3.2立体几何中的向量方法1(方向向量与法向量).

1、钱的方向向蚤 如图为经过已知点A且平行于非零向量4 的直线那么非零向量：叫做直线/的方向向*。 换句话说，直线上的非霎向量叫做直线的 方向向量 直线1的向量式方程 AP = taI IJI ! J I 2.年db的彼向 如果直线I丄平面 取直线I的方向向量乳 则向量d叫做平面的法向量. 换句话说，与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向* 平面的向量式方程 a d WP = 0 p 寥究：P102 “思考” 如何确定一个点在空间的位置？在空 间中给定一个点A和一个定方向（向量），; 能确定一条直线在空间的位置吗？给定 一个定点和两个定方向（向量），能确 定一个平面在空间的位置吗？给定一个 定点和一

2、个定方向（向量）,能确定一 个平面在空间的位置吗？ jw如图所示，正方体的棱长为1 (1) 直线0A的一个方向向量坐标为(1,0,0) (2) 平W0ABC的一个法向量坐标为(0O1) J O1 C1 / / V BJ C 、 / y z Al B A J -例妇在空间直角坐标系中，已知A(3e,0)，(0,4,0), ;= (4,3,6) 3( r- I 亠 ) 2I A /I = (4,3,6)是平面ABC的一个法向量. 总结:如何求平面的塗向量 设平面的法向量为n = （x,z） 找出（求出）平面内的两个不共线的向量的 坐标a =（%仇灼）上=（02#2，勺） 根据法向量的定义建立关于的

3、方程 川= 0 组 S 方=0 解方程组取其中的一个解， 例3如图所示，正方体的棱长为1 平面ABC的一个法向量坐标为 -1,1） （1.1,-1） O1 Cl / / 、/ c Z- / y Al AB 例4：已矢MB = (2,2,1),AC = (4,5,3),求平血ABC的 单位法向ii。 解：设平面的法向量总=5 P Z), 则方丄丽,7丄紀 x = 2 J = - .*.(X, y, z)LX2,2,1) = 0,(x,)，, z)Lj(4,5,3) =0, 即严+ 2y + z = 0取“1,甘 4兀 + 5，+3込=0 -1-, 3 /. n = (, 1,1), I 1= 2

4、 2 /.求平MMBC的单位法向量为士(丄2,2) 33 3 !1! 练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 z 正方形，侧棱PD丄底面ABCD, PD二DC=1 ,E是PC 的中点，求平面EDB的一个法向量. 解！如图所示建立空间直角坐标系 A 依题意得 D( (),), (0,04), (0,-,-)B(1,1, 0) 屈=(0舟) M =0) 设平面EDB的法向量为n = (%, ”1 则zi丄万瓦n丄页 是 2尹 +厂0= = (1-1, 1 X X + V = 0 r 严1量方法解决儿何问题 因为方向向量与法向量可以确定 直线和平面的位置，所以我们可以利 用直线的方向向量与平面的法向量表 示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角、距离等位置关系. 小修: t: 农计算和证明立体心阿问题对， 如果能够农康图中建立运当的空间直 角坐标d 将图形中有关童用坐标来