满分14分） 解：（I）证明：因为 ADEF为正方形， 所以AF丄AD . 又因为平面 ADEF丄平面ABCD , 且平面ADEF （1平面ABCD = AD , 所以AF丄平面ABCD . 所以AF丄CD . （n）由（I）可知， AF丄平面ABCD，所以AF丄AD , AF丄AB . 因为N BAD =90，所以AB, AD,AF两两垂直. 分别以AB, AD, AF为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图） 因为 AB =AD =1 , BC =3, 所以 A(0,0,

5、0), B(1,0,0), C(1,3,0), D(0,1,0), E(0,1,1), F (0,0,1), 所以 BF =(1,0,1), DC =(1,2,0), DE =(0,0,1) 设平面CDE的一个法向量为 n =（X, y,z）, n DC严，即片2八0, Z =0. 则 T n ”DE =0. 令 X =2，贝y y = _1 , 所以 n = (2, -1,0) 设直线BF与平面CDE所成角为0 , z F B A :1D A丄=二斗-二R丄V M E y 则Singe血讣刊=- .9分 （川）设 BD.（小0,1）, 设 M (N，yi，Zi )，则(N 1, yi，Zi)

6、=几(1,1,0), 所以 Xr =1 几,y = A, z1 = 0 ,所以 M (1 L A,0 ), 所以 AM = (1 -La,0 ) 设平面AFM的一个法向量为 m= （x0,y0,z0），则=0, m ”AF =0. 因为 AF =(0,0,1)，所以!(j)X0+心 7 70 =0. 令 X0 = A，贝y y。= A 1，所以 m =-1,0) 在线段BD上存在点M，使得CE /平面AFM等价于存在a引0,1，使得m QE =0 因为 CE = (1,2,1 )，由 m CE =0, 所以几-2仏一1） =0 , 2 解得 h = 0,1, 3 所以线段BD上存在点M ，使得

7、CE II平面AFM，且里=2 BD 3 .14分 18. （本小题满分13分） 解：（I）当 a=1 时，f（xHln 所以 f（x）=匕学 Xx .3分 因为 f(1)=1,f(1)=0, 所以曲线y=f（x）在（1,f（1）处的切线方程为 y = x-1. (n)当 a =_1 时，f(X)-InS X 函数f(x)的定义域为(花0). 不等式 f(x)x+1 成立二 ln( X)x +1 成立二 ln( X)x2-x0 成立. X 设 g(x) =1 n(X)X2 X (x 壬(虫,0), 则 g(x)-2x-l/x2x+1(2x+1)(x + 1) X 当x变化时，g(x), g(x

8、)变化情况如下表: 所以 g(x) x+1 . .8分 (川)求导得 f (X)= 1 ln(aX).令 f(X)= 0 ,因为 a H0可得 X = a 当a :0时, f (x)的定义域为 X (0,-) a e a (2，兄) a (X) + 0 一 f(x) 极大值 (0,+处).当x变化时，f (X), f(x)变化情况如下表: e a 此时f (x)有极大值f()= 一，无极小值. a e 当a 0时，f(x)的定义域为(处,0 )，当x变化时，f(x), f (x)变化情况如下表: X e (Y,) a e a (-,0) a f (X) 一 0 + f(x) 极小值 X Y-1

9、) -1 (-1,0) g(x) + 0 一 g(x) 极大值 e a 此时f (x)有极小值f()=,无极大值. a e .13分 19. (本小题满分14分) 解：(I)由题意 a =72 , b =1 , c = Ja2 -b2 =1 所以离心率e 一当，左焦点FiO). .4分 (n)当yo =0时直线 l方程为X =72或x =匹，直线l与椭圆C相切. 当yo H0时，由 1X_2 y -,得(2y2 十22 -4XoX+44y2 =0 , XoX +2yoy =2 2 Xo 由题知， 才 +yo 1，即 Xo +2yo =2 , 所以 i =(4xo) -4(2yo +xo)(4-

10、4yo) =16x2-2(1-y2) =16(xo +2y2 -20 . 故直线I与椭圆C相切. .8分 (川)设 A(xi,yi), B(X2,y2), 当yo =0时, X =冷,y =y2 , X1 = 士/2 , 2 2 2 2 2 FA FB=(X1+1)2yf=(X1+1)6+(X1-1)=2为4=0 , 所以 FA _LFB，即 ZAFB =90 . 匚22 当z时，由二；二6,得(加八时noy 则x. 2 2 _2(2yo 中冷)xx _2 1oyo X2 卞厂，为X2 百T， yiy2 舟X1X2 一着(X1+X2) +丄小十+4 Xo 2 yo 2怜2 因为 FA FB =

11、(为 +l,yi) (X2+l,y2) 2 2 2 2 4 _20y0 +8y0 +4冷 +2 +2y0-5x0 _4血 +4 + -2+2y02 +2y0 -5(运+2y2)+10 2+2y2=0 . 所以 FA 丄 FB，即 NAFB =90,. .14分 .3分 故NAFB为定值90 . 20. (本小题满分13分) 解： a? =0,ai0=1,a100=1. (II)反证法：假设 Vi ,a0.由于an = a, 记 M =maxa1,a2.则 a M ,a2 M . 则 0 va3 = a2 -ai M 1 , 0 va4 = a3 -a2 M -1, 0 比=兰 M 2 , 0吒36= 右 ak十=q 1 :1